4.2 Dimensionamento degli attuatori per il manipolatore Mary-
4.2.4 Modello della dinamica inversa
La chiave dell’analisi dinamica di un manipolatore parallelo è stabilire un modello di dinamica inversa che restituisca la coppia che gli attuatori devono dare nota la traiettoria della piattaforma. Il modello dinamico è importante, quindi, per determinare la migliore strategia di controllo.
Il modello dinamico inverso di un robot parallelo può essere calcolato con metodi diversi (ad esempio Lagrange o di Newton-Eulero). In questo lavoro di tesi è stata eseguita la modellazione dinamica del manipolatore Maryland sfruttando il principio dei lavori virtuali.
Un modo per calcolare il modello dinamico inverso è tagliare ogni catena chiusa in corrispondenza di un giunto passivo e prendere in considerazione la dinamica della strutture create in seguito al taglio ed applicare il prin- cipio dei lavori virtuali come condizione di chiusura della catena. Ciò che rende complesso lo studio dinamico di questo manipolatore, è la di coltà che può essere riscontrata nel trattare il parallelogramma che costituisce cia- scuna delle 3 gambe inferiori del robot. Se i vari link, vengono costruiti con
materiali leggeri, come in questo lavoro di tesi, è lecito poter semplificare il problema dinamico in questo modo [4]:
• Le inerzie rotazionali sono trascurabili;
• E’ possibile dividere la massa di ciascun braccio inferiore (mbinf) in due
porzioni che vengono poste alle in due estremità del braccio stesso; poi- ché l’inerzia di un’asta rigida lunghezza di L e massa m che ruota ad
una estremità è data da I = (1/3)mL2, allora è possibile pensare, con-
siderando che la rotazione avviene in prossimità del gomito, di porre un terzo della massa delle braccio inferiore alla estremità inferiore (ovvero piattaforma mobile) e due terzi al suo arto superiore (gomito o Pb); • Gli attriti sono trascurabili.
Per poter calcolare il modello dinamico del manipolatore sono stati definiti
alcuni parametri. Il primo è mt, che deriva dalla somma della massa del-
la piattaforma mobile mn, del carico applicato sulla piattaforma mpayloade
infine il contributo di 1/3 della massa di ciascun braccio inferiore.
mt= mn+ mpayload+ 3(
1
3)mbinf (22)
Poiché ogni braccio superiore risulta costituito da una insieme di masse discrete, è stato necessario definirne il centro di massa seguendo la definizione che troviamo in letteratura:
rgb= la
(1/2) mbs+ mg+ (2/3) mbinf
mbitot
(23) con
mbsuptot = mbsup+ mg+2/3mbinf (24)
dove mbsupla massa del braccio superiore (nel calcolo del baricentro è
stato considerato come una massa puntiforme a distanza la/2 dal punto A),
mcè la massa del gomito posta a una distanza pari a ladal punto A, (2/3)mbi
è la porzione di braccio inferiore attribuita al braccio superiore.
Un altro parametro importante è il contributo di inerzia di ciascun brac-
cio superiore Ibi. Questo è stato valuto come la somma dell’inerzia del motore
Im, dell’inerzia del freno motore Ifm, e dell’inerzia del braccio superiore stesso
Ibs:
dove Ibs è la somma della inerzia delle varie masse che compongono il
braccio superiore, cioè dalla massa braccio stesso, e la massa puntiforme posta sul gomito e la massa del gomito:
Ibs = mbsup 3 l2a+ la2(mg+ 2 3mbinf) (26)
Per arrivare a determinare il modello dinamico inverso è necessario defi- nire il concetto di lavoro virtuale. E’ possibile definire come lavoro virtuale il il lavoro elementare compiuto dalle forze attive agenti sul sistema attraverso uno spostamento virtuale. Lo spostamento si può riferire a una traslazione o ad una rotazione e la forza sia ad una forza che ad un momento.
Per il principio dei lavori virtuali, un manipolatore è in equilibrio statico se e solo se il lavoro virtuale delle forze sull’organo terminale è uguale uguale al lavoro virtuale delle forze/coppie ai giunti. Poiché qualsiasi sistema forze generalizzato può essere utilizzato, l’uguaglianza dei lavori virtuali associata al sistema di interesse è:
τTδθ = τnTδP (27)
dove t è il vettore di forze/coppie agenti sui giunti e responsabili dello loro
spostamento virtuale infinitesimo dj, mentre tnè il vettore delle forze/copie
agenti sulla piattaforma mobile responsabili dello suo spostamento virtuale infinitesimo dP.
Introducendo la relazione (18) tra velocità dello spazio dei giunti e velo- cità nello spazio cartesiano
˙
P = J ˙θ
è possibile dire analogamente che
δP = J δ (28)
sostituendo la relazione (28) nell’equazione (27) ricavata dal principio dei lavori virtuali, è possibile vedere che la matrice Jacobiana può essere utilizzata per trasformare le forze/coppie che agiscono sulla piattaforma in forze/coppie che agiscono sui giunti con la seguente relazione:
τ = JTτn (30)
A questo punto in accordo con le semplificazioni strutturali fatte prece- dentemente, il manipolatore è stato ridotto a 4 corpi: la piattaforma mobile e i bracci superiori. Per risolvere il problema dinamico inverso, il calcolo del
contributo di ciascuna coppia/forza che agisce sulla piattaforma sui giunti attivi è stato fatto con l’aiuto del Jacobiano secondo il principio dei lavori virtuali principio come mostrato sopra.
Due tipi di forze agiscono sulla piattaforma: la forza di gravità Gn e la forza d’inerzia F n.
Gn = mt 0 0 −g
T
(31)
F n = mtP¨ (32)
Il contributo di queste due forze sui giunti, può essere calcolato con la trasposta di la matrice Jacobiana come descritto in (30), in particolare è stato ottenuto:
τGn= JTGn = JTmn 0 0 −g
T
(32)
τn= JTF n = JTmnP¨ (33)
Invece due tipi di coppie agiscono sulle giunti attuati di ogni braccio: la coppia τGb prodotta dalla forza gravitazionale di ciascun braccio τGb, e la coppia tb prodotta dalla forza inerziale che agisce su ogni braccio. Il contributo gravitazionale può essere calcolato come la componente che agi- sce perpendicolarmente alla braccio e applicata sul centro di massa come mostrato in figura 4.13.
Figura 4.13: Forza gravitazionale che agisce su ogni braccio superiore In particolare
τGb= rgbGb cos(θ11) cos(θ22) cos(θ33)
T
(34)
dove Gb è la forza gravitazionale che agisce sul centro di massa di ogni
braccio superiore.
ll contributo in coppia della forza inerziale di ciascun braccio superiore sui giunti attuati è stato espresso come:
τb = Ibθ¨ (35)
Dove Ib è la matrice di inerzia dei tre bracci superiori ed è una matrice
diagonale espressa da:
Ib = Ib1 0 0 0 Ib2 0 0 0 Ib3 (35)
Infine sfruttando principio di d’Alembert secondo secondo il quale il con- tributo di tutte le forze inerziali deve essere uguale al contributo di tutte le forze non inerziali , è stato possibile determinare la coppia che gli attuatori devono essere in grado di fornire a partire dalla seguente equazione:
τ + τGn+ τGb = τb+ τn (36)
Dove t è proprio il vettore delle coppie che devono essere applicati ai tre giunti attuati.
Sostituendo nella equazione (36) tutti i vari termini ed esprimendo ¨P
come descritto dalla relazione (21), è t è stato ricavato come:
τ = Ib+ mtJTJ
¨
θ +
JTmtJ ˙θ − (τ˙ n+ τGb) (37)
questa relazione può essere risciritta anche come:
τ = A(θ) ˙θ + C(θ, ˙θ) ˙θ + G(θ) (38)
in cui A è la matrice d’inerzia, C è una matrice che contiene i contributi delle forze centrifughe e di coriolis e infine G è una matrice che contiene i contributi delle forze di gravità che agiscono sul manipolatore.
A partire da queste relazione, e dai parametri di dimensionamento geome- trico della struttura, è stata implementa una funzione Matlab per determi- nare l’attuatore ottimale per far compiere alla piattaforma una determinata traiettoria.
Questo calcolo è stato effettuato spostando la piattaforma nello spazio e individuando le coppie che devono essere applicate per garantire questo spostamento.
La coppia massima individuata, insieme ala velocità dei giunti attivi, sono le due informazioni sui cui può essere basata la scelta dell’attuatore ottimale.
Bibliografia
[1] J.-P. Merlet, Designing a Parallel Manipulator for a Specific Workspace, The International Journal of Robotics Research, Vol.16, No.4, pp.545- 556, 1997.
[2] http://www.iri.upc.edu/people/porta/Soft/CuikSuite-Doc/html/ [3] “Kinematics and inverse dynamics analysis for a general 3-PRS spatial
parallel mechanism,” Robotica, vol. 23, no. 2, pp. 219 229, 2005. [4] Merlet J-P. 2000, Parallel Robot , Kluwer, Dordrecht.
Capitolo 5
Progettazione e controllo
In questo capitolo verrà descritto il manipolatore progettato per questo lavo- ro di tesi sulla base del dimensionamento geometrico affrontato nel capitolo 4.
Inoltre sulla base del modello dinamico inverso, verrano dimensionati i tre attuatori.
5.1
Progettazione CAD del manipolatore Maryland
e descrizione delle varie componenti
Dal risultati ottenuti capitolo 4 è stato stimato che un manipolatore Mary- land caratterizzato da parametri geometrici elencati in tabella sottostante, è quello strutturalmente idoneo per garantire lo spazio di lavoro richiesto dalle specifiche progettuali con il minimo ingombro e un’adeguata destrezza.
Componente Dimensione (mm)
li 150
ls 300
lo 130
Tabella 5.1: Parametri geometrici del manipolatore
Un modello CAD del manipolatore è stato disegnato con Inventor, un software dedicato, a partire da parametri strutturali di tabella 4.1 e dai vincoli legati alla scelta dei materiali per la costruzione del robot.
Dalla figura 5.1 è possibile riconoscere gli elementi dell’architettura Ma- ryland, ovvero piattaforma, una base fissa, e tre parti di gambe con struttura cinematica identica. Ogni gamba è costituita da un link attivo, il braccio superiore, ed un link passivo il braccio inferiore.
Figura 5.1: Modello CAD del manipolatore progettato per questo lavoro di tesi
Tutte le informazioni strutturali e dimensionali relative alle componenti che verrano citate nei prossimi paragrafi sono riportate nelle tavole riportate in appendice.