Definizione 3.2.1. Siano V1, V2 due spazi vettoriali, ∆T ⊂ V1 un sottospazio e T : ∆T → V2. Si dice che T `e un operatore lineare se per ogni α, β ∈ C, x, y ∈ ∆T si ha
T (αx + βy) = αT (x) + βT (y) (3.2.1)
per ogni operatore lineare si definisce il suo nucleo ker T = {x ∈ ∆T| T (x) = 0}.
Per gli operatori lineari `e uso comune scrivere T x al posto di T (x) qualora questo non generi equivoci ed anche qu`ı si user`a quindi questa convenzione
Teorema 3.2.1. Siano (X, k kX), (Y, k kY) due spazi normati e sia T : X → Y un operatore
lineare, allora sono equivalenti i seguenti fatti: 1. T `e continuo
2. T `e continuo in 0
3. T (B(0, 1)) `e un insieme limitato in Y 4. T `e lipschitziano
Dimostrazione. 1⇒2) ovvia.
2⇒3) poich`e T `e continuo in 0, esiste un δ > 0 tale che se x ∈ B(0, δ) ⊂ X allora T x ∈
B(0, 1) ⊂ Y . Sia ora x ∈ X, x 6= 0, allora si ha
δ2kxkxX X < δ (3.2.2) quindi kT (δx/[2kxkX])kY < 1 e quindi kT xkY < 2
δkxkX. `E inoltre evidente che questa disug-uaglianza vale anche se x = 0, quindi se kxkX< 1 si ha kT xkY < 2/δ.
3⇒4) supponiamo che se kxkX < 1 allora kT xkY < K, allora si ha, per ogni y 6= 0 T y 2kykX < K (3.2.3)
quindi per ogni y ∈ X si ha kT ykY < 2KkykX, quindi
kT x − T ykY = kT (x − y)kY < 2Kkx − ykY (3.2.4) per ogni x, y ∈ X, quindi T `e lipschitziana
4⇒1) discende dal fatto generale che ogni funzione lipschitziana `e continua.
Definizione 3.2.2. Siano (X, k kX), (Y, k kY) spazi normati e sia T : X → Y un operatore
lineare, si definisce norma dell’operatore lineare il valore kT k = sup x∈X,x6=0 kT xkY kxkX = sup kxkX=1 kT xkY (3.2.5)
un operatore lineare T si dice limitato se kT k < +∞.
Lemma 3.2.1. Siano (X, k kX), (Y, k kY) spazi normati e sia T : X → Y un operatore lineare,
allora T `e continuo ⇔ T `e limitato.
Dimostrazione. ⇒) se T `e continuo, per il teorema precedente esso `e anche lipschitziano, quindi
in particolare esiste K ≥ 0 tale che kT xkY ≤ KkxkX, quindi si vede subito che kT k ≤ K.
⇐) se T `e limitato allora kT k ≤ K < +∞ e quindi kT xkY ≤ KkxkX quindi T `e lipschitziano e quindi `e continuo.
Lemma 3.2.2. Sia (X, k kX) uno spazio normato di dimensione finita, (Y, k kY) uno spazio
normato e T : X → Y un operatore lineare, allora T `e limitato.
Dimostrazione. sia e1, · · · , en una base su X e definiamo una nuova norma su X: definiamo
kx1e1+ · · · + xnenk1 = |x1| + · · · + |x2|. Poich`e la limitatezza `e equivalente alla continuit`a e in
dimensione finita tutte le norme sono equivalenti basta ora mostrare che T `e limitato tra (X, k k1) e (Y, k kY), ma si ha
kT (x1e1+ · · · + xnen)kY = kx1T (e1) + · · · + xnT (en)kY ≤ (3.2.6)
≤ kx1T (e1)kY + · · · + kxnT (en)kY = |x1| kT (e1)kY + · · · + |xn| kT (en)kY ≤ ≤ K(|x1| + · · · + |xn|) = Kkx1e1+ · · · + xnenk1
dove K = max{kT (e1)kY, . . . , kT (en)kY}, quindi kT k ≤ K.
In dimensione infinita il lemma precedente `e falso: consideriamo come X lo spazio delle fun-zioni limitate con derivata limitata con la norma kf kX = supx∈R|f (x)|; sia Y lo spazio delle
funzioni limitate con la norma kf kY = supx∈R|f (x)| e come operatore lineare scegliamo la
deriva-ta: T f = f0. `E semplice vedere che T tra i due spazi (X, k kX), (Y, k kX) non `e limitato; per mostrarlo vediamo che non `e continuo: consideriamo la successione di funzioni fn = 1
nsin nx, allora `e immediato vedere che fn→ 0 in X ma kT fnkY = 1, quindi non si pu`o avere T fn→ 0 e T non `e
quindi continuo. Se su X si introduce invece la norma kf k0 = supx∈R|f (x)| + supx∈R|f0(x)| allora
kT f kY ≤ kf k0 e quindi T `e continuo tra (X, k k0) e (Y, k kY) e si ha kT k ≤ 1.
Lemma 3.2.3. Siano (X, k kX), (Y, k kY) spazi normati e sia T : X → Y un operatore lineare
limitato, allora per ogni x ∈ X si ha
kT xkY ≤ kT k kxkX (3.2.7)
Dimostrazione. la relazione 3.2.7 segue immediatamente da 3.2.5.
Sia ora |T | = inf{K ≥ 0| kT xkY ≤ KkxkX∀x ∈ X}. Dalla relazione 3.2.7 segue che |T | ≤ kT k.
Dalla definizione segue semplicemente che |T | = inf{K ≥ 0| kT xkY ≤ K se kxkX = 1} ed `e quindi immediato vedere che |T | ≥ supkxkX=1kT xkY = kT k.
Teorema 3.2.2. Siano (X, k kX), (Y, k kY) spazi normati, allora lo spazio L(X, Y ) degli
oper-atori lineari da X in Y `e uno spazio normato; se inoltre (Y, k kY) `e uno spazio di Banach allora
L(X, Y ) `e uno spazio di Banach.
Dimostrazione. usando la definizione 3.2.2 `e immediato vedere che L(X, Y ) `e uno spazio normato.
Sia ora {Tn} una successione di Cauchy di operatori lineari continui, allora per ogni > 0 esiste un N () tale che se n, m > N si ha kTn− Tmk < , quindi per ogni x ∈ X si ha kTn(x) − Tm(x)kY ≤ kxkX, quindi per ogni fissato x ∈ X la successione {Tn(x)} `e una successione di Cauchy in Y , che `e uno spazio di Banach, quindi esiste un yx tale che limn→∞Tn(x) = yx. Sia T : X → Y l’operatore (che si dovr`a vedere essere lineare e continuo) T x = yx, allora si ha
T (αx + βy) = lim
n→∞[Tn(αx + βy)] = α lim
n→∞Tn(x) + β lim
n→∞Tn(y) = αT (x) + βT (y) (3.2.8) quindi T `e un operatore lineare. Inoltre si ha, se n, m > N che kTnx − TmxkY ≤ kxkX da cui, passando al limite per m → ∞ si ottiene kTnx − T xkY ≤ kxkX e quindi kTn− T k < , quindi T = limn→∞T e L(X, Y ) `e uno spazio di Banach.
Definizione 3.2.3. Sia V uno spazio vettoriale. Si chiama funzionale lineare su V un operatore
lineare φ tale che φ : V → C. Se (X, k kX) `e uno spazio normato, lo spazio dei funzionali lineari
continui di X si chiama spazio duale di X.
In taluni testi lo spazio duale ora definito viene indicato con il nome di duale topologico, per distinguerlo dal duale algebrico, che `e lo spazio dei funzionali lineari non necessariamente continui su X.
Teorema 3.2.3 (di rappresentazione di Riesz). Sia H uno spazio di Hilbert e φ un funzionale
lineare continuo su H, allora esiste un unico x0∈ H tale che φ(x) = (x0, x), inoltre kφk = kx0k. Dimostrazione. sia H0 = ker φ, allora, poich`e φ `e continuo, `e semplice mostrare che H0 `e un sottospazio di Hilbert di H. A questo punto si possono presentare due casi 1) H = H0, 2) H 6= H0. Nel primo caso φ = 0 e quindi il teorema `e evidentemente verificato da x0= 0. Nel secondo caso esiste un ¯x ∈ H tale che ¯x /∈ H0; per il teorema della proiezione ortogonale si ha ¯x = x0+ x00, dove
x0∈ H0 e x00⊥ H0 e, poich`e ¯x /∈ H0, si deve avere x006= 0. Poniamo y = xφ(x00) − x00φ(x), allora si
ha φ(y) = 0, quindi y ∈ H0 e quindi y ⊥ x00, cio`e
0 = (x00, xφ(x00) − x00φ(x)) = (x00, x)φ(x00) − kx00k2φ(x) (3.2.9) da cui si deduce, poich`e x006= 0, che
φ(x) = x00 kx00kφ(x00), x = (x0, x) (3.2.10)
vediamo ora che x0`e unico: se fosse φ(x) = (x0, x) = (y0, x), allora si avrebbe anche (x0−y0, x) = 0
per ogni x ∈ H, quindi in particolare (x0− y0, x0− y0) = 0 e x0= y0. Inoltre per la disuguaglianza di Schwartz si ha |φ(x)| = |(x0, x)| ≤ kx0k kxk, quindi kφk ≤ kx0k, ma si ha anche |φ(x0)| = kx0k2, quindi kφk = kx0k.
Tramite il teorema di Riesz si pu`o mostrare che ogni spazio di Hilbert `e riflessivo ( vedi appendice C)
Sia H uno spazio di Hilbert e sia T : H → H un operatore lineare continuo, fissato y ∈ H definiamo
`e immediato vedere che φT
y `e un funzionale lineare, inoltre |φT
y(x)| ≤ kyk kT xk ≤ kyk kT k kxk, quindi kφT
yk ≤ kyk kT k e quindi φT
y `e un funzionale lineare continuo. Per il teorema precedente esiste allora un unico y∗∈ H tale che φT
y(x) = (y∗, x), cio`e tale che per ogni x ∈ H si abbia
(y∗, x) = (y, T x) (3.2.12) `e inoltre immediato verificare che (αy1+ βy2)∗= αy∗
1+ βy∗
2, quindi l’operatore T+: H → H tale che T+y = y∗`e un operatore lineare.
Definizione 3.2.4. Sia H uno spazio di Hilbert e T : H → H un operatore lineare continuo,
allora si definisce l’operatore aggiunto di T come l’unico operatore lineare T+ : H → H tale che (T+y, x) = (y, T x) per ogni x, y ∈ H (un tale T+ esiste per la discussione precedente)
Lemma 3.2.4. Siano (X, k kX), (Y, k kY), (Z, k kZ) spazi normati e L : X → Y , T : Y → Z
operatori lineari continui, allora kT Lk ≤ kT k kLk. Dimostrazione. per ogni x ∈ X si ha
k(T L)(x)kZ = kT (L(x))kZ≤ kT k kL(x)kY ≤ kT k kLk kxkX (3.2.13) da cui la tesi.
Lemma 3.2.5. Sia H uno spazio di Hilbert e T : H → H un operatore lineare continuo, allora
T+ `e continuo e si ha kT k = kT+k. Dimostrazione. si ha
kT+yk2= (T+y, T+y) = (y, T T+y) ≤ kyk kT T+yk ≤ kyk kT k kT+yk (3.2.14) quindi kT+yk ≤ kyk kT k per ogni y ∈ H e quindi kT+k ≤ kT k, quindi T+`e limitato. Si pu`o allora definire (T+)+= T++ ed `e semplice vedere che T++ = T , infatti si deve avere per ogni x, y ∈ H
(T++y, x) = (y, T+x) = (T+x, y) = (x, T y) = (T y, x) (3.2.15) quindi (T++y − T y, x) = 0 per ogni x, y, quindi in particolare (T++y − T y, T++y − T y) = 0 per
ogni y, quindi T++y = T y per ogni y e T++= T , quindi usando il fatto che kT+k ≤ kT k si ottiene kT k = kT++k ≤ kT+k.
Lemma 3.2.6. Sia H uno spazio di Hilbert e T : H → H un operatore lineare continuo, allora
kT k2= kT+T k.
Dimostrazione. si ha kT+T k ≤ kT+k kT k = kT k2 per i due lemmi precedenti, inoltre per ogni
x ∈ H si ha
kT xk2= (T x, T x) = (x, T+T x) ≤ kxk kT+T xk ≤ kxk2kT+T k (3.2.16) quindi kT k ≤ (kT+T k)1/2, cio`e kT k2≤ kT+T k.
Se (X, k kX), (Y, k kY) sono spazi normati, la norma di un operatore lineare `e stata definita fino ad ora solo per operatori T : X → Y ma ovviamente se ∆T `e un sottospazio di X e T : ∆T → Y
`e un operatore lineare si pu`o definire
kT k = sup x∈∆T,x6=0 kT xkY kxkX = sup x∈∆T,kxk=1 kT xkY = inf{K ≥ 0| kT xkY ≤ KkxkX∀x ∈ ∆T} (3.2.17)
ci`o poich`e se (X, k kX) `e uno spazio normato e ∆T ⊂ X `e un sottospazio di X, allora (∆T, k kX) `e anch’esso uno spazio normato.
Teorema 3.2.4. Sia H uno spazio di Hilbert, V un sottospazio vettoriale denso di H e T : V → H
un operatore lineare continuo, allora T pu`o essere esteso per continuit`a in modo unico ad un operatore lineare ˜T : H → H tale che ˜T |V = T e kT k = k ˜T k.
Dimostrazione. mostriamo innanzitutto che se {vn} `e una successione di elementi di V che converge
in H, allora {T vn} `e una successione convergente in H: si ha infatti
kT vn− T vmk = kT (vn− vm)k ≤ kT k kvn− vmk (3.2.18) quindi {T vn} `e una successione di Cauchy (poich`e {vn} `e una successione di Cauchy) e quindi
converge in H. Vediamo ora che se {vn}, {wn} sono due successioni di elementi di V tali che vn→ v e wn→ v e T vn→ x, T wn→ y, allora x = y: fissato > 0, se n `e abbastanza grande si ha kx − yk = kx − T vn+ T vn− T wn+ T wn− yk ≤ kx − T vnk + ky − T wnk + (3.2.19) +kT vn− T wnk ≤ 2 3 + kT k kvn− wnk ≤ 2 3 + kT k kvn− v + v − wnk ≤ 2 3 + kT k(kvn− vk + kwn− vk) ≤ per l’arbitrariet`a di > 0 si ha allora kx − yk = 0 e x = y.
Sia ora x ∈ H, allora, poich`e V `e denso in H, esiste una successione {vn} di elementi di V tale
che {vn→ x}; da quanto precede segue che ha senso definire
˜
T x = lim
n→∞T vn (3.2.20)
siano α, β ∈ C, x, y ∈ H e {vn}, {wn} successioni di elementi di V tali che vn→ x e wn→ y, allora
`e immediato vedere che αvn+ βwn→ αx + βy e si ha quindi
˜
T (αx + βy) = lim
n→∞T (αvn+ βwn) = α lim
n→∞T vn+ β lim
n→∞T wn = α ˜T (x) + β ˜T (y) (3.2.21) cio`e ˜T `e un operatore lineare. Se v ∈ V si ha ˜T v = limn→∞T v = T v quindi ˜T |V = T , quindi si ha
k ˜T k = sup x∈H,kxk=1 k ˜T xk ≥ sup x∈V,kxk=1 k ˜T xk = sup x∈V,kxk=1 kT xk = kT k (3.2.22) Inoltre se {vn} `e una successione di elementi di V tale che vn → x, per la continuit`a della norma
e per la 3.2.20 si kvnk → kxk e kT vnk → kT xk ma si ha (almeno definitivamente se x 6= 0)
kT vnk kvnk ≤ kT k quindi k ˜T xk kxk = limn→∞ kT vnk kvnk ≤ kT k (3.2.23) quindi k ˜T k ≤ kT k.
Il teorema precedente `e un caso particolare della seguente affermazione, che si dimostra in modo sostanzialmente identico: siano (X, k kX), (Y, k kY) due spazi normati di cui il secondo `e completo; sia V ⊂ X un sottoinsieme di X e f : V → Y una funzione uniformemente continua, allora f pu`o essere estesa per continuit`a in modo unico ad una funzione ˜f uniformemente continua
su V tale che ˜f |V = f .