Figura 4.3: Quanta emessi per contagio da SARS-CoV-2. Immagine da [53]
La probabilità di essere contagiati viene quindi definita come:
Pinf ection= C
S0 = S0− S
S0 = 1 − S S0
Pinf ection = 1 − exp
A
−pIq V
Ct+ e−Ct−1 C2
B
(4.8)
Comparando le formulazioni delle equazioni (4.1) e (4.8) si può vedere come le due siano molto simili, ma come il parametro temporale venga trattato in maniera più completa in questa seconda.
4.2.1 Il ricambio d’aria equivalente
Nelle precedenti dimostrazioni matematiche si è introdotto un parametro C. Questo è stato denominato ricambio d’aria equivalente. I ricambi d’aria sono dati dal rap-porto della portata esterna immessa e il volume dell’ambiente secondo la formula:
λ = Q V
Cm3/h m3 = 1
h
D
(4.9) Come è già stato scritto alcune pagine addietro, è possibile introdurre all’interno di questo parametro l’efficacia della sezione di filtraggio delle UTA. Nel calcolo di C dunque possono essere implementati allora alcuni effetti secondari che aumentano l’entità di riduzione del rischio di contagio per mezzo di modalità differenti dal semplice ricambio d’aria in ambiente. Questi vengono ampiamente descritti in [52]
che li distingue in quattro categorie differenti:
• Ventilazione: rappresenta la quota parte di C come calcolata in (4.9)
• Filtrazione: effetto delle sezioni di filtraggio dell’UTA, che catturano o inatti-vano parte del patogneo sospeso
• Deposizione: quota parte del virus che si appoggia sulle superfici in ambiente e che dunque perde infettività (per lo meno dal punto di vista airborne)
• Inattivazione: processo per il quale il virus perde l’infettività in ambiente per altri motivi
Segue:
C = λventilation+ kf iltration+ kdeposition+ kinactivation (4.10) Il simbolo λ è utilizzato per far notare che quello è il valore iniziale di ricambi d’aria ed è lo stesso in (4.9), ma che poi sarà corretto in C per mezzo dei tre k successivi.
Seguono due formule sperimentali che possono essere impiegate per determinare i parametri k:
• kf iltration = fHV AC
Qf ilterηf ilter
V ;
Il primo fattore fHV AC rappresenta il tempo di funzionamento dell’impianto di ventilazione rispetto all’occupazione dell’ambiente e in caso di pandemia risulta pari ad 1 (ovvero tutti i sistemi sono sempre accesi quando nella stanza ci sono persone). La Qf ilter è la portata che attraversa la sezione di filtraggio e ηf ilter è la sua efficienza. Infine V è il volume dell’ambiente
• kdeposition = 0.108d2p11 + 0.166dp 2
H ;
Il valore di dp è il diametro aerodinamico della particella in analisi e H è l’altezza dell’ambiente. Nel caso in cui nello studio si volesse prendere in considerazione la totalità dei diametri delle droplets emesse questa formula perderebbe di significato, oppure andrebbe effettuata una media
Il calcolo di C in questa maniera ha come effetto quello di migliorare la situazione e di ridurre il rischio di contagio: poiché queste formule sono sperimentali e non hanno molto riscontro in letteratura si è deciso di mantenere una linea più dura e conservativa e, nei prossimi paragrafi non verrà effettuato l’aumento della portata d’aria esterna per mezzo di filtrazione e deposizione. In ogni caso si vuole riportare un esempio di calcolo. In figura 4.4 si raffrontano alcune situazioni di rischio di contagio per un’aula del Politecnico e si utilizzano le formule (4.1) (WR Semplice) e (4.8) con l’integrazione di (4.9) (WR Complesso). I casi affrontati sono molteplici, ma la loro descrizione è esplicativa e verranno comunque descritti in maniera più dettagliata successivamente. Si può notare come le barre arancioni sono ridotte rispetto a quelle verdi di un valore ridotto. Questa motivazione, con quelle già date, è a supporto del trascurare questa complicazione e procedere tramite l’utilizzo esclusivo della portata di ventilazione senza l’introduzione di altri parametri.
4.2.2 Altre formulazioni del rischio di contagio
In [53] viene proposta una seconda formulazione per il calcolo del rischio di contagio:
Pinf ection= 1 − exp3−p
Ú tf
ti
n(t)dt4 (4.11)
dove con n(t) si intende la concentrazione specifica di cariche virali in ambiente calcolata come:
n(t) = N(t) V
Questa nuova versione risulta essere in definitiva la più versatile in quanto viene persa completamente la dipendenza dei periodi di permanenza di infetto e suscet-tibile e permette il calcolo di rischio di contagio anche per periodi parziali. La
Figura 4.4: Raffronto rischio di contagio con due metodi diversi per un’aula del Politecnico
differenza tra (4.11) e (4.8) sta nel fatto che per la seconda non si è tenuto conto della transitorietà di N. Il valore delle cariche virali è infatti una funzione del tempo non solo crescente, ma anche decrescente. Nella dimostrazione iniziale la probabilità di contagio viene calcolata per un infetto e un suscettibile che entrano contemporaneamente in ambiente e vi restano per tutto il periodo in analisi. È que-sto il motivo per cui non vi compare mai il termine N0. Laddove infatti si volesse chiarire appieno l’andamento di N(t), come definito in (4.7), si dovrebbe spezzare la funzione in due sotto-funzioni:
Np(t) = qI
C(1 − e−Ct) (4.12)
Na(t) = Np(t0) · e−C(t−t0) (4.13) Queste due nuove formulazioni indicano i due tratti di N(t):
• Np(t) rappresenta la funzione presenza con l’ipotesi di N0 = 0. Questo vuol significare che in ambiente non erano stati presenti infetti fino a t = 0, ma I malati sono presenti durante il periodo in analisi
• Na(t), funzione assenza, è invece calcolata con l’ipotesi di N0 = Np(t0). L’in-fetto è ora uscito dall’ambiente, ma le cariche virali non si annullano istan-taneamente. Queste hanno un andamento decrescente esponenziale, ottenuto tramite l’imposizione di q = 0 e lo shift temporale di t − t0.
È chiaro come è possibile allo stesso modo rendere il tutto specifico rispetto al volume e determinare da n(t) le funzioni np(t) e na(t). Queste funzioni sono
rap-Figura 4.5: Andamento di n(t) per un’aula del Politecnico
presentate chiaramente in figura 4.5. Nel caso raffigurato l’infetto e il suscettibile entrano in ambiente al tempo t = 0 e l’infetto esce al tempo t0 = 180 minuti. È possibile dunque all’interno di np(t) identificare due zone ben distinte:
• La prima zona è la crescita di concentrazione molto repentina per via dell’in-gresso della persona infetta. In questo periodo iniziale il sistema di ventilazio-ne non è in grado di raccogliere ed espellere tutte le cariche virali che stanno venendo emesse
• La seconda zona è invece un lungo plateau. Questo rappresenta la fine del transitorio iniziale e significa che si è raggiunta la concentrazione di equilibrio tra immissione di nuove cariche virali in ambiente ed espulsione per mezzo della diluizione perfetta dell’impianto di ventilazione
La funzione na(t) è invece una semplice esponenziale decrescente, dipendente dal-l’efficienza di rimozione dell’impianto di ventilazione, come già facilmente intuibile
da (4.13).
Le espressioni del rischio di contagio possono, o meno, prendere in considerazio-ne l’andamento a tratti della funzioconsiderazio-ne N(t). Quella presentata alla ficonsiderazio-ne della dimostrazione (4.8) è il risultato della sostituzione di np(t) in (4.11):
1 − exp3−p
Ú t 0
np(t)dt4= 1 − exp
A
−pIq V
Ct+ e−Ct−1 C2
B
Se invece volessimo sostituire l’intera equazione a tratti ne verrebbe fuori una nuova formulazione:
Pinf ection= 1 − exp
−pIq V
Ct+ e−Ct−1 −1CnqI02e−Ct+1CnqI02 C2
(4.14)
Quella presentata in (4.14) è una formulazione più completa, ma comunque limi-tante del rischio. Infatti sia per questa che per la prima il rischio è considerato nullo ad un tempo nullo. La versatilità della scelta dei tempi, estremi di integrazione, è il motivo per cui la formulazione integrale resta la migliore e sarà utilizzata nei calcoli che seguono.
Per riassumere:
n(t) =
np(t) t ≤ t0
na(t) t > t0
(4.15)