Modelli di offerta

Un modello di offerta simula il livello di servizio, cioè le prestazioni, associate alle componenti fisiche ed organizzative finalizzate alla produzione dei servizi di trasporto in funzione delle caratteristiche di tali componenti ed eventualmente del numero di utenti che se ne servono. L’influenza del numero di utenti sul livello di servizio costituisce un fenomeno che è detto

congestione.

La costruzione di un modello di offerta [6] [8] [9] [10] [11] consiste nella rappresentazione dell’offerta per mezzo di una rete, cioè di un grafo orientato ai cui archi sono associate delle funzioni di costo. Il grafo, cui è associata la configurazione topologica del sistema di trasporto, è costituito da nodi e archi e sarà indicato col simbolo G. Più in dettaglio i componenti di un grafo sono:

• archi reali, che rappresentano le infrastrutture viarie rilevanti (cioè quelle che sono destinate prevalentemente agli spostamenti interzonali);

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• nodi reali, che rappresentano le intersezioni fra le infrastrutture viarie o punti nei quali si modificano significativamente le caratteristiche delle infrastrutture;

• centroidi interni ed esterni, definiti al paragrafo 3.1, che costituiscono nodi del grafo;

• archi fittizi, che collegano i centroidi alla rete reale (cioè il sottografo costituito da archi e nodi reali);

• nodi fittizi, che costituiscono punti di connessione fra gli archi fittizi e la rete reale.

Ad ogni arco è associato un flusso di arco, cioè il numero di utenti (o veicoli) che lo attraversa nell’unità di tempo, ed un costo di arco che ogni utente deve sostenere per attraversarlo. Ogni utente per raggiungere dalla propria origine la destinazione prescelta ha a disposizione un insieme di percorsi, cioè una sequenza di archi che ha come nodo iniziale il centroide origine e come nodo finale il centroide destinazione. A ciascuno di questi percorsi può essere associato un flusso di

percorso ed un costo di percorso, che si compone di due aliquote: costo di percorso additivo, che è

dato dalla somma dei costi di arco che compongono il percorso, e costo di percorso non additivo che è specifico del percorso. I costi possono tenere conto di differenti disutilità (tempo di viaggio, costo monetario, trasbordi, ecc.) opportunamente pesate fra loro.

Si introduce la seguente notazione: • n generico nodo;

• N insieme dei nodi;

• l generico arco (talvolta indicato con la coppia di nodi iniziale e finale n'n''); • L insieme degli archi;

• fl flusso di arco relativo all’arco l;

• f vettore dei flussi di arco; è costituito da tanti elementi quanti sono gli archi della rete; • cl costo di arco relativo all’arco l;

• c vettore dei costi di arco; è costituito da tanti elementi quanti sono gli archi della rete; • k generico percorso;

• K insieme dei percorsi;

• Krs insieme dei percorsi relativi alla coppia origine-destinazione rs; • hk flusso di percorso relativo al percorso k;

• h vettore dei flussi di percorso; è costituito da tanti elementi quanti sono i percorsi della rete; • hrs vettore dei flussi dei percorsi relativi alla coppia rs; è costituito da tanti elementi quanti

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• gk costo di percorso relativo al percorso k;

• g vettore dei costi di percorso; è costituito da tanti elementi quanti sono i percorsi della rete; • gNA vettore dei costi di percorso additivi (cioè costituiti dalla somma dei costi degli archi che compongono il percorso); è costituito da tanti elementi quanti sono i percorsi della rete; • gADD vettore dei costi di percorso non additivi (cioè associati direttamente al percorso); è

costituito da tanti elementi quanti sono i percorsi della rete;

• grs vettore dei costi dei percorsi relativi alla coppia rs; è costituito da tanti elementi quanti sono i percorsi della rete che connettono l’origine r alla destinazione s.

Le grandezze di arco, flussi e costi, possono essere messe in relazione alle corrispondenti quantità riferite ai percorsi, mediante una matrice di incidenza archi percorsi, indicata col simbolo ∆. Ad ogni riga di tale matrice è associato un arco l della rete, mentre ad ogni colonna è associato un percorso k; un generico elemento δlk della matrice può assumere i valori 0 oppure 1, che stanno ad

indicare rispettivamente la non appartenenza e l’appartenenza dell’arco l al percorso k. Nella Fig. 50 sono riportate una rete di esempio e la corrispondente matrice di incidenza.

Fig. 50 - Esempio di rete e di matrice di incidenza archi-percorsi

Grazie a tale matrice è possibile introdurre delle relazioni fra i flussi di arco e di percorso

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e fra i costi di arco e di percorso

g = gADD + gNA = ∆Tc + gNA (3.13)

I flussi e i costi di arco possono essere fra loro indipendenti (rete non congestionata) oppure messi in relazione fra loro (rete congestionata) per mezzo delle cosiddette funzioni di costo c(●)

c = c(f) (3.14)

che si dicono separabili se per ogni arco l il costo dipende solo dal flusso sull’arco stesso

cl = cl(fl) < = > ?

dove cl(●) è la funzione di costo dell’arco l. Un esempio di funzione di costo separabile è la

funzione BPR [22]

@1 @A,1B1  C D_'F,EEG H

I (3.15) con:

• c0,l costo dell’arco l a flusso nullo;

• cA,l capacità dell’arco l, che dipende da caratteristiche infrastrutturali e funzionali dell’arco e

da eventuali disturbi esogeni (attraversamento di pedoni, manovre di parcheggio, condizioni meteorologiche, etc.);

• α, β coefficienti che possono essere stimati per ciascuna tipologia di infrastruttura stradale per mezzo di una regressione non lineare utilizzando dati di traffico rilevati su uno o più tronchi stradali.

In letteratura sono state proposte numerose funzioni di costo, alcune delle quali sono adatte per archi urbani [23], altre per archi extraurbani [24] ed altre ancora per simulare il tempo di attesa alle intersezioni semaforizzate [25] [26] [27]. Sono inoltre state proposte funzioni di costo adatte in

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alcuni contesti particolari, che esprimono ad esempio il ritardo ai caselli autostradali [28] o il tempo necessario per la ricerca del parcheggio [29].

La relazione fra costi di percorso e flussi di arco si può ricavare dalla (3.13) per mezzo della (3.14)

g = ∆Tc(f) + gNA

e, successivamente, utilizzando la (3.12), si può ottenere la relazione fra costi di percorso e flussi di percorso

g = ∆Tc(∆h) + gNA

Come è stato detto nel capitolo I, un sistema di trasporto genera delle grandezze non considerate dagli utenti del sistema di trasporto nell’effettuare le proprie scelte di viaggio, cioè delle esternalità rispetto al mercato del servizio di trasporto. Alcune di queste grandezze, quali ad esempio l’incidentalità e le sue conseguenze (morti, feriti e danni materiali) e alcuni costi non percepiti (consumo di pneumatici e lubrificanti, svalutazione dei veicoli, consumo di carburante), ricadono all’interno del sistema e vengono calcolate per mezzo di funzioni di prestazione. Altre grandezze, quali ad esempio l’inquinamento acustico e atmosferico, ricadono all’esterno del sistema e vengono calcolate per mezzo di funzioni di impatto.

Le funzioni di prestazione e quelle di impatto nei casi più semplici sono associate al singolo arco e dipendono dal flusso dell’arco, in modo del tutto analogo alle funzioni di costo. Esse generalmente esprimono una misura dell’esternalità per unità di tempo e per unità di flusso. In questo caso, indicando col simbolo ei,l una generica esternalità i associata all’arco l, essa può essere calcolata per

mezzo della funzione prestazione o di impatto ei,l(●) per ogni arco della rete

ei,l = ei,l(fl) < = > ?

È possibile definire una matrice degli impatti E, la cui i-esima riga è associata all’impatto i e la l- esima colonna all’arco l, ed il cui generico elemento è il termine ei,l.

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Tuttavia, nella pratica, spesso non è possibile associare la misura dell’esternalità al singolo arco, mentre in altri casi, nonostante sia possibile effettuare tale associazione, non è possibile esprimere la misura dell’esternalità per unità di flusso e per unità di tempo.