Modelli non cooperativi con gioco ripetuto

Alcune scelte della famiglia, ad esempio quelle quotidiane, sono ripetute più volte. Per queste scelte si utilizzano in genere giochi ripetuti che possono portare a risultati diversi rispetto a giochi non cooperativi one shot. Un gioco ripetuto consiste nel replicarne uno statico detto “gioco costituente”. Un gioco ripetuto può essere rappresentato in forma strategica, indicando l’insieme delle strategie possibili e le funzioni dei payoff. Una strategia del gioco ripetuto è una successione di strategie adottate nei singoli giochi costituenti, cioè specifica una scelta del giocatore in ogni periodo per l’intera durata del gioco ripetuto. Si assume che il gioco ripetuto abbia un orizzonte infinito, cioè vada da 0 all’infinito. Una strategia del giocatore i del gioco ripetuto è indicata nel modo seguente ... ... , 1 0 t i i i i s s s r =

dove s_it è la strategia del gioco costituente scelta dal giocatore al tempo t

(strategia costituente) mentre r è la strategia del gioco ripetuto (strategia _i ripetuta). La strategia al tempo t può dipendere dalla storia del gioco, cioè dai profili di strategia utilizzati fino a quel momento. In corrispondenza di ogni profilo di strategie ripetute (r₁,r₂) i payoff dei giocatori sono dati dal flusso dei payoff dei giochi costituenti attualizzati con un fattore di sconto R compreso tra 0 ed 1 (se invece di assumere che l’orizzonte del gioco sia infinito si assume che sia incerta la data della fine e che questa non dipende dal trascorrere del tempo, il fattore di sconto può essere interpretato come la probabilità che il gioco costituente sia ripetuto nel periodo successivo). Il payoff del giocatore i è dunque

... ) , ( ... ) , ( ) , ( ) , ( _{i 2} = _{i 1}0 ₂0 + ⋅ _{i 1}1 ₂1 + + t ⋅ _{i 1}t ₂t + i r r v s s R v s s R v s s V

L’insieme delle strategie ripetute è formato da tutte le possibili successioni temporali di strategie costituenti. E’ quindi molto ampio, anche se il gioco costituente è semplice. Una strategia ripetuta può essere espressa indicando una regola che consenta di costruire la successione delle strategie costituenti. Due esempi sono la tit for tat e la trigger strategy31. Il gioco ripetuto è formalmente analogo a quello in forma strategica, dunque si applicano gli stessi concetti risolutivi. La caratteristica dei giochi ripetuti è che, come si è visto all’inizio del capitolo, se il fattore di sconto è sufficientemente elevato si hanno equilibri multipli, perciò la soluzione di un gioco sostanzialmente indeterminata; quindi, per prevedere il comportamento effettivo dei giocatori, occorre disporre di ulteriori informazioni sullo specifico contesto di interazione strategica in esame32. Tra gli equilibri multipli sono possibili anche equilibri efficienti, ma non è detto che verranno scelti (si arriva ad un equilibrio cooperativo anche senza accordi vincolanti). Si veda ad esempio il gioco dilemma del prigioniero, nel gioco uniperiodale da un risultato inefficiente. Il gioco ripetuto ammette varie soluzioni; se il fattore di sconto è sufficientemente elevato tra gli equilibri possibili, c’è anche quello cooperativo che è quello ottimale. Il fattore di sconto elevato fa sì

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Tit for tat è una strategia ripetuta in cui il giocatore gioca una determinata strategia al tempo 0 e poi gioca la strategia che ha scelto l’avversario nel periodo precedente. Nella trigger strategy la strategia costituente giocata dal giocatore al tempo t dipende dai profili di strategie costituenti giocati nei periodi precedenti.

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che lo svantaggio di deviare dall’equilibrio cooperativo sia maggiore del vantaggio di fare ciò.

Lundberg e Pollak (1994) propongono un gioco ripetuto in un contesto stazionario in cui il gioco costituente è il gioco di contribuzione volontaria a un bene pubblico della famiglia . Assumono che il matrimonio duri all’infinito e che l’obbiettivo di ciascun coniuge sia massimizzare il valore scontato di un flusso infinito di utilità ) , ( _{ht t} h t t hU x q

∑

∑

dove ρ sono i fattori di sconto x sono i beni privati e q il bene pubblico familiare. La quantità di bene pubblico familiare è data dalla somma delle contribuzione dei due e ciascuno decide al riguardo simultaneamente, prendendo la decisone dell’altro come data. Il gioco costituente è un gioco di contribuzione volontaria ad un bene pubblico come quello visto all’inizio del paragrafo precedente. Ci sono due coniugi con una funzione di utilità definita su un bene privato e un bene pubblico al quale entrambi contribuiscono. Hanno un vincolo di bilancio con un reddito esogeno. Il costo della contribuzione è identico per i due coniugi. Ciascun coniuge massimizza la propria funzione di utilità prendendo la scelta dell’altro come data. Ciò dà origine ad un equilibrio di Nash caratterizzato da inefficienza, poiché il bene pubblico e sotto prodotto e l’equilibrio è invariante a redistribuzioni se entrambi contribuiscono. Ripetendo il gioco, se il fattore di sconto è sufficientemente elevato, sono possibili altri equilibri e la perdita dovuta alla non cooperazione può spingere i giocatori a dipartire dalla soluzione del gioco

costituente e giungere ad un accordo. Perché siano possibili equilibri Pareto efficienti, è necessario che un giocatore possa punire l’altro in caso di deviazione dall’accordo. La minaccia della punizione deve essere credibile e ciò necessità che il vantaggio che si ha dal deviare sia minore della perdita in caso di punizione. Nel caso della famiglia, un membro può punire l’altro riducendo la propria contribuzione. In sostanza il fattore di sconto deve avere un valore sufficientemente elevato da far sì che il vantaggio derivante dal deviare da un equilibrio cooperativo sia inferiore alla punizione inflitta nei periodi successivi, in caso di deviazione. In questa situazione sono possibili equilibri cooperativi efficienti. Il problema, come in ogni gioco ripetuto, è la presenza di equilibri multipli perciò non si può affermare senza ulteriori informazioni quale di essi verrà scelto. Lunberg e Pollak, comunque, giungono ad una conclusione interessante riguardo all’effetto di una redistribuzione di reddito interna. Il livello di sicurezza del marito, quindi il suo livello di utilità di riserva, è l’utilità che raggiunge se la moglie rifiuta di contribuire al bene pubblico,cioè se attua la punizione. Lo stesso vale per l’altro membro. La stessa cosa accade per la moglie. Questi punti di punizione implicano che una redistribuzione delle risorse da marito a moglie trasli l’insieme di equilibri in favore della moglie nel senso che, se gli equilibri fossero scelti a caso da quest’insieme, l’utilità attesa della moglie aumenterebbe e quella del marito diminuirebbe. La presenza di equilibri multipli non permette di raggiungere risultati forti di statica comparata, ma l’asserire che l’utilità attesa di chi riceve un aumento di risorse è maggiore è già un risultato importante perché permette di affermare che la distribuzione delle risorse conta (come vuole l’evidenza empirica).

Il modello di Lundberg e Pollak dunque, benché non individui un equilibrio finale, permette almeno di concludere che una redistribuzione di reddito può influenzare l’equilibrio e ciò è in accordo con l’evidenza empirica33.

Per assicurare che ci siano anche risultati Pareto efficienti, si è assunto che il gioco è ripetuto all’infinito e i giocatori non scontino troppo il futuro cosicché le minacce di punizione sono efficaci. La ripetizione all’infinito non è necessaria . Si può fare un’assunzione più debole assumendo che ci sia una fine casuale; in tal caso i fattori di sconto saranno reinterpretati, in modo da includere la probabilità di fine. Quindi, se la famiglia finisce con la morte (esogena) di uno dei membri e la probabilità di morte è indipendente dall’età, si può applicare il Folk theorem. Se la probabilità aumenta con l’età, come in effetti è, il gioco è non stazionario; si conseguenza minore è il tempo atteso di partecipare al gioco, più difficile è sostenere che siano possibili risultati Pareto ottimali (varia il fattore di sconto). Benché per molte scelte, quali quelle quotidiane, sia plausibile assumere che siano ripetute in un contesto stazionario, rimane il problema degli equilibri multipli e la scelta tra questi è la questione fondamentale, che richiede però altre informazioni. Se si assume che la contrattazione dia luogo a equilibri efficienti e che l’equilibrio efficiente sia unico, si possono utilizzare i modelli cooperatavi che utilizzano la teoria assiomatica o un modello à la Chiappori come strumento che permetta di individuare quale degli equilibri efficienti verrà scelto. L’ obiezione è sempre la stessa: l’efficienza spesso non si può assumere. I modelli non cooperativi ripetuti, qualora non siano integrati da altre informazioni che diano la possibilità di scegliere un particolare equilibrio, non sono molto utili per

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modellare il comportamento della famiglia perché non permettono né prevedere l’equilibrio finale né di concludere se sia efficiente o meno.