Modelli non cooperativi one-shot

Molti dei modelli non cooperativi one shot della famiglia sono modelli di contribuzione volontaria a un bene pubblico. Già Becker (1981) sosteneva che gran parte dell’attività economica della famiglia può essere spiegata come il risultato di una contribuzione volontaria dei membri. Ad esempio, la cura ed educazione dei figli e la cura delle persone anziane sono beni pubblici della famiglia poiché nessuno dei membri della famiglia può esserne escluso dal godimento, inteso come utilità che ne deriva, e il godimento di uno non esclude quello dell’altra. Ciascuno dei coniugi contribuisce con la sua parte nel fornire il

bene in questione. Per capire questi modelli, è utile perciò vedere brevemente alcune caratteristiche della fornitura privata di beni pubblici.

Nella teoria dei beni pubblici, uno dei modelli base di fornitura privata è quello in cui i contribuenti hanno funzioni di utilità che dipendono da un bene privato e da un bene pubblico dove la quantità di bene pubblico è data dalla somma delle contribuzioni dei contribuenti. Ciascuno deve scegliere la quantità di bene privato e il contributo al bene pubblico. Il gioco viene risolto utilizzando l’equilibrio di Nash: ciascun giocatore massimizza la propria funzione di utilità (che gode delle proprietà standard), scegliendo il bene privato e il suo contributo al bene pubblico, soggetta al vincolo di bilancio e prendendo il contributo degli altri come dato. Ciò dà origine a funzioni di risposta ottima. L’equilibrio di Nash consiste in una situazione in cui ciascuno gioca la propria risposta ottima alle strategie dell’altro. Sotto l’assunzione che le funzioni di utilità siano doppiamente differenziabili e strettamente quasi concave e che il bene privato e pubblico siano normali, l’equilibrio esiste ed è unico23. Un risultato standard della teoria dei beni pubblici è che il bene sarà sotto-fornito24; la fornitura privata di bene pubblico è quindi inefficiente. Un altro risultato importante è quello di Warr (1983) il quale afferma che, quando un bene pubblico è fornito con lo stesso costo di contribuzione da individui, ciascuno dei quali fa una contribuzione positiva, una redistribuzione lump-sum di reddito non modifica il livello di bene pubblico né di quello privato. Ciò a prescindere dalle differenze delle preferenze riguardo al bene pubblico e di quelle della propensione marginale a contribuire. Questo risultato però, presenta dei limiti: innanzitutto richiede che il numero di contribuenti non

23

Per la dimostrazione vedi Bergstrom et al. (1986) e Konrad e Lommerud (1995) 24

vari, inoltre riguarda un solo bene pubblico e non vale nel caso di soluzione ad angolo. Bergstrom et al. (1986) ripropongono lo stesso risultato dandone però una dimostrazione diversa e più intuitiva; mostrano poi come questo valga anche nel caso ci siano più beni pubblici. Sostengono che, se gli individui hanno preferenze convesse e ci si trova inizialmente in un equilibrio di Nash interno, allora se si ha una redistribuzione tra i contribuenti tale che in numero di essi non varia, nel nuovo equilibrio ogni consumatore consumerà la stessa quantità di bene pubblico e privato di prima; anche loro assumono sempre che il prezzo di contribuzione sia lo stesso. La spiegazione degli autori di questo risultato, è che, a seguito della redistribuzione, ciascun individuo cambierà il suo contributo in modo uguale alla variazione di reddito; di conseguenza la somma dei contributi rimane la stessa. Questo modello è alla base di molti problemi decisionali della famiglia.

3.3.1 Un semplice modello di contribuzione volontaria ad un bene pubblico familiare

L’esempio più semplice di modello non cooperativo25 della famiglia è quello in cui i coniugi contribuiscono nella fornitura di un bene pubblico che può essere la cura dei bambini o delle persone anziane ecc. Ciascun coniuge ha una funzione di utilità che gode delle proprietà standard definita su un vettore di beni privati e un bene pubblico entrambi normali,

) , (x q Uh = _h ) , (x q Uw = _w e un vincolo di bilancio h h h pq I x + = w w w pq I x + =

dove p è il prezzo di contribuzione al bene pubblico

q ,h q sono le contribuzioni dei coniugi al bene pubblico w I ,_h I sono i redditi esogeni _w

Ciascun coniuge scegliex ,_i q_i i=x,q che massimizza la propria funzione di utilità soggetta al proprio vincolo di bilancio e a q=qh +qw, prendendo il contributo dell’altro come dato.

) , ( maxU_i x_i q_i +q_j soggetta a i i i pq I x + =

) , , ( _h w x h f p I q x = h _{( , ,} h₎ w x w f p I q x = w ) , , ( w h q h f p I q q = h _{( , ,} h₎ w q w f p I q q = w

Il livello di bene pubblico fornito è dato dall’intersezione delle funzioni di reazione relative alle contribuzioni degli individui. Il modello visto è analogo a quello di contribuzione volontaria di Bergstrom ed al. (1986), per cui il bene pubblico sarà sotto fornito e la redistribuzione lump-sum, delle risorse all’interno della famiglia non influenzerà né il livello di bene pubblico né di quello privato (l’utilità dei singoli rimane costante) a meno che non ci siano soluzioni ad angolo. Una redistribuzione all’interno della famiglia che si trova in un equilibrio interno, ad esempio trasferendo un sussidio dal marito alla moglie, non avrà dunque alcun effetto sul livello di q poiché il marito diminuirà la sua contribuzione e la moglie l’aumenterà nella stessa quantità. Ciò, però, va contro l’evidenza empirica26 in cui si riscontra la distribuzione di reddito influenza l’equilibrio finale. Il modello proposto non è quindi adatto a rappresentare il comportamento della famiglia.

3.3.2 Il modello non cooperativo di Lundberg e Pollak (1993)

Si supponga che la contribuzione riguardi due beni pubblici e che sia desiderabile la coordinazione, cioè ciascun coniuge fornisce uno dei due beni. Ci sono due equilibri di Nash uno, nel quale il marito fornisce il bene 1 e la moglie il

bene 2; l’altro in cui i ruolo sono invertiti. Si presenta quindi il problema degli equilibri multipli. La scelta dell’equilibrio può essere legata alla storia e al contesto sociale. Lunberg e Pollak sostengono che questo sia il caso del modello non cooperativo del loro modello a sfere separate (1993) dove alcuni beni ricadono nella sfera di competenza della moglie, altri in quella del marito; l’equilibrio è quindi legato alle specializzazione rispetto al genere. In questo modello si creano soluzioni ad angolo e la proprietà di neutralità sopra indicata non vale, quindi una redistribuzione di reddito tra i coniugi ha effetto sul livello di bene pubblico e sull’utilità dei membri. Anche nella seconda versione proposta da Lundberg e Pollak, in cui il marito si specializza nella fornitura di reddito e la moglie in quella di un singolo bene pubblico,qualora si creino soluzioni ad angolo (e ciò avviene quando il marito non fa trasferimenti supplementari), la proprietà di non neutralità non vale. L’equilibrio non cooperativo presentato da Lunberg e Pollak implica l’inefficienza delle scelte e non comporta income pooling, in rispetto dell’evidenza empirica27. Esso rappresenta uno dei modelli base dell’approccio non cooperativo alla famiglia. Come accennato nel capitolo precedente, però, si fonda sull’assunzione delle sfere separate che non è necessariamente realistica.

3.3.3 Il modello di Konrad e Lommerud (1995)

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Seguendo le orme di Lundberg e Pollak, Konrad e Lommerud propongono un modello non cooperativo one-shot di contribuzione volontaria ad un bene pubblico, basato sull’equilibrio di Nash. Tuttavia, a differenza dei precedenti autori, essi non partono dall’assunzione che ciascun coniuge si specializzi nello svolgere particolari compiti, cosa che comporta che ogni equilibrio sia una soluzione ad angolo dove è risaputo che la distribuzione del reddito conta. Konrad e Lommerud mostrano invece che, qualora i coniugi abbiamo differenti produttività relative (vantaggi comparati) nel fornire il bene pubblico, una redistribuzione di reddito ha effetto anche in un equilibrio interno dove quindi entrambi i coniugi fanno contribuzioni positive. In particolare il modello considera due coniugi, h e w, che devono scegliere come allocare il tempo tra lavoro esterno e lavoro per contribuire al bene pubblico. Entrambi hanno una funzione di utilità, definita su un bene privato x e un bene pubblico Q _i 28

) , (x Q

Ui _i i=h,w

Le funzioni di utilità possono essere diverse. Non ci sono preferenze interdipendenti, pertanto il comportamento dei coniugi è solo legato dalla presenza del bene pubblico. Viene assunto inoltre, che la funzione di utilità sia doppiamente differenziabile, quasi concava e che entrambi i beni siano indispensabili. Ogni individuo alloca il tempo totale m tra lavoro per contribuire al bene pubblico, c , e lavoro esterno, _i m−c_i. I coniugi hanno diverse produttività nello svolgere i due lavori : d è la produttività nello svolgere lavoro per fornire il _i

bene pubblico, mentre quella nel lavoro esterno è data dal salario orario s . La _i quantità di bene pubblico a cui contribuisce i è perciò data da q_i =d_ic_i e la quantità di bene pubblico è Q=q_h +q_w. Il problema decisionale di h è quindi il seguente ) , ( max , U xh Q h q xh soggetta a Q d s x c d d s v m s_{h a h h h w h h h} h ≡ + +( / ) ≥ +( / ) ω 0 ≥ −dhch Q h h v x ≥

Il secondo e terzo vincolo sono vincoli di non negatività della scelta allocativa. Il primo vincolo invece, è il vincolo di bilancio presentato in questa forma per esigenze di analisi. E’ opportuno spiegarne il significato. Si sa innanzitutto il reddito massimo di h , s_hm più la ricchezza monetaria v , deve essere maggiore _h del consumo del bene privato più il costo della contribuzione al bene pubblico (che è il costo opportunità in unità del bene privato di contribuire di un unità addizionale al bene pubblico) cioè

h h h h h hm v x s d q s + ≥ +( / )

L’individuo w contribuisce al bene pubblico con d_wc_w. Per h ciò corrisponde a un reddito equivalente di (s_h/d_h)d_wc_w. Aggiungendo ciò ad entrambi i lati e tenendo conto della relazione Q=q_h +q_w, si ha un equazione in cui il sul lato sinistro c’è il reddito imputato, e sul lato destro la spesa imputata per il bene privato e il bene pubblico: Q d s x c d d s v m s_h + _a +( _h / _h) _{h w} ≥ _h +( _h/ _h)

ovvero il vincolo presente nel problema di massimizzazione. Il problema decisionale di w è analogo.

A parte i vincoli di non negatività, il problema di scelta dei due coniugi coincide dunque col problema decisionale di una famiglia che deve scegliere due beni, in cui il prezzo del bene privato è 1 mentre il prezzo del bene pubblico è (s /_h d_h). E’ lo stesso modello di Lundberg e Pollak, a parte il fatto che qui si tiene conto delle produttività e non si assumono le sfere separate. Ciascun problema decisionale dà origine a curve di reazione

)) / ( , ( _{h h h} Q d s f Q= ω Q= fQ(ω_w,(s_w/d_w)) )) / ( , ( _{h h h} x h f s d x = h ω _{( ,( / ))} w w w x w f s d x = w ω w h h h Q h f s d q q = (ω ,( / ))− h w w w Q w f s d q q = (ω ,( / ))− .

L’intersezione delle curve di reazione relative ai contributi degli individui fornisce l’equilibrio di Nash ed in particolare i valori (q_h∗,q_w∗,Q) . Da questi, in base alla

relazione q_i =d_ic_i si ricavano (c_h∗,c_w∗) da cui tramite la relazione

i i i i m c s v

x =( − ) + si ricavano (x_h∗,x_w∗). Trattandosi di fornitura privata di un bene pubblico, si sa che questo sarà prodotto a un livello sub efficiente. Intuitivamente ciò è dovuto al fatto che, lavorando a casa, una persona non tiene conto del beneficio che l’altro ne trae. Inoltre ci sarà una tendenza alla specializzazione per cui chi ha un vantaggio comparato nella fornitura di bene pubblico contribuirà di più. Il contributo sarà maggiore per l’individuo più ricco e quello con le preferenze più forti riguardo al bene pubblico. Gli autori assumono poi che le curve reddito consumo xi(Q)per dati livelli di ω_i e s /_i d_iabbiano un inclinazione positiva. Ciò equivale ad assumere che i beni siano normali. In base a questa assunzione e a quella precedentemente fatta per cui le funzioni di utilità sono doppiamente differenziabili e strettamente quasi concave, gli autori dimostrano che un equilibrio di Nash esiste ed è unico.

Un equilibrio interno, in questo modello, è perciò caratterizzato in modo seguente. I coniugi consumano la stessa quantità di bene pubblico Q al quale ∗ entrambi contribuiscono. Inoltre Q∗ =d_hc∗_h +d_wc∗_w e x_i∗ =w_i(m−c_i)+v_i

soddisfano (s_i/d_i)U_xi(x_i∗,Q∗)=U_Gi (x_i∗,Q∗) cioè gli individui si trovano sulle proprie curve reddito consumo. Lungo queste curve l’inclinazione delle curve di indifferenza è uguale a quella dei prezzi relativi (è un ottimo ) che è −(s_i/d_i). E’ importante verificare se il modello rispetta l’evidenza empirica29 per cui una redistribuzione di reddito all’interno della famiglia influenza l’equilibrio. Si è visto che nel modello di contribuzione volontaria a un bene pubblico, una

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redistribuzione lump-sum di reddito tra i coniugi, qualora ci si trovi in un equilibrio interno, è neutrale. Ciò è vero a patto che le produttività relative nella contribuzione nel bene pubblico (misurate come il costo opportunità in unità di consumo del bene privato che si ha contribuendo con un unità addizionale di lavoro nel bene pubblico) siano uguali. Qualora differiscano, questa neutralità non è più valida. E’ il caso del modello di Konrad e Lommerud i quali, infatti, sostengono che nel loro modello, nel caso in cui i due coniugi abbiano produttività relative diverse, un piccolo trasferimento dal coniuge che sopporta un costo opportunità maggiore (h ad esempio) a quello che sopporta un costo opportunità minore (w) comporta un miglioramento Paretiano. La dimostrazione da loro proposta è la seguente. Si supponga che l’equilibrio prima della redistribuzione sia il seguente (x_a∗,x_b∗,Q∗). Dopo il trasferimento l’equilibrio è (x_a∗∗,x_b∗∗,Q∗∗). Dato che il nuovo equilibrio è un equilibrio interno (si suppone che il trasferimento sia tale da rimanere in un equilibrio interno), è sufficiente mostrare che Q∗∗ >Q∗ visto che ciò implica che x_i∗∗ >x_i∗ i=h,w perché le curve reddito consumo sono crescenti e la soluzione si deve trovare su queste curve. Ciò implica che entrambi coniugi staranno meglio nel nuovo equilibrio. In un equilibrio si ha che

h h h h h h h hm d s v d s x q d +( / ) =( / ) + w w w w w w w wm d s v d s x q d +( / ) =( / ) + quindi

m s d v s d v s d x s d x s d Q+( _w / _h) _h +( _w/ _w) _w =( _h / _h) _h +( _w/ _w) _w +( _h + _w) .

In un equilibrio interno entrambi i coniugi si trovano sulle loro curve reddito consumo _xh(_Q,_dh /_sh) _{e ( , / )}

w w w _{Q d s}

x . Si è assunto che queste curve siano

strettamente crescenti in Q. Sostituendole nell’equazione precedente si ha

m s d v s d v s d s d Q x s d s d Q x s d Q+( _w/ _h) h( , _h/ _h)+( _w/ _w) w( , _w/ _w)=( _h/ _h) _h +( _w/ _w) _w +( _h + _w)

Un trasferimento T da h a w fa aumentare il lato destro dell’equazione di )

/ /

(d_w s_w d_h s_h

T − . Se si assume che il costo opportunità di contribuire al bene pubblico è maggiore per il marito cioè s_h/d_h >s_w/d_w, allora questa quantità è positiva. Pertanto perché l’equazione sopra sia valida, il lato sinistro deve aumentare. Ciò è possibile solo se aumenta Q perché il lato sinistro è composto da tre funzioni strettamente crescenti in Q. Di conseguenza il nuovo equilibrio è Pareto superiore cioè aumenta il benessere di entrambi.

Questo risultato ha interessanti implicazioni di politica economica. L’autorità di politica economica può migliorare l’efficienza della famiglia trasferendo reddito dal marito alla moglie, poiché, fino a che non c’è specializzazione completa un aumento del reddito fa aumentare il benessere di entrambi. Se però l’obbiettivo del trasferimento è una redistribuzione di reddito, ci sono effetti indesiderati. Il trasferimento induce w a lavorare più per la produzione del bene pubblico e h di meno per lo stesso bene; in tal caso l’efficienza aumenta. Se però w riduce il suo reddito da lavoro per contribuire di più al bene pubblico, la distribuzione intra-familiare di reddito non è necessariamente più favorevole a w.

Per riassumere: gli autori propongono un modello di fornitura privata di bene pubblico nel quale i costi di contribuzione sono diversi. L’equilibrio è inefficiente e non è neutrale rispetto una diversa distribuzione di reddito. In particolare, trasferire reddito da colui a cui contribuire al bene pubblico costa di più a quello a cui costa di meno comporta un miglioramento Paretiano. Il modello di Konrad e Lommerud rappresenta un passo avanti nell’approccio non cooperativo al comportamento della famiglia. Oltre ad ammettere che il risultato sia inefficiente, prevede che la distribuzione di reddito interna influenzi tale risultato come vuole l’evidenza empirica ma, per raggiungere questo risultato, non necessita di assunzioni ad hoc come il modello di Lundberg e Pollak. E’ sufficiente che i costi di contribuzioni differiscano.

3.3.4 Politiche economiche familiari nel modello di Konrad e Lommerud

Presentato il modello, Konrad e Lommerud analizzano l’effetto di alcune politiche economiche sull’equilibrio. Si è visto che il modello comporta un livello di bene pubblico inefficiente. Qualora il bene pubblico sia un attività importante come ad esempio la cura dei figli, è comprensibile che lo Stato voglia intervenire. Una prima modalità d’intervento, come si è visto, è operare una redistribuzione di reddito all’interno della famiglia. Un altro modo è la fornitura del bene pubblico da parte dello Stato. Il costo di fornitura pubblico può essere maggiore o inferiore di quello privato. Gli autori dimostrano che, qualora ci si trovi inizialmente in un equilibrio interno e valgano le assunzioni fatte nell’esposizione del modello, una

contribuzione statale al bene pubblico finanziata da una tassazione lump-sum di uno dei membri familiari sarà controbilanciata, per più del 100 % se il costo di contribuzione dello stato è maggiore di quello degli individui, per meno del 100% se questo è minore di quello degli individui. Perciò, quando lo Stato cerca di compensare la sub-fornitura di bene pubblico fornendolo, c’è un problema di crowding out, cioè i familiari ridurranno le proprie contribuzioni. Il crowding out è maggiore quando la fornitura pubblica è inefficiente. Se lo stato vuole incrementare il livello di bene pubblico, deve sostituire tutta la fornitura privata. Soltanto dopo di ciò un aumentare ulteriore di bene pubblico statale farà aumentare il bene pubblico totale; ciò però può avere costi molto elevati. Una soluzione potrebbe essere quelle di sussidiare solo famiglie il cui livello di bene pubblico è molto basso. Un effetto della fornitura pubblica è che la distribuzione intra-familiare è più paritaria. Si ipotizzi che entrambi abbiano le stesse preferenze, lo stesso reddito monetario, e che la donna abbia un vantaggio comparato nella fornitura del bene pubblico. In questo caso, in assenza di politiche economiche, la donna avrà un consumo privato inferiore a quello dell’uomo perché investe più tempo nella produzione di bene pubblico e meno in quello da reddito da lavoro. Se lo stato si sostituisce completamente alla fornitura privata di bene pubblico, allora entrambi avranno lo stesso consumo di bene privato e quindi ci sarà più parità. Se però la fornitura dello stato è fatto a un costo maggiore si avrà una riduzione in termini di efficienza.

Un altro modo per incrementare il livello pubblico è l’utilizzo delle imposte. Le tasse sul salario scoraggiano l’investimento di tempo nel lavoro

esterno e pertanto l’individuo tassato investirà più tempo nella produzione di bene pubblico.

3.3.5 Osservazioni sui modelli one shot

I modelli non cooperativi one shot permettono di modellare le interazioni dei componenti familiari in modo relativamente semplice: ciascuno fa la sua scelta prendendo la scelta dell’altro come data. Qualora si tratti di fornitura privata di bene pubblico, questo sarà prodotto a un livello inferiore di quello efficiente per cui la scelta della famiglia risulterà inefficiente. Lo stato può avere interesse a migliorare il benessere dei componenti della famiglia o far sì che il bene pubblico sia fornito a un livello superiore (le due cose coincidono). Si è visto che, in due nei modelli presentati, una redistribuzione di reddito tra i componenti può comportare un risultato Pareto superiore. Questo può essere uno dei modi d’intervento dello Stato. Ciò va d’accordo con l’evidenza empirica30 per cui la distribuzione di reddito all’interno della famiglia conta ai fini dell’equilibrio che si realizza. I modelli one shot sono adatti per formalizzare scelte importanti che verranno prese una volta per tutte o che è molto costoso ripetere.