L'approccio economico al comportamento familiare: i modelli non-unitari

INTRODUZIONE

Questo lavoro è volto ad illustrare i principali modelli non unitari di scelta della famiglia che si sono sviluppati a partire dagli anni ottanta. Tali modelli si possono suddividere in due gruppi a seconda della branca della teoria dei giochi utilizzata: modelli cooperativi e modelli non cooperativi1. La terminologia è leggermente fuorviante, la caratteristica distintiva non è la cooperazione o meno, ma la possibilità di realizzare accordi vincolanti (modelli cooperativi) e l’impossibilità di fare ciò (modelli non cooperativi). Nel primo caso si avranno scelte efficienti mentre, nel secondo, l’efficienza andrà indagata volta per volta.

L’importanza di questi modelli è che essi abbandonano l’approccio unitario, di cui Becker aveva fornito le fondamenta teoriche, secondo il quale la famiglia si comporta come se fosse un singolo agente con proprie preferenze e un proprio vincolo di bilancio. Tale approccio comporta implicazioni che sono state rifiutate da molti studi empirici. Tra queste, quella il cui rifiuto ha avuto maggior peso nell’indebolire l’approccio unitario è l’ipotesi di income pooling che consiste nel fatto che, se la famiglia massimizza una propria funzione di utilità soggetta al vincolo di bilancio familiare dove i redditi dei membri sono messi in comune, allora soltanto il reddito totale influenzerà la scelta. Studi empirici basati su dati di diversi paesi hanno invece mostrato che la distribuzione del reddito modifica le scelte della famiglia. I modelli non unitari, non implicando l’ipotesi di income

pooling, non presentano questo problema.

1

Ancora non sembra esserci un modello generalmente accettato, anche se i modelli non cooperativi, permettendo d’indagare l’efficienza, acquisiscono sempre una maggiore importanza. In mancanza di un modello universale, la scelta del modello dipenderà dal problema specifico da analizzare.

CAPITOLO 1

L’APPROCCIO UNITARIO

1.1 I modelli unitari

La teoria del consumatore assume che i desideri e i gusti di un individuo siano catturati da un sistema di preferenze razionali che ne determinano il comportamento. Di solito s’ipotizza che queste preferenze possano essere rappresentate da una funzione di utilità well-behaved. Il problema di scelta del consumatore può essere quindi ridotto alla massimizzazione della funzione di utilità soggetta al vincolo di bilancio che definisce l’insieme delle alternative a disposizione dell’individuo. Ciò, assumendo che il vincolo di bilancio dia vita a un insieme compatto, dà origine a funzioni di domanda che godono delle seguenti proprietà :

- non negatività - identità di bilancio

- omogeneità di grado zero

- matrice di Slustky corrispondente simmetrica e negativa semidefinita

A loro volta domande che soddisfano queste proprietà sono riconducibili alla massimizzazione di utilità soggetta al vincolo di un individuo razionale.

Who after all is the consumer? in the theory of consumer’s behavior? Is he a bachelor? A spinster? or is he a “spending unit” as defined by statistical pollsters and recorders of budgetary spending? In most of the cultures actually studied by modern economists, the fundamental unit on the demand side is clearly the family and this consist of a single individual in but a fraction of cases.

Fino agli anni ottanta, l’approccio alla famiglia2 usato dagli economisti è stato quello unitario. Tale approccio assume che la famiglia, nel suo insieme, si comporti come se fosse un singolo agente economico e che quindi agisca come se massimizzasse una singola funzione di utilità soggetta al vincolo di bilancio della famiglia, nel quale vengono messi in comune i redditi dei membri. Ciò dà origine a delle funzioni di domanda familiari che godono delle proprietà standard (sempre che la funzione di utilità sia well-beahved) e che dipendono dai prezzi e dal reddito totale. Come è possibile che una famiglia composta da individui diversi si comporti come un singolo agente ?

Samuelson e Becker forniscono le fondamenta teoriche a questo approccio.

1.1.1 Il modello consensuale di Samuelson

Nel modello di Samuelson (1956) il comportamento “unitario” della famiglia è ottenuto tramite il consenso tra i membri familiari su una funzione del benessere familiare da massimizzare. Ogni membro della famiglia ha una

2

Il termine “famiglia” deve essere interpretato in senso ampio benché molti modelli focalizzino l’attenzione sull’istituzione fondata sul matrimonio.

funzione di utilità U_i(x_i,q)3 dove xi è il vettore dei beni privati dell’individuo i e q il vettore dei beni pubblici familiari; questi ultimi sono beni che hanno la

caratteristica che nessuno della famiglia può esserne escluso dal consumo e il consumo da parte di un individuo entro la famiglia non esclude quello da parte dell’altro. Se tutti i componenti della famiglia si accordano per massimizzare una funzione del benessere sociale consensuale delle loro funzioni di utilità

)) , ( ..., ),... , ( (U1 x1 q U x q W n n dove >0 ∂ ∂ i U W per ogni U _i

soggetta a un vincolo dove i redditi individuali sono messi in comune :

n q

xx p q I I

p + ≤ ₁+...+

in cui px è il vettore prezzi dei beni privatidei singoli membri, pqquello dei beni

pubblici familiari4 e Ii è il reddito dell’individuo i, allora si può dimostrare che la

domanda aggregata può essere derivata dalla massimizzazione di una funzione )

, (x y

v soggetta al vincolo familiare, dove v(x,y) è il massimo di )) , ( ..., ),... , ( (U₁ x₁ y U x y

W _{n n} soggetto a Σx_i = x. Il comportamento della

3

Nel modello di Samuelson le funzioni di utilità dipendono solo dai beni privati. Il modello qui presentato è la versione del modello originario proposta da Bergstrom (1996).

4

famiglia è quindi indistinguibile da quello di un singolo agente con utilità v(x,y) e con vincolo di bilancio uguale a quello familiare. Il comportamento della famiglia è perciò riconducibile a quello di un individuo razionale quindi, in base al modello di Samuelson, tutti i risultati della teoria del consumatore tradizionale sono applicabili al comportamento della famiglia. Samuelson però non spiega come si raggiunge e come viene mantenuto il consenso sulla funzione del benessere; in sostanza spiega le condizioni per cui le domande della famiglia siano indistinguibili da quelle della teoria del consumatore tradizionale, ma non come queste condizioni siano raggiunte e quindi come dalle preferenze dei singoli si giunga a quelle della famiglia.

1.1.2 Il modello altruista di Becker

Il modello altruista di Becker (1974, 1981) è il vero fondamento teorico dell’approccio unitario. In questo modello, il comportamento “unitario” risulta dal fatto che la scelta della famiglia è quella che consegue dalla massimizzazione della funzione di utilità di un membro, detto altruista, soggetta al vincolo di bilancio familiare. La funzione di utilità dell’altruista può essere vista come la funzione del benessere familiare del modello di Samuelson. Al contrario di quest’ultimo, Becker fornisce una spiegazione dell’origine di tale funzione. Nel modello di Becker la famiglia consiste in un gruppo di individui razionali ed egoisti e un genitore altruista, la cui funzione di utilità riflette il suo interesse per il benessere degli altri membri. Il teorema del rotten kid di Becker asserisce che la

presenza del genitore altruista che fa trasferimenti a ogni altro membro della famiglia è sufficiente ad indurre gli altri componenti ad agire in modo non egoistico: perseguendo l’interesse dell’altruista fanno anche il loro interesse. Becker sostiene infatti che il genitore altruista aggiusti i trasferimenti in modo tale che a ciascun componente familiare convenga, nel proprio interesse, agire in modo da massimizzare il reddito totale della famiglia. Sotto certe condizioni5, la distribuzione risultante è quella che massimizza la funzione di utilità dell’altruista soggetta al vincolo di bilancio familiare. La famiglia si comporta, quindi, come un singolo agente che ha le preferenze dell’altruista e il vincolo di bilancio della famiglia. Le implicazioni sono le stesse del modello di Samuelson.

1.2 Critiche all’approccio unitario

Dal punto di vista teorico i sostenitori dell’approccio non unitario non sostengono che il modello di Samuelson o quello di Becker siano formalmente scorretti; ammettono, infatti, che ci potrebbero essere mondi nei quali il comportamento della famiglia è effettivamente quello previsto da tali modelli. Affermano soltanto che i modelli alternativi da loro proposti sono altrettanto corretti, perciò i modelli unitari rappresentano solo uno dei modi affrontare il problema della scelta della famiglia (Pollak 2004).

E’ dal punto di vista empirico che l’approccio unitario presenta alcuni problemi. Le restrizioni standard imposte alla domanda dal modello unitario,

tranne quella dell’identità di bilancio, non sono supportate dai dati (Vermuelen 2002). Ciò non ha però comportato cambiamenti fondamentali nella teoria del consumatore; i rifiuti delle ipotesi sono stati spesso interpretati come dovuti a problemi di dati o di specificazione della forma funzionale. Oltre alle proprietà standard della funzione di domanda, il modello unitario implica l’ipotesi di income pooling . Questa ipotesi asserisce che, se gli individui mettono in comune i propri redditi e allocano il reddito totale per massimizzare una singola funzione obbiettivo, allora solo il reddito totale influenzerà la domanda. La frazione di reddito ricevuta o controllata dal singolo membro, a parità di reddito totale, non avrà alcun effetto sull’allocazione delle risorse della famiglia. Questa ipotesi è stata rifiutata in molti studi e ciò ha avuto un grande peso nell’indebolire l’approccio unitario.

Utilizzando dati provenienti da vari paesi, i test empirici hanno in genere mostrato che la frazione di reddito controllata dal marito e dalla moglie influenza il comportamento della famiglia a parità di reddito totale. Ciò a prescindere dal tipo di comportamento analizzato. Pollak (2004) riporta alcuni esempi. L’aumento del reddito della moglie, relativamente a quello del marito, è associato a una maggiore spesa per pasti al ristorante, cura dei figli e vestiario della moglie e una riduzione delle spesa per alcool e tabacco (Phipps e Burton 1998; Hoddinott e Haddad 1991). Anche un aumento della salute dei figli e delle loro probabilità di sopravvivenza è stato associato a un maggior controllo delle risorse familiari da parte della moglie. Thomas (1990) ha trovato che in Brasile l’effetto del reddito non derivante da lavoro della moglie sulla probabilità di sopravvivenza del figlio è venti volte maggiore di quello del padre. Lundberg et al. (1997) hanno analizzato

gli effetti del cambiamento del sistema dei sussidi per il mantenimento dei figli avvenuto negli anni ’70 in Gran Bretagna per cui il destinatario del sussidio non è più il padre, ma la madre. A parità di reddito totale, secondo il modello unitario, il nuovo sistema non dovrebbe influenzare le scelte della famiglia. Gli autori invece trovano che si ha un aumento delle spesa per abiti femminili e per quelli dei bambini e interpretano questo risultato come un rifiuto dell’ipotesi di income pooling. Tutti questi risultati empirici suggeriscono l’abbandono dell’approccio unitario.

1.3 Nuovi approcci al problema decisionale della famiglia

A partire dagli anni ottanta sono sorti tre nuovi approcci alternativi a quello unitario :

1) Cooperativo: modella la famiglia come un gioco cooperativo nel quale i diversi interessi sono ricomposti tramite il modello di contrattazione di Nash.

2) Alla Chiappori (collective model): assume soltanto che l’allocazione finale è efficiente senza utilizzare un modello di contrattazione in particolare.

3) Non cooperativo: modella la famiglia come un gioco non cooperativo puntando l’attenzione sugli equilibri self-enforceable.

La differenza principale tra l’approccio cooperativo e quello di Chiappori e l’approccio non cooperativo è che i primi due assumono l’efficienza della scelta, mentre il terzo no. La caratteristica che li accomuna è che analizzano le scelte della famiglia partendo dalle preferenze dei suoi componenti e, al contrario di Becker, concludono che il comportamento della famiglia non è assimilabile a quello di un singolo agente con proprie preferenze e un proprio vincolo di bilancio. Questi modelli, infatti, non implicano l’ipotesi di income pooling. Una variazione della distribuzione di reddito all’interno della famiglia, a parità di reddito totale, ha dunque, sotto certe condizioni e in modi diversi a seconda del modello, effetto sull’equilibrio finale. Questo risultato ha importanti implicazioni di politica economica: modificando la distribuzione di reddito all’interno della famiglia, è possibile influenzarne le scelte.

CAPITOLO 2

MODELLI COOPERATIVI

Nei modelli cooperativi si assume che le scelte della famiglia siano il frutto di una contrattazione tra i suoi membri il cui risultato è ottenuto utilizzando i concetti di soluzione della teoria assiomatica della contrattazione. La soluzione più utilizzata nei modelli della famiglia è quella di Nash (Nash bargaining solution) e quindi, per comprendere il comportamento della famiglia così come è concepito in questi modelli, è necessario analizzarla.

2.1 La soluzione di Nash

La teoria assiomatica della contrattazione ha avuto origine con un articolo di Nash (1950), nel quale l’autore elabora un modello che permette di predire il risultato della contrattazione medesima basandosi soltanto sulle preferenze delle parti su un insieme di accordi possibili, rappresentate da una funzione di utilità Von Neumann-Morgestern, e sul risultato che si otterrebbe in caso di mancanza di accordo. Il modello astratto è il seguente: ci sono due individui che devono scegliere un esito tra quelli di un insieme detto insieme ammissibile. Le loro preferenze riguardo alle varie alternative sono diverse. Se si accordano su una particolare alternativa, la ottengono, altrimenti, ottengono un’alternativa pre-specificata dell’insieme ammissibile detta punto di disaccordo. Sia l’insieme ammissibile che il punto di disaccordo sono dati nello spazio di utilità. Siano essi

rispettivamente S e d. Nash confina l’analisi ad una certa classe di problemi contrattuali e definisce una soluzione come una regola che associa ad ogni problema (S,d) un punto di S che rappresenta il compromesso raggiunto. Formula poi una lista di proprietà o assiomi che pensa una soluzione debba soddisfare e dimostra l’esistenza di un'unica soluzione che soddisfi gli assiomi. Questa consiste nell’alternativa che massimizza il prodotto dei vantaggi derivanti dalla cooperazione. Dopo la metà degli anni ’70 sono state introdotte altre soluzioni, tuttavia la soluzione di Nash, insieme a quella di Kalai-Smorodinsky e alla soluzione egualitaria (che verranno illustrate in seguito), ha tuttora un ruolo centrale nella teoria.

2.1.1 Il modello di Nash

Nell’illustrare il modello mi limiterò al caso in cui gli agenti sono due. Assunzione preliminare è che i giocatori possono fare contratti vincolanti.

Si consideri quindi un problema (S,d) dove S è un sottoinsieme dello spazio euclidiano di dimensione 2 e d un punto di S. Ogni punto di S rappresenta livelli di utilità, misurati tramite una scala Von Neumann-Morgenstern, raggiunti attraverso la scelta di una delle alternative. Sia 2

d

Σ la classe dei problemi per cui

i) S è convesso,limitato e chiuso

ii) C’è almeno un punto in S che domina strettamente d (ci sono vantaggi a cooperare)

iii) (S,d) è d-comprehensive : se x∈Se x≥ y≥d allora y∈S iv) S ⊂R₊2.

Una soluzione definita su un dominio di problemi associa ad ogni elemento (S,d) del dominio un unico punto di S che è la predizione o raccomandazione del suddetto problema. Dato il problema (S,d)∈Σ2_d , la soluzione di Nash, N, è l’alternativa che massimizza il prodotto dei vantaggi in termini di utilità dal punto di disaccordo. N(S,d) è quindi la l’alternativa che massimizza ∏(x_i −d_i) i=1,2 per x∈Scon x ≥d. Le proprietà o assiomi della soluzione sono le seguenti :

1) Pareto ottimalità: N(S,d)∈PO(S)≡

{

}

x x′≥

2) Anonimità (o simmetria) : la soluzione è indipendente dal nome dei giocatori (invertendo i nomi dei due giocatori la soluzione non cambia) 3) Invarianza: per ogni funzione lineare strettamente crescente F, F(N(S,d))=N(F(S), F(d)) cioè la soluzione non dipende dall’unità di misura in cui è misurata l’utilità.

4) Indipendenza dalle alternative irrilevanti: se una alternativa è la soluzione del problema allora, se vengono eliminate alcune alternative (ma non la soluzione) la soluzione non cambia.

Nash dimostra che N(S,d) è l’unica soluzione in 2

d

L’alternativa scelta dipende dall’insieme ammissibile e dal punto di disaccordo. Se l’utilità di un agente nel punto di disaccordo aumenta e quella dell’altro rimane uguale ci si aspetta che il primo ne tragga vantaggio. Un agente che ha meno da perdere in caso di fallimento della contrattazione ha infatti maggior potere contrattuale. Questo spiega la seguente proprietà :

monotonicità del punto di disaccordo : se d_i′ ≥ d_i e per tutti j ≠i,d′_j =d_j

allora N_i(S,d′) ≥ N_i(S,d ).

2.1.2 Altre soluzioni

Quella di Nash non è l’unica soluzione al problema presentato. Tra le altre, due soluzioni hanno un ruolo centrale nella teoria della contrattazione odierna :

1) Soluzione di Kalai-Smorodinsky, K

La soluzione di Kalai-Smorodinsky, K(S,d), è il punto sulla frontiera di S che giace sul segmento che congiunge l’origine ad a(S,d) dove ai(S,d)≡max

{

tale chex∈S,x≥d

}

La proprietà che distingue questa soluzione è la seguente : l’espansione dell’insieme ammissibile nella direzione favorevole a un particolare agente comporta sempre benefici per questo. Formalmente: l’intervallo di livelli di utilità ottenibile dall’agente j rimane lo stesso quando S si espande a S′ mentre per

ognuno di questi livelli la massima utilità ottenibile dall’agente i aumenta. Ricordandosi la definizione di ai(S,d) la proprietà può essere espressa nel modo

seguente :

monotonicità individuale: (per n=2) : se S′⊇S e aj(S′,d)= aj(S,d) per

j≠i allora Ki(S′,d) ≥ Ki(S,d).

La soluzione di Kalai-Smorodinsky è l’unica soluzione in 2

d

Σ che soddisfa gli assiomi di Pareto efficienza,invarianza della scala,simmetria ,monotonicità individuale.

2 ) Soluzione egualitaria, E

La soluzione egualitaria, E(S,d), è il punto sulla frontiera di S per cui Ei(S,d)-di=Ej(S,d)-dj per ogni i,j.

La proprietà che distingue questa soluzione è la seguente: tutti gli agenti beneficiano di qualsiasi espansione dell’insieme ammissibile ovvero:

monotonicità forte: se S′⊇S allora Ki(S′,d) ≥ Ki(S,d).

La soluzione egualitaria è l’unica soluzione in Σ2d che soddisfa gli assiomi di

2.2 Il modello di Manser e Brown (1980)

Gli autori affrontano il problema decisionale e distributivo della famiglia applicando la teoria dei giochi cooperativi. Modellano la famiglia come un monopolio bilaterale statico dove i membri possono scegliere tra rimanere sposati e divorziare. Se divorziano, l’utilità che ottengono è quella che avrebbero da single. Se rimangono sposati, l’utilità che ottengono è quella che deriva dal concetto di soluzione di Nash6. Per applicare questo concetto di soluzione bisogna individuare gli elementi del problema contrattuale cioè l’insieme ammissibile (ovvero l’insieme delle alternative a disposizione dei coniugi) e il punto di disaccordo7.

2.2.1 L’insieme ammissibile e il punto di disaccordo.

Ogni individuo i (i =h,w) ha una funzione di utilità Von Neumann-Morgenstern U definita su vettore di beni i x . Si assume che la funzione di _i utilità sia strettamente quasi concava (convessità stretta delle preferenze), monotona strettamente crescente (non sazietà) in tutti gli argomenti, e con derivate parziali seconde continue. La funzione di utilità è indipendente dallo stato coniugale cioè le preferenze non cambiano se si forma la famiglia. L’individuo ha il seguente vincolo di bilancio:

6

In realtà Manser e Brown considerano anche la soluzione di Kalai-Smorodinsky, ma poiché questa soluzione è stata ignorata dal seguente lavoro sulla contrattazione all’interno della famiglia (tranne alcune eccezioni), ho ritenuto che fosse possibile ometterla.

7

pi xi= Ii

pi è il vettore dei prezzi di xi

Ii è il reddito esogeno8.

L’individuo single sceglie xi in modo tale da massimizzare U soggetta al vincolo i

di bilancio; ciò da origine a domande standard x_i = x_i(p_i,I_i) . Inserendo le funzioni di domanda in Ui si ha la funzione di utilità indiretta 0 ( i, i)

i i I p V V =

che rappresenta l’utilità da single.

Gli autori sostengono che il matrimonio possa portare vantaggi per gli individui. Questi possono derivare innanzitutto dalla presenza di beni pubblici familiari, cioè beni che possono essere consumati soltanto nell’ambito familiare e quindi non da single. I beni pubblici familiari hanno la caratteristica che nessuno della famiglia può esserne escluso dal consumo e il consumo da parte di un individuo entro la famiglia non esclude quello da parte dell’altro. Si suppone che il vettore dei beni in questione sia q e il vettore dei prezzi sia pq9 . Un altro

vantaggio del matrimonio è dato dall’appagamento affettivo, dall’amore, dalla compagnia ecc. Ciò viene introdotto nel modello con il parametro αj che influenza l’utilità che riceve i dall’essere sposato con l’individuo j. La funzione di utilità di i è dunque

8

Per la precisione, Manser e Brown non considerano il reddito come esogeno, ma considerano il salario come esogeno e analizzano la scelta lavoro-tempo libero con il tempo libero come bene privato. Prendendo il reddito come esogeno si semplifica l’analisi e i risultati finali non cambiano. 9

) , , ( _i j i i q x U U = α .

Passiamo ora alla questione delle coppie di utilità possibili se si forma la famiglia. Questo insieme è limitato dalle coppie di utilità Pareto ottimali. La curva dei contratti, il luogo delle allocazioni dei beni Pareto ottimali, si ottiene risolvendo il seguente problema di ottimizzazione :

l x, max Ui =Ui(x_i,q,α j) soggetto a ) , , ( i j i q x U α −U j ≥0 0 ≤ − ′x I p 0 ≥ x

dove p=(p_h,p_w,p_q)′, x=(x_h,x_w,q)′, I =I_h +I_w. La funzione obbiettivo è strettamente quasi concava e i vincoli formano un insieme convesso in x. Quindi per ogni livello di j

U si ottiene una soluzione unica per il problema di massimizzazione. Dalla curva dei contratti si può tracciare la frontiera delle utilità possibili che è il luogo dei livelli di utilità Pareto ottimali per i e j in corrispondenza di determinati p ed I . Si hanno vantaggi dal matrimonio se la

coppia ( 0 , 0 ) w h

V

V è situata all’interno della frontiera delle utilità possibili, in

questo caso gli individui hanno un incentivo a sposarsi.

Come vengono allocate le risorse della famiglia ? ovvero, quale coppia di utilità dell’insieme ammissibile viene scelta ? Manser e Brown sostengono che i coniugi si accordino su una regola di contrattazione. Ciò richiede che venga scelto un punto di disaccordo per ogni individuo, cioè il livello di utilità che un individuo ottiene in caso non venga raggiunto un accordo. Secondo gli autori l’utilità che si ottiene in caso di divorzio è la scelta appropriata.

2.2.2 La contrattazione

Costruito l’insieme ammissibile e scelto il punto di disaccordo abbiamo tutti gli elementi del problema contrattuale10. Resta da applicare il concetto di soluzione. Manser e Brown utilizzano la soluzione di Nash, poiché sostengono che il contesto familiare abbia le caratteristiche per dar luogo a una soluzione che soddisfi le proprietà del concetto di soluzione adottato indicate al Paragrafo 2.1 .

La soluzione di Nash al problema contrattuale della famiglia è ottenuta risolvendo il seguente problema di ottimo :

[

]

[

]

Sotto le assunzioni standard delle funzioni di utilità il problema contrattuale risultante (S,d) soddisfa le proprietà richieste per essere un problema ammissibile nella teoria assiomatica della

che si può riscrivere come

[

]

Visto che la somma di due funzioni strettamente quasi concave non è necessariamente strettamente quasi concava, una soluzione unica non è garantita con le assunzioni fatte sin ora. Se entrambe le funzioni di utilità individuali sono concave o se le utilità sono tali che la funzione di Nash stessa è strettamente quasi concava nella regione interessata, allora per dati valori delle variabili esogene, V0

è determinata e quindi esiste una soluzione unica per il problema di massimizzazione. Inoltre, se le condizioni del teorema della funzione implicita sono soddisfatte, si può risolvere il vettore domande come funzione di tutte le variabili esogene, ) , , , , , , ( h w h w q w h N I I p p p h x= α α con x=(x_h,x_w,q).

Le implicazioni principali del modello sono due. La prima è che le domande dipendono dal punto di disaccordo, quindi tutto ciò che influenza l’utilità da single comporta cambiamenti nell’allocazione scelta; in particolare un

punto di disaccordo maggiore comporta una maggiore utilità poiché aumenta il potere contrattuale. A differenza del modello unitario, i redditi individuali possono avere effetti sulla domanda, qualora influenzino l’utilità da single. Ciò apre la strada a interventi statali volti a porre in essere redistribuzione di reddito all’interno della famiglia.

La seconda implicazione è che le domande non sono più riconducibili a un singolo individuo razionale. Pollak (1977) ha mostrato che, quando le preferenze dipendono dai prezzi, le domande corrispondenti non necessariamente hanno una matrice di Slutsky simmetrica e negativa semidefinita. Queste proprietà non varranno quindi per le funzioni di domanda di Nash, visto che la funzione obbiettivo di Nash dipende dai prezzi. Horney e McElroy (1977) hanno ottenuto una espressione esplicita per la matrice di Slutsky per il modello di contrattazione di Nash e hanno confermato che in generale non vale la simmetria. La domanda totale non soddisferà quindi l’assioma delle preferenze rivelate e la domanda della famiglia non può essere spiegata come la domanda di un singolo consumatore razionale (Manser and Brown, 1980)).

Bisogna notare però che non viene completamente abbandonata l’ipotesi di income pooling che è, come abbiamo visto nel Capitolo 1, l’implicazione maggiormente contestata del modello unitario poiché, come si vedrà, una redistribuzione lump-sum di reddito all’interno della famiglia non avrà alcun effetto sull’allocazione scelta se non influenza il punto di disaccordo.

Lundberg e Pollak introducono un modello decisionale della famiglia, il modello a sfere separate, analogo a quello di Manser e Brown, nel quale però il punto di disaccordo non è il divorzio, ma un equilibrio non cooperativo all’interno del matrimonio. Gli autori sostengono che il divorzio in molti casi non sia, per vari motivi, l’alternativa più appropriata all’accordo. Innanzitutto perché comporta costi elevati; inoltre perché, per molte scelte tipo quelle delle questioni quotidiane, non è un risultato credibile; in molte società il divorzio è un evento raro o implausibile per cui la minaccia del divorzio non può essere l’elemento determinante dell’allocazione intra-familiare. Secondo Lundberg e Pollak un equilibrio non cooperativo all’interno del matrimonio può rappresentare meglio la situazione in cui non si giunge all’accordo. Quando i coniugi non cooperano infatti, godono pur sempre della presenza dei beni pubblici familiari. Se i membri della famiglia possono procurare i beni pubblici, allora l’equilibrio in questione è quello risultante da un gioco di contribuzione volontaria non cooperativo nel quale ciascun coniuge alloca parte delle proprie risorse per fornire beni pubblici familiari, prendendo il contributo dell’altro come dato. L’equilibrio non cooperativo corrisponde quindi al modello di fornitura volontaria privata di beni pubblici analizzato da Bergstrom et al. (1986) in cui, come ci si può aspettare, il bene pubblico è sotto-fornito e ci sono vantaggi a cooperare. Lunderg e Pollak sostengono inoltre che all’interno della famiglia avvenga una specializzazione in base a regole sociali generalmente accettate, per cui i coniugi si occupano della fornitura di beni pubblici familiari diversi (sfere separate). Questa è l’assunzione chiave del modello tant’è che gli conferisce il nome. Vediamo perché. Come Warr (1983) e Bergstrom et al. (1986) hanno mostrato, il controllo delle risorse di

coloro che contribuiscono alla fornitura del bene pubblico (nel modello di fornitura privata volontaria del bene pubblico ) non influenza né il livello di equilibrio di bene pubblico né i livelli di utilità di equilibrio di coloro che contribuiscono, sempre che i contribuenti facciano contribuzioni strettamente positive. Questa proprietà d’invarianza non è valida per le soluzioni ad angolo. Nell’equilibrio non cooperativo della famiglia la specializzazione genera proprio soluzioni ad angolo perciò l’equilibrio dipende non solo dalle risorse totali, ma anche da quelle individuali. Di conseguenza l’equilibrio cooperativo, che dipende anche dalle determinanti del punto di disaccordo, dipende anche dai redditi individuali come vuole l’evidenza empirica.

2.3.1 Il modello

Le preferenze del marito h e della moglie w sono rappresentate dalle seguenti funzioni di utilità Von Neumann-Morgenstern :

) , , (x q1 q2 U h h e U (xw,q1,q2) w w h x

x , sono i beni privati consumati dal marito e dalla moglie

2 1,q

Si assume quindi, che l’interdipendenza operi solo attraverso i beni pubblici: non c’e interdipendenza delle preferenze11. Tra i coniugi avviene una contrattazione per scegliere l’allocazione, e quindi l’utilità, e si suppone che il risultato sia quello che derivi dalla soluzione di Nash, in cui però, il punto di disaccordo non è il divorzio, ma un equilibrio non cooperativo all’interno del matrimonio. Poiché il modello è analogo a quello di Manser e Brown a parte il punto di disaccordo mi limiterò a illustrare le caratteristiche di questo punto.

Il punto di disaccordo consiste in un semplice equilibrio à la Cournot nella fornitura dei beni pubblici familiari da parte di marito e moglie, in cui si assume che norme sociali generalmente rispettate assegnino la responsabilità per alcune attività a un coniuge e per altre attività all’altro. L’assunzione dell’esistenza di sfere separate implica soluzioni ad angolo, quindi non neutralità nella fornitura del bene pubblico.

Si suppone che la fornitura del bene pubblico familiare q sia ₁ responsabilità del marito cosicché, in assenza di accordo, egli decide autonomamente sul livello di questo bene consumato dalla famiglia.. Allo stesso modo si suppone che la fornitura di q sia responsabilità della moglie. In un 2 matrimonio non cooperativo, i coniugi decidono simultaneamente sui livelli di q ₁ e q a cui contribuiscono. Questa assegnazione di compiti riflette una allocazione ₂ delle responsabilità matrimoniali socialmente sanzionata ed è indipendente dalle preferenze o dalle differenze di produttività tra i coniugi12. Il marito sceglie x e _h

1

q in modo da massimizzare la funzione U (xh,q1,q2) h

soggetta a xh + p1q1 = Ih

11

Anche se permettere che l’utilità di i dipenda dal consumo di j sarebbe una semplice estensione del modello.

12

dove q è il livello di bene pubblico scelto dalla moglie. Ciò dà origine alle ₂ seguenti funzioni di reazione :

) , , (p₁ I q₂ f x_h = xh _h ) , , ( _{1 2} 1 1 f p I q q = q _h

allo stesso modo le funzioni di domanda della moglie per x_w,q₂ dipendono da q . ₁ L’equilibrio di Cournot è determinato dall’intersezione delle funzioni di domanda per il bene pubblico.

Gli autori prendono come esempio le seguenti funzioni di utilità Klein-Rubin-Stone-Geary: ) log( ) 1 ( ) log( ) log( _{h h h 1 1h h h 2 2h} h h q q q q x x U =α − ′ +β − ′ + −α −β − ′ ) log( ) 1 ( ) log( ) log( w w w 2 2w w w 1 1w w w q q q q x x U =α − ′ +β − ′ + −α −β − ′ .

Poiché queste funzioni di utilità sono separabili, le funzioni di reazione sono indipendenti dalla quantità del bene pubblico procurato dall’altro coniuge :

∗ + ′ = h h h h x I x α , = ′ + h ⋅ _h∗ h I p q q 1 1 1 β ∗ + ′ = w w w w x I x α , = ′ + w ⋅ _w∗ h I p q q 2 2 2 β

dove I_h∗ e I_w∗ sono h h h h I x p q I∗ = − ′ − ₁⋅ ₁′ , w w w w I x p q I∗ = − ′ − ₂⋅ ₂′ .

Sostituendo le funzioni di reazione nelle funzioni di utilità si hanno le funzioni di utilità indiretta ) , , , ( _{1 2} 0 ∗ ∗ w h h I I p p V , ) , , , ( 1 2 0 ∗ ∗ w h w I I p p V .

L’utilità del marito dipende dalle risorse della moglie attraverso il consumo del bene pubblico da essa procurato, e viceversa. Poiché il punto di disaccordo dipende dai redditi individuali di entrambi ed è interno al matrimonio, una redistribuzione lump-sum di reddito all’interno della famiglia, a differenza del modello di Manser e Brown, cambia l’allocazione scelta nel gioco cooperativo cioè il punto di equilibrio raggiunto tramite la soluzine di Nash: non c’è più income pooling. Se si rimuove l’assunzione delle sfere separate, l’allocazione scelta sarà invariante nel medesimo caso: la non neutralità è una conseguenza delle assunzioni fatte.

Lundberg e Pollak propongono poi un'altra versione del modello in cui la moglie si specializza nella fornitura del bene pubblico q, ad esempio cura del bambino, mentre il marito si specializza nella fornitura di reddito monetario, una parte della quale viene trasferito alla moglie. Si assume che la distribuzione del surplus del matrimonio avvenga in due periodi. Nel primo periodo vengono realizzati i contratti. Quando questi vengono fatti le parti non sanno il valore dei redditi individuali. Si assume che le future coppie possano fare accordi prematrimoniali vincolanti senza costi riguardo a un trasferimento t da parte del marito alla moglie nel periodo 2. L’ammontare di t può essere aumentato volontariamente dal marito nel periodo 2, o può essere rimpiazzato da contrattazione cooperativa. Se non fossero possibili accordi vincolanti, in tutti matrimoni il livello di base di t sarebbe zero con la possibilità di aumentarlo nel secondo periodo.

Nel secondo periodo vengono realizzati i redditi e il marito può volontariamente fare un trasferimento addizionale s>0 per aumentare il suo consumo di q. Si suppone che il marito agisca per primo scegliendo x_h e s per massimizzare Uh(x_h,q)

soggetta al vincolo di bilancio x_h =I_h −t−s e alla funzione di reazione della moglie q(s). La moglie prende il trasferimento supplementare del marito come dato e sceglie x_w e q in modo da massimizzare

) , (x q

U w

w

soggetta xw + p⋅q=Iw +t+s dove p è il prezzo del bene pubblico. Si prenda, ad esempio, il caso delle funzioni di utilità Klein-Rubin-Stone-Geary:

) log( ) 1 ( ) log( _{h h h h} h h q q x x U =α − ′ + −α − ′ ) log( ) 1 ( ) log(x x q q Uw =α_{w w}− ′_w + −α_w − ′

per semplificare si pone q_h′ =q_w′ =q′ ,il risultato non cambia. Il reddito per le spese discrezionali è dato da

h h h I x I∗ = − ′ , q p x I I_w∗ = _w − _w′ − ⋅ ′ .

I trasferimenti supplementari hanno luogo quando

) ( ∗ ∗ ∗ _{− > +} w h h h t I I I α . Quando s >0, ), ( ∗ + ∗ + ′ = h h h w h x I I x α ), )( 1 ( − ∗+ ∗ + ′ = _{w w h h w} w x I I x α α ) ( ) 1 )( 1 ( _{∗ ∗} + ⋅       _{− −} + ′ = h w h w _{I I} p q q α α ,

danno origine a funzioni di utilità indiretta (punti di disaccordo) di forma

) , ( _h∗ + _w∗ i I I p V .

Quindi se nell’equilibrio vengono fatti trasferimenti supplementari positivi da marito a moglie,il valore della soluzione non cooperativa di ogni coniuge dipende solo dalle risorse totali della famiglia e non dai redditi individuali. Una redistribuzione lump-sum di reddito interna da marito a moglie verrà neutralizzata euro per euro dagli aggiustamenti del trasferimento supplementare s.

Se le realizzazioni diI ,_h I_w sono tali per cui la condizione per trasferimenti supplementari non è soddisfatta, i redditi individuali influenzano l’equilibrio. Se

0

=

s , il marito spende interamente il suo reddito disponibile I_h −t nel suo bene privato x , e la moglie spende il suo reddito totale _h I_w +t nel suo bene privato e nel suo bene pubblico. Le utilità corrispondenti a questo equilibrio di contribuzione volontaria sono

), , , ( 0 p I t I t Vh _h∗ − _w∗ + V0 (p,Iw t). w ∗ +

Nel modello a sfere separate con i trasferimenti supplementari il punto di disaccordo è indipendente dalla distribuzione interna di reddito,a meno che s=0.

La distribuzione delle risorse della famiglia, nel caso non cooperativo appena visto, dipenderà dal valore di t determinato nel mercato dei matrimoni. Per analizzare gli effetti di breve periodo di una redistribuzione operata tramite una politica economica, era appropriato prendere t come predeterminato. Nel lungo periodo i nuovi matrimoni terranno conto della redistribuzione, e se le coppie possono fare accordi prematrimoniali vincolanti, nei nuovi matrimoni l’effetto della politica economica verrà neutralizzato: il livello dei trasferimenti tra coniugi controbilancierà l’effetto della politica e si realizzerà dunque un equivalenza

ricardiana. Gli effetti rimangono solo per i matrimoni già esistenti, nei quali il livello di t è già stato stabilito.

Se è possibile fare accordi vincolanti, la redistribuzione può comportare effetti di lungo periodo, anche in questo caso però, i risultati del lungo periodo potranno essere diversi da quelli del breve13.

2.3.3 Osservazioni

Il modello di Lundberg e Pollak introduce due importanti novità. Innanzitutto introduce un modello di comportamento non cooperativo della famiglia, benché in questo caso sia solo il punto di disaccordo di un gioco cooperativo; il modello infatti, è sostanzialmente un modello cooperativo. L’equilibrio non cooperativo però, può essere anche l’equilibrio finale qualora i costi di transazione siano troppo alti. Si ammette dunque l’inefficienza delle scelte familiari anche se, nell’ambito del modello presentato, ciò è un caso limite. La seconda innovazione è che il modello di Lundberg e Pollak non implica income pooling. Una redistribuzione di reddito tra i coniugi può infatti modificare le scelte della famiglia, e di conseguenza i livelli di utilità che si hanno a seguito della contrattazione. Questa è un’importante differenza rispetto al modello di Manser e Brown nel quale ciò era possibile a patto che si modificasse l’utilità dell’individuo single (il punto di disaccordo in Manser e Brown è esterno al matrimonio).

13

Per capire meglio le differenze tra i due modelli presentati è utile vedere l’effetto che ha una redistribuzione di reddito all’interno della famiglia nei due casi con un esempio14. Supponiamo che esistano due tipi di sussidi per i figli. Entrambi consistono in un trasferimento di reddito, ma in un caso questo è destinato al padre, nell’altro alla madre. Assumiamo che il reddito totale della famiglia rimanga costante e che, in caso di divorzio, in entrambi i casi la madre abbia in affidamento il figlio e riceva il sussidio. Questo esempio è semplice da analizzare perché un trasferimento di reddito non implica nessun effetto sui prezzi.

Nel modello unitario, ad esempio quello di Becker, l’equilibrio è quel punto dell’insieme ammissibile che massimizza la funzione di utilità dell’altruista. Questo punto è indipendente da chi riceve il sussidio perché l’insieme ammissibile è lo stesso in entrambi i casi, sempre assumendo che la funzione di utilità non cambi. Nel modello di Manser e Brown l’equilibrio è determinato dall’insieme ammissibile e dal punto di disaccordo che è interpretato come il livello di utilità del single. L’equilibrio è indipendente da chi riceve il sussidio, perché sia l’insieme ammissibile che il punto di disaccordo non cambiano nei due casi.

Nel modello di Lundberg e Pollak i due tipi di sussidi possono implicare equilibri differenti in quanto, a causa dell’assunzione delle sfere separate, essi influenzano il punto di disaccordo quindi l’equilibrio finale. Nel lungo periodo gli effetti distributivi possono essere neutralizzati dai cambiamenti nel cosiddetto mercato dei matrimoni, nel caso siano possibili accordi prematrimoniali vincolanti

riguardo a trasferimenti di risorse tra gli sposi. Qualora questo tipo di contratti non sia possibile, e questo sembra il caso più realistico, possono esserci effetti di lungo periodo.

Il modello di Lundberg e Pollak non implica pertanto income pooling, una implicazione di molti modelli della famiglia che era stata contestata dai risultati empirici. Lo spazio per interventi ridistributivi è quindi più ampio rispetto al modello di Manser e Brown. Ciò è importante perché Pareto efficienza non significa uguaglianza e spesso uno dei coniugi può trovarsi in una situazione di minor potere contrattuale così da essere fortemente penalizzato (Pollak 1993). Per quanto riguarda la scelta del punto di disaccordo, il divorzio è forse un caso estremo, l’equilibrio non cooperativo proposto dai due autori sembra essere più verosimile ed anche la fondazione non cooperativa dei giochi cooperativi15 sembra sostenere che un punto di disaccordo come utilità durante il conflitto sia più appropriato. Una critica che si può muovere al modello di Lunberg e Pollak è che l’assunzione delle sfere separate su cui si regge il modello può essere arbitraria perciò, qualora non sia ammissibile, il modello non regge.

2.4 Argomenti a sostegno e critiche all’approccio cooperativo basato sulla teoria assiomatica

L’approccio cooperativo implica che, tra i componenti della famiglia, possano aver luogo contratti vincolanti circa l’allocazione delle risorse e che ci sia

15

perfetta informazione. Benché ciò sia molto improbabile nel contesto familiare, si assuma per adesso che accordi del genere siano possibili.Una delle critiche che si può porre all’approccio cooperativo basato sulla teoria assiomatica è proprio la scelta del concetto di soluzione: chi dice che nell’ambito della contrattazione gli agenti si comportano secondo ciò che prescrivono la soluzione di Nash o altri concetti risolutivi?

Recenti sviluppi della teoria dei giochi sembrano supportare l’utilizzo di modelli cooperativi che utilizzano questo concetto di soluzione. Binmore et al. (1986) dimostrano che la soluzione di Nash può essere interpretata come la soluzione di un gioco non cooperativo sequenziale, dove il punto di disaccordo è scelto in base al modello studiato, ma è comunque un livello di utilità durante il conflitto. Il problema decisionale della famiglia può essere visto come un gioco non cooperativo sequenziale in cui un giocatore fa la proposta e l’altro è libero di accettarla o rifiutarla e fare una controproposta, e così via fino che non si giunge all’accordo. L’equilibrio di questo gioco è uguale a quello che risulterebbe da un gioco cooperativo statico che applica la soluzione di Nash con un punto di disaccordo scelto opportunamente, ma che sia comunque un equilibrio interno. Questa conclusione sembra quindi indirizzare la scelta del punto di disaccordo verso un equilibrio non cooperativo interno tipo quello del modello di Lundberg e Pollak. Benché il risultato di Binmore ed altri sia formalmente impeccabile, il modello non cooperativo sequenziale di offerta alternata su cui è basato non sembra essere adatto a modellare il comportamento effettivo della famiglia nella contrattazione (Pollak 1993).

Una questione controversa dei modelli cooperativi è il fatto che implicano efficienza delle scelte. Questo deriva, nel caso dei modelli cooperativi analizzati, dall’utilizzo della soluzione di Nash che esplicitamente assume che i risultati della contrattazione godano di questa proprietà. Sarebbe appropriato dunque applicare questo concetto di soluzione qualora ci si aspetti un risultato efficiente. E’ questo il caso della famiglia? Molti autori sostengono di sì. L’efficienza necessita che si possano realizzare contratti vincolanti tra le parti, ma nel caso della distribuzione intra-familiare ciò non è legalmente possibile. I sostenitori dei modelli cooperativi sostengono che l’efficienza possa risultare dalla interazione ripetuta nel tempo quando ricorrono le condizioni del Folk theorem e la famiglia sembra possedere i requisiti necessari. C’è però da osservare innanzitutto che il Folk theorem permette di concludere soltanto che sono possibili equilibri efficienti, ma non che verranno necessariamente scelti. Il contesto poi in alcuni casi può non essere stazionario, qualora alcune scelte comportino variazioni del potere contrattuale nelle contrattazioni futuri. Questo, come dimostrano Lundberg e Pollak (2001), può dar origine a equilibri inefficienti. Inoltre molte scelte non sono ripetute16. Un’alternativa all’approccio cooperativo è quella di modellare il comportamento della famiglia come un gioco non cooperativo, nel quale ciascun giocatore fa la sua scelta prendendo la decisione dell’altro come data. Già Lundberg e Pollak avevano inserito un modello del genere come punto di disaccordo del loro gioco cooperativo che però poteva essere anche l’equilibrio finale, qualora ci fossero stati costi di transazione elevati. Il vantaggio dei modelli non coopertativi è che

16

l’efficienza non è assunta a priori ma può essere indagata. Esistono diversi tipi di modelli che verranno analizzati nel capitolo successivo.

2.5 Modelli à la Chiappori

Chiappori propone un modello cooperativo, il collective model, in cui non utilizza uno schema di contrattazione specifico come la soluzione di Nash, ma assume soltanto che l’equilibrio finale sia efficiente. I risultati sono simili a quelli dei modelli cooperativi visti precedentemente e anche le critiche sono le

medesime17.

CAPITOLO 3

MODELLI NON COOPERATIVI

3.1 Il problema dell’efficienza

Sia i modelli cooperativi che utilizzano la teoria assiomatica sia il collective model di Chiappori assumono che la contrattazione all’interno della famiglia porti a risultati Pareto efficienti. Il problema è che, all’interno della famiglia, non sono possibili accordi vincolanti che garantiscano tale risultato; in caso di violazione, infatti, non ci sarebbe alcuna autorità verso cui farli valere. I sostenitori di questi modelli ritengono che l’efficienza risulti dalla interazione ripetuta nel tempo quando ricorrono le condizioni del Folk theorem, e affermano che la famiglia possegga i requisiti necessari. A tale argomento si possono fare alcune obiezioni:

1) Il Folk theorem sostiene soltanto che, in un gioco ripetuto in un contesto stazionario, soluzioni efficienti sono possibili, ma non che verranno necessariamente scelte. Una delle versioni del teorema è la seguente: per ogni gioco ripetuto, se il fattore di sconto è sufficientemente elevato, qualsiasi payoff del gioco che assegni in ogni periodo un payoff medio superiore al più basso payoff del gioco costituente, può essere ottenuto come payoff associato ad un equilibrio di Nash del gioco ripetuto. Ciò comporta una proliferazione degli equilibri di Nash. Una delle principali conseguenze del Folk theorem è quindi che

la soluzione di un gioco è sostanzialmente indeterminata; pertanto, per prevedere il comportamento effettivo dei giocatori, occorre disporre di ulteriori informazioni sullo specifico contesto di interazione strategica in esame18. Si può concludere che, per le scelte ripetute, quali quelle quotidiane della famiglia, sono possibili anche equilibri efficienti, ma non è detto che verranno scelti.

2) Il contesto può non essere stazionario19.

3) Per molte scelte la ripetizione può essere molto costosa o impossibile, quindi l’argomento della interazione ripetuta non si può sostenere20.

In questi casi l’inefficienza non può essere assunta, ma deve essere indagata e i modelli sopra indicati non sono adatti a ciò.

3.2 I modelli non cooperativi

Un’ alternativa ai modelli cooperativi o à la Chiappori è quella di utilizzare modelli non cooperativi. La loro caratteristica è che essi non assumono che gli equilibri ottenuti siano Pareto efficienti: l’efficienza viene indagata. Ciò deriva dal fatto che non assumono che sia possibile fare contratti vincolanti, ma puntano l’attenzione sugli equilibri self-enforceable e questi, nella teoria dei giochi non cooperativi, possono essere efficienti e non. Ammettendo

18

Brighi (1996) 19

l’inefficienza delle scelte familiari, gli interventi dello Stato acquistano un’altra funzione rispetto a quella vista nei modelli del capitolo precedente; in questi ultimi infatti, le scelte sono efficienti e l’ intervento dello Stato ha come unico obbiettivo e risultato una variazione della distribuzione inter-familiare, quindi dell’equità. Nei modelli non cooperativi invece, qualora l’equilibrio finale sia inefficiente, lo Stato può influenzare la scelta della famiglia in modo da farle raggiungere un risultato Pareto superiore. La difficoltà dell’impiegare la teoria dei giochi non cooperativi alla famiglia, però, risiede nel fatto che ciò richiede di specificare precisamente le regole dell’interazione, cosa che la teoria cooperativa non richiede21 e, nella famiglia, queste regole non sono così chiaramente identificabili. Il problema è quindi modellare le interazioni familiari come uno dei giochi offerti dalla teoria non cooperativa. Chiaramente la scelta del gioco dipende dal problema da esaminare.

Alcuni autori utilizzano giochi non cooperativi one-shot che adottano come concetto di soluzione l’equilibrio di Nash. In questi giochi, ciascun partecipante massimizza la propria utilità prendendo il comportamento dell’altro come dato. Ciò dà origine a funzioni di reazione per ciascun giocatore, l’intersezione delle quali rappresenta l’equilibrio di Nash ovvero un profilo di strategia dove ciascuno gioca la sua risposta ottima a quella dell’altro. Giochi del genere possono dare origine a un equilibrio efficiente, inefficiente o ad una serie di equilibri in cui sono presenti entrambi i tipi. In quest’ultimo caso non c’è un modo ovvio di scegliere quale equilibrio si realizzerà. Pollak (1994), citando Kreps (1990), afferma che in molti giochi che presentano equilibri multipli,

21

La Nash bargaining solution, dato l’insieme ammissibile e il threat point, permette di individuare il risultato della contrattazione, ma come questa avvenga non è specificato.

spesso c’è un modo evidente di giocare (self-evident way to play) al quale corrisponde un particolare equilibrio di Nash. Questo non può essere identificato dalla struttura formale del gioco, ma dal contesto sociale e in particolare dagli usi convenzionali. Nel caso della famiglia, continua Pollak, le convenzioni sociali riguardo alle responsabilità di marito e moglie possono suggerire ai coniugi un particolare equilibrio22. I giochi non cooperativi one-shot sono utili a modellare scelte che vengono fatte una sola volta, irreversibili o che è molto costoso ripetere. Nel caso della famiglia, si tratta di solito di fornitura privata di beni pubblici. Questi modelli sono analoghi al modello di fornitura privata di beni pubblici analizzato da Bergstrom et al. (1986) per cui il bene pubblico è sotto prodotto (inefficienza) e c’è neutralità rispetto al controllo delle risorse a meno di soluzioni ad angolo e sempre che il costo di fornitura del bene pubblico sia uguale per entrambi.

Per alcuni tipi di scelta, soprattutto di carattere quotidiano, è possibile invece utilizzare i giochi non cooperativi ripetuti. In questo caso, sotto certe condizioni, possono esserci equilibri efficienti; si presenta però il problema degli equilibri multipli caratteristico dei giochi ripetuti.

Un altro modo di modellare il comportamento della famiglia è quello di utilizzare i giochi a due stadi. Tali modelli sono utilizzati soprattutto per analizzare quelle scelte che influenzano il potere contrattuale futuro. L’idea è che, quando ciò avviene, i giocatori effettueranno la scelta tenendo conto del influenza che ciò avrà sul potere contrattuale futuro e ciò può portare a risultati inefficienti. Il primo stadio è di solito un gioco non cooperativo, poiché molte delle scelte

importanti della famiglia sono prese una volta sola; il secondo è un gioco à la Chiappori o un gioco cooperativo, entrambi possono anche essere visti come il “riassunto” di un gioco ripetuto che riguarda scelte di ogni giorno. Il risultato del secondo stadio dipende dalla scelta fatta nel primo e questa dipende da ciò che i giocatori otterranno nel secondo stadio. Quando non sono possibili accordi vincolati, questi giochi possono dare origine a soluzioni inefficienti (Lundberg e Pollak 2001). I giochi a due stadi utilizzati nell’economia della famiglia sono dunque simili ai giochi one shot ma, mentre quest’ultimi focalizzano l’attenzione soltanto sulla scelta, i modelli a due stadi tengono conto dell’effetto che questa ha sul potere contrattuale futuro.

Un ultimo caso è quello dei giochi dinamici, in cui l’azione in ogni periodo influenza il potere contrattuale nel periodo successivo. Questi sono adatti per modellare, ad esempio, l’effetto della continua accumulazione di capacità nel lavoro sui salari e sul potere contrattuale futuro (Pollak 2004).

I giochi non cooperativi, poiché consentono di affrontare il problema dell’efficienza, hanno acquistato sempre più importanza nell’economia della famiglia. E’ necessario però chiarire un equivoco dovuto alla terminologia. L’aggettivo “non cooperativi” non significa che i coniugi non collaborino, ma si tratta di una collaborazione diversa da quella dei modelli visti nel capitolo precedente. La diversità risiede nel fatto che non sono possibili accordi vincolanti, quindi i coniugi si comportano di conseguenza scegliendo l’opzione che massimizza la propria utilità prendendo la scelta dell’altro come data. Ad esempio si consideri la scelta di fertilità di una coppia. I coniugi devono decidere se fare un figlio o meno. Avere un figlio porterebbe felicità ad entrambi, ma ciò a un costo

in termini di cura del bambino. Se fosse possibile accordarsi con contratti vincolanti, i coniugi potrebbero mettersi d’accordo nel contribuire entrambi alla cura del figlio. Se ciò non è possibile, la promessa di uno dei coniugi potrebbe non essere mantenuta e l’altro dovrebbe farsi carico della cura. Considerando ciò, è possibile che ciascun coniuge preferisca rinunciare all’avere un figlio che occuparsi interamente del medesimo. La soluzione del gioco sarebbe quindi di non avere figli e ciò sarebbe una soluzione inefficiente perché, mettendosi d’accordo, potrebbero raggiungere un risultato Pareto superiore. Questo comportamento non significa non collaborazione, ma agire razionalmente in base alla struttura del problema, cioè sapendo che l’impegno del coniuge può non essere credibile.

3.3 Modelli non cooperativi one-shot

Molti dei modelli non cooperativi one shot della famiglia sono modelli di contribuzione volontaria a un bene pubblico. Già Becker (1981) sosteneva che gran parte dell’attività economica della famiglia può essere spiegata come il risultato di una contribuzione volontaria dei membri. Ad esempio, la cura ed educazione dei figli e la cura delle persone anziane sono beni pubblici della famiglia poiché nessuno dei membri della famiglia può esserne escluso dal godimento, inteso come utilità che ne deriva, e il godimento di uno non esclude quello dell’altra. Ciascuno dei coniugi contribuisce con la sua parte nel fornire il

bene in questione. Per capire questi modelli, è utile perciò vedere brevemente alcune caratteristiche della fornitura privata di beni pubblici.

Nella teoria dei beni pubblici, uno dei modelli base di fornitura privata è quello in cui i contribuenti hanno funzioni di utilità che dipendono da un bene privato e da un bene pubblico dove la quantità di bene pubblico è data dalla somma delle contribuzioni dei contribuenti. Ciascuno deve scegliere la quantità di bene privato e il contributo al bene pubblico. Il gioco viene risolto utilizzando l’equilibrio di Nash: ciascun giocatore massimizza la propria funzione di utilità (che gode delle proprietà standard), scegliendo il bene privato e il suo contributo al bene pubblico, soggetta al vincolo di bilancio e prendendo il contributo degli altri come dato. Ciò dà origine a funzioni di risposta ottima. L’equilibrio di Nash consiste in una situazione in cui ciascuno gioca la propria risposta ottima alle strategie dell’altro. Sotto l’assunzione che le funzioni di utilità siano doppiamente differenziabili e strettamente quasi concave e che il bene privato e pubblico siano normali, l’equilibrio esiste ed è unico23. Un risultato standard della teoria dei beni pubblici è che il bene sarà sotto-fornito24; la fornitura privata di bene pubblico è quindi inefficiente. Un altro risultato importante è quello di Warr (1983) il quale afferma che, quando un bene pubblico è fornito con lo stesso costo di contribuzione da individui, ciascuno dei quali fa una contribuzione positiva, una redistribuzione lump-sum di reddito non modifica il livello di bene pubblico né di quello privato. Ciò a prescindere dalle differenze delle preferenze riguardo al bene pubblico e di quelle della propensione marginale a contribuire. Questo risultato però, presenta dei limiti: innanzitutto richiede che il numero di contribuenti non

23

Per la dimostrazione vedi Bergstrom et al. (1986) e Konrad e Lommerud (1995) 24

vari, inoltre riguarda un solo bene pubblico e non vale nel caso di soluzione ad angolo. Bergstrom et al. (1986) ripropongono lo stesso risultato dandone però una dimostrazione diversa e più intuitiva; mostrano poi come questo valga anche nel caso ci siano più beni pubblici. Sostengono che, se gli individui hanno preferenze convesse e ci si trova inizialmente in un equilibrio di Nash interno, allora se si ha una redistribuzione tra i contribuenti tale che in numero di essi non varia, nel nuovo equilibrio ogni consumatore consumerà la stessa quantità di bene pubblico e privato di prima; anche loro assumono sempre che il prezzo di contribuzione sia lo stesso. La spiegazione degli autori di questo risultato, è che, a seguito della redistribuzione, ciascun individuo cambierà il suo contributo in modo uguale alla variazione di reddito; di conseguenza la somma dei contributi rimane la stessa. Questo modello è alla base di molti problemi decisionali della famiglia.

3.3.1 Un semplice modello di contribuzione volontaria ad un bene pubblico familiare

L’esempio più semplice di modello non cooperativo25 della famiglia è quello in cui i coniugi contribuiscono nella fornitura di un bene pubblico che può essere la cura dei bambini o delle persone anziane ecc. Ciascun coniuge ha una funzione di utilità che gode delle proprietà standard definita su un vettore di beni privati e un bene pubblico entrambi normali,

) , (x q Uh = _h ) , (x q Uw = _w e un vincolo di bilancio h h h pq I x + = w w w pq I x + =

dove p è il prezzo di contribuzione al bene pubblico

q ,h q sono le contribuzioni dei coniugi al bene pubblico w I ,_h I sono i redditi esogeni _w

Ciascun coniuge scegliex ,_i q_i i=x,q che massimizza la propria funzione di utilità soggetta al proprio vincolo di bilancio e a q=qh +qw, prendendo il contributo dell’altro come dato.

) , ( maxU_i x_i q_i +q_j soggetta a i i i pq I x + =