Modelli non cooperaritivi a due stad

Si è visto che molte scelte importanti della famiglia, scelte che vengono prese una volta per tutte, possono essere modellate con giochi non cooperativi one shot. Nei modelli che abbiamo visto, tutti riguardanti la fornitura privata di un bene pubblico, l’attenzione era concentrata soltanto sulla decisione e sul suo risultato; tutto ciò che succedeva successivamente non aveva importanza. In molti casi, però, è utile tener conto dell’effetto che una scelta ha sul potere contrattuale futuro perché ciò può influenzare la scelta stessa. In questi casi il comportamento della famiglia può essere modellato con un gioco a due stadi. Nel primo stadio viene operata la scelta. Si tratta di solito di un modello non cooperativo one shot. Nel secondo stadio si alloca il reddito tramite un modello cooperativo o un modello à la Chiappori34, che possono essere anche interpretati come forma ridotta di un gioco ripetuto. Questa allocazione dipende dal potere contrattuale dei coniugi quindi dipende dalla scelta fatta nel primo stadio. I giocatori scegliendo nel primo stadio terranno conto del risultato nel secondo stadio, quindi la loro scelta è condizionata da ciò. Lundberg e Pollak (2001) sostengono che, quando una scelta influenza il potere contrattuale futuro avvantaggiando un coniuge rispetto all’altro, sono possibili risultati inefficienti. Molte scelte che vengono normalmente effettuate nell’ambito della famiglia hanno questa caratteristica. Ad

esempio, decisioni che riguardano l’istruzione, la fertilità, la scelta del luogo dove abitare e la partecipazione alla forza lavoro sono tutte potenziali fonti di inefficienza. Per modellare queste perciò, è necessario considerare la scelta all’interno del matrimonio come un gioco a più stadi. Lundberg e Pollak, analizzando un modello del genere giungono alla conclusione che, in mancanza di accordi vincolanti, la scelta potrà essere inefficiente.

Gli autori analizzano la scelta del luogo dove andare ad abitare, ma le considerazioni a cui giungono valgono anche per gli altri esempi. Considerano il problema di due coniugi che devono scegliere se rimanere nella città in cui vivono (luogo 0) o trasferirsi (luogo 1). Assumono che la scelta di trasferirsi avvantaggi un coniuge detto L (leading spouse) in termini di reddito, mentre la scelta di restare avvantaggi l’altro T (trailing spouse), e che ciò sia di conoscenza comune. Nel primo stadio viene scelto il luogo dove andare ad abitare, nel secondo vengono allocate le risorse all’interno della famiglia. L’allocazione in quest’ultimo stadio avviene in base ad una sharing rule efficiente à la Chiappori che non viene specificata. Gli autori assumono che la sharing rule dipenda dal potere contrattuale dei coniugi e che questo sia legato a redditi individuali; ovvero maggiore è il reddito maggiore è il potere contrattuale. L’allocazione scelta nel secondo stadio dipende quindi dal luogo che si è scelto nel primo, per cui ciascun coniuge sceglierà il luogo che gli dà più vantaggi nel secondo stadio. Benché la sharing rule porti a risultati efficienti, questi sono tali in relazione al luogo scelto. La soluzione può non essere efficiente se si tiene conto anche delle allocazioni possibili negli altri luoghi. Vediamo perché.

Nel primo stadio viene scelto il luogo dove abitare, ciascun coniuge può scegliere tra Stay, restare, e Go, trasferirsi. Se entrambi scelgono di restare o trasferirsi, la coppia rimane sposata altrimenti divorziano. Gli autori assumono che il primo stadio consista in un gioco non cooperativo simultaneo35. Nel secondo stadio, se la coppia rimane sposata, le risorse vengono allocate efficientemente tramite una sharing rule che non viene specificata. Naturalmente l’efficienza è condizionale al luogo scelto. Lunberg e Pollak assumono che tutto il consumo abbia luogo nel secondo periodo, che non ci siano beni pubblici familiari e interdipendenza delle preferenze e che il matrimonio comporti un’ utilità aggiuntiva o bonus.

La funzione di utilità de due sposi è

i D i M i i D i M i i U U U U v V =δ 0 +δαα 0 +δββ 1+δγγ 1

dove il pedice di U denota lo stato coniugale (sposato M,divorziato D) e l’apice di U denota il luogo (0 o 1)

δ = 1 se all’individuo i è applicabile lo stato coniugale e il luogo indicato δ = 0 se non è applicabile

viene assunto che v = 0 e ciò implica che se la coppia rimane sposata nel luogo 0 _i la frontiera delle utilità possibili ha un inclinazione uguale a –1. Inoltre viene assunto che α_i =β_i =γ_i =1 cosicché la frontiera, nel caso la coppia rimanga

35

sposata nel luogo, sia parallela a quella precedentemente indicata così da semplificare l’analisi di efficienza Gli autori assumono poi che l’utilità di ciascuno sia funzione del proprio consumo e dello stato coniugale. In particolare

i Dj i Dj c

U = dove ci_Dj è il consumo dell’individuo i nel luogo j quando è divorziato e U_Mji =c_Mji +Mi dove ci_Mj è il consumo dell’individuo i nel luogo j quando è sposato e M l’utilità che deriva dal matrimonio. i

Il consumo totale è uguale al reddito totale. Il reddito i nel luogo j è indicato con Y_ji dove Y₁L =Y₀L +gL e Y₁T =Y₀T +gT dove g è il vantaggio che i si ha trasferendosi nel nuovo luogo. Viste le assunzioni fatte _{g >0 e} L _{g <0. Così} T

se la coppia rimane sposata nel luogo 0 la frontiera delle utilità possibili e data da

0 0 0 0 0 U Y Y M M R U V VL + T = _ML + T_M ≤ L + T + L + T =

Gli autori assumono inoltre che le soluzioni giacciano sul segmento ed in particolare nella zona dove Vi ≥Mi (perché i vantaggi derivanti dal matrimonio M non sono trasferibili).

Se invece la coppia rimane sposata nel luogo 1 allora la frontiera è data da

1 1 1 1 1 U Y Y M M R U V VL + T = _ML + _MT ≤ L + T + L + T =

Se vengono scelti luoghi diversi allora le utilità sono uguali ai propri redditi individuali.

Lundberg e Pollak assumono che gL +gT ≥0, cosicché la frontiera che corrisponde al luogo 1 è esterna a quella del luogo 0. Questa assunzione implica che la soluzione efficiente del primo gioco sia o il divorzio o spostarsi nel luogo 1, essendo ogni punto della frontiera del luogo 0 interno. L’assunzione contraria non cambierebbe l’analisi dell’equilibrio, ma comporterebbe implicazioni inverse riguardo all’efficienza. Dopo che è stato determinato il luogo, l’utilità totale viene divisa tramite la sharing rule che dipende dai redditi dei singoli. L riceve una quota s_j =s(Y_jL,Y_jT) dell’utilità totale che si ha nel luogo j. T riceve(1−s_j). Quindi l’utilità di L in j sarà

) ( _jL _jT L T J J j L L Mj L Mj c M s R s Y Y M M U = + = = + + +

mentre l’utilità di essere single in j è U_DjL =c_DjL =Y_jL.

Si assume che s1 >s0, cosicché un reddito maggiore implica una quota maggiore.

Il gioco in forma normale è il seguente : T Stay Go Stay _{( , ) ( ,(1 ) )} 0 0 0 0 0 0 U s R s R U_ML _MT = − (U_DL₀,U_DT₁)=(Y₀L,Y₁T) L Go _{( , ) ( , )} 0 1 0 1 T L T D L D U Y Y U = (U_ML₁,U_MT₁)=(s₁R₁,(1−s₁)R₁)

La caratteristica cruciale di questo esempio è che la coppia non può fare contratti vincolanti nel primo stadio per trasferire reddito, non può alterare il gioco del

secondo stadio e non può alterare la sharing rule. Il luogo scelto quindi non determina solo la frontiera, ma anche un punto in particolare di questa. T riceve una quota maggiore dell’utilità totale in 0, ma l’utilità totale è maggiore in 1. Se l’utilità totale in 1 compensa la quota minore, T preferirà la locazione 1 e quindi la soluzione del gioco sarà (Go,Go) che per le assunzioni fatte è superiore a (Stay,Stay). Se è vero il contrario, ci sono due modi in cui il risultato può essere inefficiente. Innanzitutto se entrambi decidono di restare, poiché ciò comporta un equilibrio inefficiente perché Pareto dominato dalla frontiera corrispondente al luogo 1. Poi se divorziano, caso in cui l’utilità che ricevono può essere Pareto inferiore alla frontiera di 1 (dovuto alla perdita dei vantaggi del matrimonio; se questi però sono inferiori a vantaggi del mercato del lavoro può esserci efficienza). La decisione nel primo stadio dipende dalle preferenze circa i 4 possibili risultati e ciò dipende delle utilità raggiunte. Poiché la scelta del luogo S,G determina univocamente il risultato, si può traslare da preferenze sui risultati a preferenze su coppie di strategie. Le preferenze saranno quindi su GG,SS,GS,SG (a cui corrispondono determinati valori di utilità). Per ciascun individuo sono possibili 4!=24 set di preferenze (assumendo no ties); quindi sono possibili 24x24=576 combinazioni. Le assunzioni fatte permettono però di eliminare alcune di queste :

L preferisce rimanere sposato e traslocare (preferisce GG su tutte le altre alternative)

T preferisce rimanere sposato e non traslocare (SS su tutte le altre)

In caso di divorzio L preferisce traslocare (preferisce GS a SG) e T rimanere (SG a GS)

Ciò implica che le preferenze di L possono essere (GG,GS,SS,SG) o (GG,SS,GS,SG) e quelle di T (SS,SG,GG,GS) o (SS,GG,SG,GS). Per ciascuno la scelta è tra rimanere sposato nel luogo peggiore o divorziare e andare nel luogo preferito. Si possono quindi caratterizzare le preferenze di un coniuge dalla seconda alternativa. Dai 576 profili di preferenze possibili l’attenzione è ristretta a quattro. Caso 1 [(GG,GS,…),(SS,GG,…)] Caso 2 [(GG,SS,…),(SS,GS,…)] Caso 3 [(GG,GS,…),(SS,GS,…)] Caso 4 [(GG,GS,…),(SS,GG,…)] Caso 1: (Go,Go)

Se L preferisce trasferirsi senza il partner (GG,GS,…) mentre T preferisce trasferirsi che divorziare (SS,GG,…), l’equilibrio del gioco, in base al criterio della dominanza iterata, è GG .

La coppia si trasferisce e la scelta è efficiente nel senso che giace sulla frontiera più esterna, ma mentre L ci guadagna L ci perde (conseguenza delle assunzioni fatte)

Se L preferisce restare in 0 ma rimanere sposato piuttosto che divorziare e trasferirsi (GG,SS,…) e T preferisce divorziare anziché rimanere sposati e trasferirsi (SS,GS,…), allora l’equilibrio del gioco, in base al criterio della dominanza iterata, sarà SS. Questo equilibrio è inefficiente, perché la frontiera è dominata dalla frontiera che corrisponde al luogo 1. A meno che T possa essere compensato dalla perdita a cui andrebbe incontro traslocando, o attraverso un trasferimento, o tramite un contratto vincolante pre-stadio 2 la coppia non potrà ottenere una allocazione nel luogo 1 dove entrambi ci guadagnano.

Caso 3: non ambiguo (Go,Stay)

Se L preferisce trasferirsi da solo piuttosto che stare nel luogo 0 sposato e T preferisce divorziare a trasferirsi allora l’equilibrio sarà GS. L’equilibrio è la strategia dominante e può essere efficiente o inefficiente. Se i bonus che i coniugi ricavano dal matrimonio sono piccoli e le differenze di guadagno del luogo sono grandi, il divorzio può essere un risultato efficiente. Altrimenti può essere inefficiente essere cioè all’interno della frontiera ( di 1 o addirittura di 2). L’incapacità di contrattare riguardo al secondo stadio fa sì che i coniugi non ottengano allocazioni che entrambi preferirebbero al divorzio.

Caso 4:la battaglia dei sessi: indeterminato

Quando la scelta influenza il potere contrattuale futuro, si possono dunque avere risultati inefficienti. Nell’esempio considerato l’inefficienza deriva dal fatto che, traslocando, L ha un maggiore potere contrattuale che utilizza nelle contrattazioni future a scapito di T. Trasferendosi, potrebbero guadagnarci entrambi (la frontiera è esterna a quella di 0), ma L dovrebbe impegnarsi a non utilizzare l’aumentato potere contrattuale o compensare il coniuge della perdita subita. La prima ipotesi non è possibile legalmente. La seconda, anche ammettendo che sia possibile, presenta alcuni problemi. Il coniuge ha abbastanza ricchezza per compensare l’altro della perdita subita ?

Inoltre, anche se l’avesse, come fare contratti vincolanti a riguardo?Anche se ciò fosse possibile, perché tutto funzioni, è necessario fare anche contratti circa il luogo. Ad esempio nel caso 3, se ci si accorda per un trasferimento compensativo, il coniuge deve poi trasferirsi; ma è possibile vincolare un coniuge a ciò? Mosse che portino a un miglioramento Paretiano non avranno dunque luogo se non sono possibili accordi vincolanti; per cui, qualora una scelta influenzi il potere contrattuale futuro, sono possibili risultati inefficienti.

Il modello di Lunberg e Pollak mostra come sia possibile l’inefficienza tuttavia, vista la natura del problema, non è molto interessante dal punto di vista delle politiche economiche volte a migliorare le scelte della famiglia. Un' applicazione interessante sotto questo punto di vista è quella fatta da Konrad e Lommerud (2000) in cui la famiglia, in un primo stadio, deve decidere riguardo all’investimento in capitale umano. La decisione è presa in modo non cooperativo, poiché spesso è una scelta fatta una volta per tutte quindi l’interazione ripetuta non può essere usata come argomento per sostenere l’efficienza. Inoltre è

probabile che decisioni relative all’educazione vengano fatte all’inizio della relazione ben prima che la famiglia faccia contribuzione per i beni pubblici.

Nel secondo stadio vengono allocate le risorse tra beni privati e beni pubblici. Si assume che ciò avvenga tramite un modello cooperativo che adotta la soluzione di Nash con, come punto di disaccordo, un equilibrio non cooperativo tipo Lundberg e Pollak (1993).

Chiaramente, l’investimento in capitale umano influenzerà i redditi futuri, quindi il potere contrattuale nella contrattazione36. Nel modello a due stadi l’inefficienza può derivare dal fatto che i coniugi decidano di investire oltre il livello di efficienza nell’educazione per garantirsi un maggior potere contrattuale in futuro e quindi una allocazione delle risorse più favorevole37.

Gli autori sostengono che una tassazione sull’educazione, tale da far sì che l’investimento in educazione venga ridotto al livello di first-best ovvero l’equilibrio cooperativo che si avrebbe nel caso fossero possibili accordi vincolanti, possa essere una soluzione al problema dell’inefficienza. Questa soluzione però può avere effetti collaterali andando diminuire l’investimento in educazione anche in famiglie che non presentavano il problema dell’inefficienza, inoltre, ci potrebbero essere altre distorsioni nell’economia per cui gli individui investono poco nell’educazione cosicché il sovra-investimento sopra citato potrebbe avere un effetto benefico dal punto di vista dell’efficienza.

36

Vedi il modello a sfere separate di Lundberg e Pollak (1993) presentato nel Capitolo 2 . 37

Non necessariamente si ottiene questo risultato, dipende dalla forma della funzione di utilità.Vedi Konrad e Lommerud (2000).

CONCLUSIONI

Fino agli anni ottanta, l’approccio alla famiglia usato dagli economisti è stato prevalentemente quello unitario. Tale approccio, a cui Samuelson e Becker hanno dato le fondamenta teoriche, assume che la famiglia, nel suo insieme, si comporti come se fosse un singolo agente economico e che quindi agisca come se massimizzasse una singola funzione di utilità soggetta al vincolo di bilancio della famiglia, nel quale vengono messi in comune i redditi dei membri. Ciò dà origine a delle funzioni di domanda familiari che godono delle proprietà standard e che dipendono dai prezzi e dal reddito totale38.

Questo approccio, inoltre, implica l’ipotesi di income pooling la quale asserisce che se gli individui mettono in comune i propri redditi e allocano il reddito totale per massimizzare una singola funzione obbiettivo, allora solo il reddito totale influenzerà la domanda. In altre parole, una redistribuzione di reddito lump-sum tra i coniugi non avrà alcun effetto sulla scelta della famiglia.

Numerosi studi empirici hanno negato la validità di tale ipotesi e ciò ha contribuito a indebolire l’approccio unitario.

In alternativa ai modelli unitari, si sono sviluppati tre nuovi approcci: cooperativo, à la Chiappori, non cooperativo. L’approccio cooperativo e à la Chiappori assumono che la scelta della famiglia sia efficiente, mentre l’approccio non cooperativo ammette che siano possibili risultati inefficienti. Tutti, però, concludono che il comportamento della famiglia non è assimilabile a quello di un singolo agente con proprie preferenze e un proprio vincolo di bilancio. Questi

modelli sono, infatti, caratterizzati dal fatto che non implicano l’ipotesi di income pooling per cui, modificando la distribuzione di reddito all’interno della famiglia, è possibile influenzarne le scelte.

Tra i primi a proporre approcci alternativi a quello unitario ci sono Manser e Brown (1980) i quali affrontano il problema decisionale e distributivo della famiglia, applicando la teoria dei giochi cooperativi. Sostengono che, dati due individui con le proprie preferenze e il proprio vincolo di bilancio, la scelta della famiglia avvenga in base alla soluzione di Nash. Secondo tale soluzione, la famiglia sceglie l’allocazione che massimizza il prodotto dei vantaggi degli individui in termini di utilità rispetto a non giungere ad alcun accordo, soggetto al vincolo di bilancio della famiglia. Come punto di disaccordo adottano l’utilità che si avrebbe in caso divorzio.

Come prevede la soluzione di Nash, le domande dipendono dal punto di disaccordo, quindi tutto ciò che influenza l’utilità da single comporta cambiamenti nell’allocazione scelta; in particolare, un punto di disaccordo maggiore comporta una maggiore utilità poiché aumenta il potere contrattuale. A differenza del modello unitario, i redditi individuali possono dunque avere effetti sulla domanda, qualora influenzino l’utilità da single. Ciò apre la strada a interventi statali volti a porre in essere redistribuzione di reddito all’interno della famiglia.

L’abbandono dell’ipotesi di income pooling non è però totale poiché una redistribuzione lump-sum di reddito all’interno della famiglia non avrà alcun effetto sull’allocazione scelta se non influenza il punto di disaccordo cioè l’utilità che si ottiene a seguito del divorzio.

Lundberg e Pollak (1993) introducono un modello decisionale della famiglia, il modello a sfere separate, analogo a quello di Manser e Brown nel quale, però, il punto di disaccordo non è il divorzio, ma un equilibrio non cooperativo all’interno del matrimonio. Gli autori sostengono che il divorzio in molti casi non sia, per vari motivi39, l’alternativa più appropriata all’accordo.

Secondo gli autori, qualora non si giunga all’accordo, i coniugi rimangano sposati e contribuiscono alla fornitura dei beni pubblici familiari in modo non cooperativo, prendendo ciascuno il contributo dell’altro come dato. Ciò è analogo al modello di fornitura privata di beni pubblici di Bergstrom et al.(1986), caratterizzato dal fatto che il livello di bene pubblico è fornito a un livello sub- efficiente e una variazione della distribuzione del reddito non modifica il livello del bene pubblico e l’utilità dei contribuenti, a meno che ci siano soluzioni ad angolo.

Lundberg e Pollak sostengono che i coniugi si dividono i compiti in base a regole sociali generalmente accettate (sfere separate) per cui uno si occupa della fornitura di determinati beni pubblici, mentre l’altro di altri. Si creano così soluzioni ad angolo ed una variazione della distribuzione di reddito avrà effetto sull’equilibrio non cooperativo. Quest’ultimo però rappresenta il punto di disaccordo del gioco cooperativo di Nash, pertanto una redistribuzione di reddito lump-sum influenzerà l’equilibrio finale scelto dalla famiglia.

Il modello di Lundberg e Pollak introduce due importanti novità, innanzitutto un modello di comportamento non cooperativo della famiglia, benché in questo caso sia solo il punto di disaccordo di un gioco cooperativo.

La seconda innovazione è che il modello di Lundberg e Pollak non implica income pooling. Una redistribuzione di reddito tra i coniugi può, infatti, modificare le scelte della famiglia e di conseguenza i livelli di utilità che si hanno a seguito della contrattazione. Nel modello di Manser e Brown ciò era possibile, solo a patto che si modificasse l’utilità dell’individuo single (il punto di disaccordo in Manser e Brown è esterno al matrimonio). Lo spazio per interventi ridistributivi è quindi più ampio rispetto al modello di Manser e Brown.

Una critica che si può muovere al modello di Lunberg e Pollak è che l’assunzione delle sfere separate su cui si regge il modello può essere arbitraria perciò, qualora non sia ammissibile, il modello non regge.

Chiappori propone un modello cooperativo, il collective model, in cui non utilizza uno schema di contrattazione specifico come la soluzione di Nash, ma assume soltanto che l’equilibrio finale sia efficiente. I risultati sono simili a quelli dei modelli cooperativi visti precedentemente.

Una questione controversa dei modelli cooperativi è il fatto che implicano efficienza delle scelte. Questo deriva, nel caso dei modelli cooperativi analizzati, dall’utilizzo della soluzione di Nash che esplicitamente assume che i risultati della contrattazione godano di questa proprietà. L’efficienza, però, necessita che si possano realizzare contratti vincolanti tra le parti, il che nel caso della distribuzione intra-familiare non è legalmente possibile. I sostenitori dei modelli cooperativi sostengono allora che l’efficienza possa risultare dalla interazione ripetuta nel tempo quando ricorrono le condizioni del Folk theorem e la famiglia sembra possedere i requisiti necessari. A questa posizione si può opporre il fatto che il Folk theorem, permette di concludere soltanto che sono possibili equilibri

efficienti ma non che verranno necessariamente scelti. Il contesto poi, in alcuni casi, può non essere stazionario e ciò può dar origine a equilibri inefficienti. Inoltre molte scelte non sono ripetute.

Un’alternativa ai modelli cooperativi o à la Chiappori è quella di utilizzare modelli non cooperativi, la cui caratteristica è che ammettono l’inefficienza delle scelte. Ciò deriva dal fatto che non assumono che sia possibile fare contratti vincolanti, ma puntano l’attenzione sugli equilibri self-enforceable e questi, nella teoria dei giochi non cooperativi, possono essere efficienti e non.

Ammettendo l’inefficienza delle scelte familiari, gli interventi dello Stato acquistano un’altra funzione rispetto a quella vista nei modelli cooperativi; in questi ultimi, infatti, le scelte sono efficienti e l’ intervento dello Stato ha come