Ripasso della teoria: Fluid Flow

Quello che in fin dei conti viene svolto da un software come quello appena descrit-to è la risoluzione di complesse equazioni matematiche che derivano dallo studio teorico della fisica dei problemi fluidodinamici. Queste, essendo spesso alle deri-vate parziali, sia spaziali che temporali, vengono in ultimo discretizzate secondo algoritmi interni al programma e risolte in maniera meccanica nel dominio in ana-lisi. Le quattro classiche equazioni di conservazione che regolano genericamente le meccanica dei fluidi e dei solidi sono:

• Conservazione della massa:

∂ρ

∂t + ∇ · (ρv) = 0 (5.1)

• Conservazione della quantità di moto:

∂(ρv)

∂t + ∇ · (ρv ⊗ v) = −∇p − ∇ · τ + ρg (5.2)

• Conservazione del momento angolare:

σ= σ^T (5.3)

• Conservazione dell’energia (in una delle sue numerosissime formulazioni):

D(ρe)

Dt = −∇ · q − ∇ · (pv) − ∇ · (τv) + ρg v (5.4) Queste possono essere studiate e derivate secondo due approcci differenti: l’ap-proccio Euleriano che fissa un dato volume nello spazio e vede le equazioni come il

risultato dello scorrere delle varie grandezze attraverso quest’ultimo o l’approccio Lagrangiano, il quale segue invece un determinato volume che si muove nello spa-zio. È importante decidere quale dei due sia migliore nel caso in analisi in quanto una corretta scelta può semplificare e velocizzare la soluzione (come poi si vedrà nelle sezioni successive). All’atto dell’implementazione pratica di queste equazioni al dominio studiato compare la loro forma integrale. Questa è alquanto informa-tiva poiché, tramite il Teorema di Gauss (o della divergenza) separa nettamente le componenti volumiche da quelle superficiali. Lo studio delle singole equazioni, della loro derivazione e delle loro conseguenze esula dallo scopo di questo testo, che le presenta unicamente come ripasso generale.

Un altro punto molto importante nell’accuratezza della rappresentazione di un pos-sibile moto di un fluido in un dominio è dato dalla presenza non trascurabile di turbolenza: tale fenomeno porta a dei problemi lungi dall’essere risolti, sia a livel-lo ingegneristico sperimentale (ottenimento di moti casuali e imprevedibili), sia a livello matematico teorico (risoluzione di complesse equazioni differenziali). Uno degli approcci più seguiti, in quanto tendenzialmente semplice ed efficace, è quello delle equazioni RANS, acronimo per Reynolds-Averaged Navier-Stokes. Queste sono ottenute tramite un’operazione di media sulle formule presenti nella pagina prece-dente. Tale accorgimento matematico serve a distinguere le componenti oscillatorie, tendenzialmente legate al fenomeno della turbolenza, da quelle stazionarie che sono invece dettate dalle condizioni al contorno e dall’impostazione generale del proble-ma. La risoluzione di queste nuove equazioni comporta ulteriori complicazioni e algoritmi tra cui il modello più famoso è l’Eddy-Viscosity Model, basato sostanzial-mente sull’analogia tra i processi di diffusione secondo i gradienti di concentrazione, tipici degli studi a livello molecolare e la generazione di moti turbolenti. Ad esso sono legate ulteriori equazioni di conservazione e trasporto che devono essere a loro volta risolte in maniera discretizzata.

Per capire meglio cosa comporta questa discretizzazione e la complessità di calcolo che può venir fuori anche dai più semplici progetti si prenda ad esempio una gene-rica equazione di trasporto nella sua forma integrale (come possono essere derivate da quelle presenti nel primo punto elenco della sottosezione):

d dt

Ú

V

ρφdV +^Ú

A

ρvφda=^Ú

AΛ∇φda +^Ú

V

S_φdV (5.5)

I quattro termini possono essere descritti in ordine:

1. Transient Term: questo indica il tasso di variazione della grandezza φ nel volume di controllo

2. Convective flux: ovvero il tasso di variazione di φ per convezione attraverso le superfici del volume di controllo

3. Diffusive flux: il tasso di variazione di φ per effetto della diffusione attraverso le superfici di controllo

Figura 5.1: Rappresentazione di due celle per la risoluzione numerica delle equazioni di trasporto. Da [62]

4. Source Term: generazione interna di φ nel volume di controllo

I termini di flusso (ovvero quelli legati agli integrali di superficie) possono essere sostituiti da sommatorie che iterativamente includono le facce di tutte le cellette della griglia di calcolo (indice f).

Ú

A

J^φda ≈^Ø

f

J^φ_f · af

dove con J^φf si indica proprio il flusso della grandezza φ attraverso la faccia f per effetto della convezione (C^φf) o della diffusione (D^φf). Per determinare infine i valori di φf su ogni faccia, ancora incogniti, vengono implementati alcuni algoritmi di interpolazione che sono fondamentali nel raggiungimento della convergenza, ovvero nella stabilità e accuratezza dello schema numerico. Per quanto riguarda la con-vezione, il più famoso fra i numerosi modelli di STAR-CCM+ è il FOU (First-Order Upwind). Questo non è altro che un’approssimazione di primo ordine "a gradini".

La sua formulazione matematica segue:

C^φ_f = ( ˙mφ)f =







˙mfφ₀ ˙mf ≥0

˙mfφ₁ ˙mf <0

Il valore della grandezza sulla faccia segue solamente la direzione del flusso della stessa attraverso essa, ed è approssimato con il valore immediatamente a monte. È possibile raffinare l’algoritmo per mezzo di interpolazioni più complesse (ad esempio di secondo ordine). Per il termine diffusivo, poiché questo è legato al gradiente della

grandezza in analisi, e non al semplice valore della stessa, l’approssimazione è più complessa. Infatti:

∇φ_f = (φ1− φ₀)α + ∇φ − (∇φds)α dove:

α = a

a · ds ds = x1− x₀

∇φ= ∇φ₀+ ∇φ1

2

Il valore approssimato del gradiente è dunque funzione di: un parametro α che indica la posizione e orientazione relativa della faccia rispetto alla congiungente dei due centri delle celle che la condividono, della distanza dei due centri stessi e della media dei gradienti ivi ottenuti. Si faccia riferimento alla figura 5.1. È dunque possibile sostituire tale espressione nella seguente formulazione per ottenere la grandezza ricercata:

D^φ_f = Λf∇φ_f · a

dove Λf è una media armonica del coefficiente di diffusione della grandezza per tutte le celle. Il più semplice dei quattro termini in (5.5) è l’ultimo, ovvero la generazione interna di grandezza. Questo infatti è approssimato per mezzo del valore medio di generazione nella cella, che tendenzialmente è piccolo a sufficienza da non commettere significativi errori nell’assumerlo omogeneo e costante. Quindi segue:

Ú

V

S_φdV ≈(SφV)0

Per ultimo il primo dei termini dell’equazione (5.5), ovvero quello che rappresenta il transitorio. In una simulazione è alquanto probabile che il tempo sia un fattore che giochi un ruolo centrale e deve essere considerato a tutti gli effetti una quarta coordinata. Questa deve essere discretizzata non meno che le altre tre. Si creano dunque dei time-step. Ognuno influenza in maniera sostanziale il successivo secon-do regole più o meno simili a come una grandezza in una cella influenza quella a sé vicina. Anche in questo caso esistono numerosissimi algoritmi e modelli di integra-zione temporale che vengono suddivisi a seconda di quanti time-steps prendono in considerazione e di come li introducono nel metodo numerico. Il più semplice risul-ta essere la Implicit Time Integration secondo lo schema di Eulero di prim’ordine.

Ipotizzando di star computando il time-step n + 1 si scrive:

d

dt(ρφV )0 = (ρφV )ⁿ⁺¹0 −(ρφV )ⁿ₀

∆t

Come si può leggere questo modello prende in considerazione solo il time step precedente. L’ordine cresce linearmente con il numero di passi temporali inclusi,

ad esempio:

d

dt(ρφV ) =⁵3

2(ρφV )n+1−2(ρφV )n+1

2(ρφV )n−1

6 1

∆t

I coefficienti davanti a ogni time step sono variabili anch’essi secondo l’ordine del metodo. Il primo time-step di ogni simulazione è ovviamente implementato secondo le modalità previste da un’equazione di primo ordine, poiché solo due time-step sono presenti. Per concludere, l’equazione presentata in5.5può essere discretizzata secondo:

d

dt(ρφV )0+^Ø

f

C^φ_f =^Ø

f

D^φ_f + (SφV)0 (5.6) Per ognuno di questi passaggi per ognuna delle equazioni di trasporto presentate è possibile calcolare un errore sulla discretizzazione. Il suo valore è riportato dal software per ogni time-step sotto il nome di residuals. Il ridursi di tali residui a valori minimi e la tendenza di questi a stabilizzarsi e non oscillare è un segno del raggiungimento della convergenza della soluzione.