METODI MATEMATICI PER LA FISICA I

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METODI MATEMATICI PER LA FISICA I

5 febbraio 2004

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Prefazione

Quanto segue `e la trascrizione degli appunti del corso ”Metodi Matematici per la Fisica I” tenuto nell’anno accademico 2002/2003 dal prof. Luciano Bracci al II anno del Corso di Laurea in Fisica dell’Universit`a di Pisa.

Aggiunte agli argomenti trattati nel corso originario sono state effettuate principalmente per dimostrare risultati enunciati senza dimostrazione durante le lezioni. In questo senso i risultati la cui dimostrazione risultava eccessivamente laboriosa oppure si sarebbe distaccata troppo dal contesto del corso sono stati dimostrati nelle appendici.

Per poter capire queste note `e necessaria una conoscenza elementare della teoria della misura e della integrazione secondo Lebesgue (principalmente teoremi di passaggio al limite e teoremi di Fubini, Tonelli) e di geometria (in effetti non molto di pi`u di sapere cosa sono uno spazio vettoriale ed una applicazione lineare).

i

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Indice

Prefazione i

1 Spazi normati e con prodotto scalare 1

1.1 Definizioni e propriet`a elementari . . . . 1

1.2 Topologia . . . . 4

1.3 Spazi di Banach . . . . 9

1.4 Prodotti scalari . . . . 16

1.5 Propriet`a elementari degli sp. di Hilbert . . . . 20

2 Equazioni differenziali alle derivate parziali 24 2.1 Serie di Fourier . . . . 24

2.2 Problema ai limiti per il quadrato . . . . 29

2.2.1 Caso ua . . . . 29

2.2.2 caso uF . . . . 31

2.3 Problema ai limiti per il cerchio . . . . 33

2.3.1 caso u0 . . . . 33

2.3.2 caso uF . . . . 35

2.3.3 Funzioni armoniche . . . . 38

2.3.4 Lemma di Green e sue conseguenze . . . . 41

2.4 Equazione delle onde . . . . 45

2.4.1 caso uf . . . . 45

2.4.2 caso ug . . . . 46

2.4.3 caso uF . . . . 47

2.4.4 caso ua . . . . 49

3 Spazi di Hilbert ed Operatori lineari 50 3.1 Geometria degli spazi di Hilbert . . . . 50

3.2 Operatori e funzionali lineari . . . . 55

3.3 Proiettori . . . . 59

3.4 Particolari classi di operatori . . . . 63

3.5 Trasformata di Fourier . . . . 74

3.6 Operatori chiusi e chiudibili . . . . 85

A Spazi L^p 94 A.1 Definizioni . . . . 94

A.2 Propriet`a fondamentali . . . . 95

A.3 Propriet`a di densit`a . . . . 97

B Convergenza puntuale della serie di Fourier 103 B.1 Criterio di Dirichlet-Jordan . . . 103

B.2 Teorema di Fejer . . . 105 ii

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C Riflessivit`a 110

D Complementi sugli operatori compatti 112

D.1 Teorema dell’alternativa . . . 112 D.2 Teoria spettrale . . . 114

E Problema di Sturm-Liouville 117

E.1 Problemi ai limiti . . . 117 E.2 Problema di Sturm-Liouville . . . 121

F Conseguenze del lemma di Baire 128

G Il teorema fondamentale del calcolo 132

G.1 Premesse . . . 132 G.2 Il teorema fondamentale del calcolo . . . 139 G.3 Altra dimostrazione . . . 147

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Capitolo 1

Spazi normati e con prodotto scalare

1.1 Definizioni e propriet` a elementari

Definizione 1.1.1. Sia X uno spazio vettoriale sul campo C; una funzione k kX : X → R si chiama norma se valgono

1. se x ∈ X allora kxkX ≥ 0 2. x = 0 ⇔ kxkX= 0

3. se x ∈ X e λ ∈ C allora kλxkX = |λ| kxkX

4. se x, y ∈ X allora kx + ykX≤ kxkX+ kykX

La propriet`a (4) si chiama disuguaglianza triangolare. (Se X `e uno spazio vettoriale su R, nella (3) si deve avere λ ∈ R)

Definizione 1.1.2. Si chiama spazio normato uno spazio vettoriale su cui sia definita una norma.

La notazione (X, k kX) significa che X `e uno spazio normato con norma k kX. Esempio 1.1.1. Sono spazi normati:

1. il campo C considerato come spazio vettoriale su C con come norma il modulo.

2. lo spazio delle funzioni limitate f : A → C dove A `e un insieme, kf kX= sup_x∈A|f (x)|.

3. lo spazio Cⁿ con la norma k(a1, . . . , an)kX = |a1| + · · · + |an|.

4. lo spazio Cⁿ con la norma k(a1, . . . , an)kX = sup_i=1,...,n|ai|.

5. lo spazio delle funzioni f : Rⁿ→ R continue ed integrabili con la norma kf kX=R

|f (x)|dx 6. lo spazio delle successioni limitate con come norma k{ai}kX= sup_i∈N|ai|.

7. lo spazio delle successioni assolutamente sommabili con come norma k{ai}kX=P_∞

i=0|ai|.

Definizione 1.1.3. Siano (X, k kX), (Y, k kY) spazi normati, A ⊂ X e f : A → Y una funzione. Sia ¯x ∈ X e ` ∈ Y ; si dice che il limite di f (x) per x che tende a ¯x `e ` (in simboli limx→¯xf (x) = `) se per ogni > 0 esiste un δ > 0 tale che se x ∈ X ∩ A e 0 < kx − ¯xkX < δ, allora kf (x) − `kY < . Se ` ∈ Y si scrive limx→∞f (x) = ` (o, pi`u precisamente, limkxkX→∞f (x) = `) se per ogni > 0 esiste un M tale che se kxkX > M e x ∈ A si ha kf (x) − `kY < .

1

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Definizione 1.1.4. Sia (X, k kX) uno spazio normato e A ⊂ X. Sia ¯x ∈ X; si dice che ¯x `e un punto di accumulazione per A se per ogni δ > 0 esiste un a ∈ A, a 6= ¯x tale che k¯x − akX< δ.

Definizione 1.1.5. Sia (X, k kX) uno spazio normato e sia A ⊂ X. Si dice che A `e limitato se esiste un K > 0 tale che per ogni x ∈ A si abbia kxkX < K.

Lemma 1.1.1. Siano (X, k kX), (Y, k kY) spazi normati, A ⊂ X, f : A → Y una funzione e

¯

x un punto di accumulazione per A, allora se esiste limx→¯xf (x) tale limite `e unico.

Dimostrazione. supponiamo per assurdo che esistano due limiti `1 e `2 distinti. Sia = k`1−

`₂k_Y/3 > 0; allora esiste un δ₁> 0 tale che se 0 < kx − ¯xk_X < δ₁ e x ∈ A si ha kf (x) − `₁k_Y < ;

analogamente deve esistere un δ2> 0 tale che se 0 < kx − ¯xkX < δ2e x ∈ A si ha kf (x) − `2kY < .

Sia δ = min(δ1, δ2); poich`e ¯x `e un punto di accumulazione per A, esiste un x1 ∈ A tale che kx1− ¯xkX = η < δ, η > 0. Allora si deve avere

kf (x1) − `1kY < ; kf (x1) − `2kY <  (1.1.1) ma allora

k`1−`2kY = k`1−f (x1)+f (x1)−`2kY ≤ k`1−f (x1)kY+kf (x1)−`2kY < 2 = 2

3k`1−`2kY (1.1.2) quindi k`₁− `₂k_Y = 0 e `₁= `₂.

Analogamente si mostra il seguente

Lemma 1.1.2. Siano (X, k kX), (Y, k kY) spazi normati, A ⊂ X non limitato e f : A → Y una funzione. Allora se esiste limx→∞f (x) tale limite `e unico.

Definizione 1.1.6. Sia (X, k kX) uno spazio normato, {ai} una successione in X e ` ∈ X; si dice che il limite della successione {ai} `e ` (limn→∞an = `) se per ogni > 0 esiste un N tale che se n > N, n ∈ N, allora kan− `kX< .

Lemma 1.1.3. Sia (X, k kX) uno spazio vettoriale, {ai} una successione in X che ammette limite, allora tale limite `e unico.

Dimostrazione. supponiamo esistano due limiti `16= `2, allora fissato = k`1−`2kX/3 > 0 esistono N₁, N₂ tali che se n > N₁ si ha ka_n− `₁k_X < , mentre se n > N₂ si ha ka_n− `₂k_X < . Si pone N = max(N1, N2), si sceglie n > N e si ottiene

k`1− `2kX≤ k`1− ankX+ k`2− ankX< 2

3k`1− `2kX (1.1.3) quindi k`1− `2kX = 0 e `1= `2.

E inoltre semplice vedere che se una successione converge a ` allora anche ogni sua sottosuc-` cessione converge a `.

Definizione 1.1.7. Siano (X, k kX), (Y, k kY) spazi normati, A ⊂ X e f : A → Y una funzione. Sia ¯x ∈ A; si dice che f `e continua in ¯x se per ogni > 0 esiste un δ > 0 tale che se x ∈ A `e tale che k¯x − xkX< δ si ha kf (¯x) − f (x)kY < .

Lemma 1.1.4. Siano (X, k kX), (Y, k kY) spazi normati, A ⊂ X e f : A → Y una funzione.

Sia ¯x ∈ A, allora f `e continua in ¯x se e solo se limx→¯xf (x) = f (¯x).

Dimostrazione. discende immediatamente dalle definizioni.

Lemma 1.1.5. Siano (X, k kX), (Y, k kY) spazi normati, A ⊂ X e f : A → Y una funzione.

Sia ¯x ∈ A; allora f `e continua in ¯x ⇔ per ogni successione {an} tale che ai∈ A e limn→∞an = ¯x si ha limn→∞f (an) = f (¯x).

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Dimostrazione. ⇒) sia {an} una successione tale che limn→∞an = ¯x. Fissato > 0 sia δ > 0 come nella definizione di continuit`a, allora esiste un N > 0 tale che se n > N si ha kan− ¯xkX < δ, quindi se n > N si ha kf (an) − f (¯x)kY < , quindi limn→∞f (an) = f (¯x).

⇐) supponiamo per assurdo che f non sia continua in ¯x, allora esiste un > 0 tale che per ogni δ > 0 esiste un xδ ∈ A tale che kxδ− ¯xkX< δ e kf (xδ) − f (¯x)kY ≥ . Consideriamo allora la successione {x1/n}, n ∈ N, n > 0. Si vede subito che essa converge a ¯x e poich`e kf (x1/n)−f (¯x)kY ≥

 non si pu`o avere limn→∞f (an) = f (¯x), assurdo.

Teorema 1.1.1. Siano (X, k kX), (Y, k kY) spazi normati, A ⊂ X e f, g : A → Y due funzioni.

Se ¯x ∈ A e f, g sono continue in ¯x allora f + g `e continua in ¯x

Dimostrazione. sia > 0, allora esistono δ1, δ2> 0 tali che se x ∈ A e kx − ¯xkX< δ1allora kf (x) − f (¯x)kY < /2 mentre se kx − ¯xkX < δ2 allora kg(x) − g(¯x)kY < /2. Usando la disuguaglianza triangolare si ha allora se kx − ¯xkX < δ = min(δ1, δ2) e x ∈ A

kf (x) + g(x) − f (¯x) − g(¯x)kY ≤ kf (x) − f (¯x)kY + kg(x) − g(¯x)kY <  (1.1.4)

Analogamente si mostra il seguente:

Lemma 1.1.6. Siano (X, k kX), (Y, k kY) spazi normati, A ⊂ X e f, g : A → Y due funzioni e ¯x ∈ X. Se limx→¯xf (x) = `1 e limx→¯xg(x) = `2, allora limx→¯x[f (x) + g(x)] = `1+ `2. (Un enunciato analogo vale se limx→∞f (x) = `1 e limx→∞g(x) = `2).

Teorema 1.1.2. Siano (X, k kX), (Y, k kY), (Z, k kZ) tre spazi normati, siano A ⊂ X, B ⊂ Y , f : A → Y , g : B → Z, f (A) ⊂ B, ¯x ∈ A, f continua in ¯x, g continua in f (¯x), allora g ◦ f `e continua in ¯x.

Definizione 1.1.8. Siano (X, k kX), (Y, k kY) spazi normati, A ⊂ X e f : A → Y una funzione. Si dice che f `e continua se `e continua in ogni punto di A.

Definizione 1.1.9. Siano (X, k kX), (Y, k kY) spazi normati, A ⊂ X e f : A → Y una funzione. Si dice che f `e lipschitziana in A se esiste una costante L > 0 tale che per ogni x, y ∈ A si ha

kf (x) − f (y)kY ≤ Lkx − ykX (1.1.5)

Lemma 1.1.7. Una funzione lipschitziana `e anche continua.

Teorema 1.1.3. Sia (X, k kX) uno spazio normato, allora x → kxkX `e una funzione lips- chitziana.

Dimostrazione. siano x, y ∈ X, allora usando le propriet`a della norma si ha

kxkX = kx + y − ykX ≤ kx − ykX+ kykX (1.1.6) kykX = ky − x + xkX≤ kx − ykX+ kxkX (1.1.7) da cui si ottiene

−kx − ykX ≤ kxkX− kykX ≤ kx − ykX (1.1.8) cio`e

| kxkX− kykX| ≤ kx − ykX (1.1.9)

(10)

Definizione 1.1.10. Sia X uno spazio vettoriale e siano k k1, k k2 due norme su X. Si dice che esse sono due norme equivalenti se esistono due costanti k, K > 0 tali che per ogni x ∈ X si ha:

kkxk1≤ kxk2≤ Kkxk1 (1.1.10)

Lemma 1.1.8. Sia X uno spazio vettoriale e siano k k1, k k2 due norme equivalenti su X.

Sia {ai} una successione in X, allora limn→∞an = ` secondo la norma k k1 ⇔ limn→∞an = ` secondo la norma k k2

Dimostrazione. ⇒) sia > 0, allora esiste un N > 0 tale che se n > N si ha kan− `k1 < /K (dove K `e come nella definizione 1.1.10), ma allora kan− `k2 < , quindi limn→∞an = ` anche secondo la norma k k2.

⇐) dimostrazione analoga.

analogamente si mostrano i seguenti lemmi:

Lemma 1.1.9. Sia X uno spazio vettoriale e k kX1, k kX2due norme equivalenti su X. Sia Y uno spazio vettoriale e k kY 1, k kY 2 due norme equivalenti su Y . A ⊂ X, f : A → Y , ¯x ∈ X e

` ∈ Y , allora sono equivalenti le due affermazioni seguenti 1. lim_x→¯_xf (x) = ` considerando (X, k k_X1), (Y, k k_{Y 1}).

2. limx→¯xf (x) = ` considerando (X, k kX2), (Y, k kY 2).

Lemma 1.1.10. Sia X uno spazio vettoriale e k kX1, k kX2 due norme equivalenti su X. Sia Y uno spazio vettoriale e k kY 1, k kY 2 due norme equivalenti su Y . A ⊂ X, f : A → Y e ¯x ∈ A allora sono equivalenti le due affermazioni seguenti

1. f `e continua in ¯x considerando (X, k kX1), (Y, k kY 1).

2. f `e continua in ¯x considerando (X, k kX2), (Y, k kY 2).

1.2 Topologia

Definizione 1.2.1. Se (X, k kX) `e uno spazio normato, x ∈ X e r > 0 si chiama palla aperta di centro x e raggio r l’insieme

B(x, r) = {y ∈ X| kx − ykX < r} (1.2.1) Si chiama palla chiusa di centro x e raggio r l’insieme

B(x, r) = {y ∈ X| kx − yk ≤ r} (1.2.2)

Definizione 1.2.2. Se (X, k kX) è uno spazio normato e A ⊂ X un insieme, si dice che A è aperto se per ogni a ∈ A esiste un ra > 0 tale che B(a, ra) ⊂ A oppure se A = ∅. Si dice che A è chiuso se A^c è aperto (dove A^c è il complementare di A).

Lemma 1.2.1. Se (X, k kX) `e uno spazio vettoriale, x ∈ X e r > 0 allora 1. B(x, r) `e un insieme aperto

2. B(x, r) `e un insieme chiuso.

Dimostrazione. 1) sia y ∈ B(x, r), allora kx − ykX = r1 < r e sia = r − r1. Allora B(y, ) ⊂ B(x, r), infatti se z ∈ B(y, ) si ha ky − zkX< e quindi

kx − zkX= kx − y + y − zkX≤ kx − ykX+ ky − zkX< r1+ = r (1.2.3)

(11)

2) sia ora y ∈ B(x, r)^c, allora ky − xkX = r2 > r. Sia δ = r2− r, allora B(y, δ) ⊂ B(x, r)^c, infatti se ky − zkX< δ, allora

kx − ykX≤ kx − zkX+ kz − ykX (1.2.4)

e quindi

kx − zkX≥ kx − ykX− kz − ykX> r2− δ = r (1.2.5) quindi B(x, r)^c `e aperto e B(x, r) `e chiuso.

Teorema 1.2.1. Sia (X, k kX) uno spazio normato, allora 1. ∅ e X sono insiemi aperti.

2. l’unione di una famiglia di insiemi aperti `e un insieme aperto.

3. l’intersezione di un numero finito di aperti `e un insieme aperto.

Dimostrazione. le affermazioni (1) e (2) sono immediate. Dimostriamo la (3): per induzione basta mostrarla nel caso di due insiemi A, B. Se A ∩ B = ∅ la tesi `e vera. Se x ∈ A ∩ B allora esistono

1, 2tali che B(x, 1) ⊂ A e B(x, 2) ⊂ B. Allora se = min(1, 2) si ha B(x, ) ⊂ A ∩ B.

Usando le formule di De Morgan [

i∈I

Ai

!_c

=\

i∈I

A^c_i (1.2.6)

\

i∈I

Ai

!_c

=[

i∈I

A^c_i (1.2.7)

si ottiene il seguente

Teorema 1.2.2. Sia (X, k kX) uno spazio normato, allora 1. ∅ e X sono insiemi chiusi

2. l’intersezione di una famiglia di insiemi chiusi `e un insieme chiuso 3. l’unione di un insieme finito di insiemi chiusi `e un insieme chiuso.

Teorema 1.2.3. Sia (X, k kX) uno spazio normato e A ⊂ X, allora A `e chiuso ⇔ ogni successione convergente di elementi di A converge ad un elemento di A.

Dimostrazione. ⇒) sia {ai} una successione di elementi tale che an → y. Si deve mostrare che y ∈ A. Supponiamo per assurdo che y /∈ A, allora esiste > 0 tale che B(y, ) ⊂ A^c e per la definizione di limite esiste un N tale che, se n > N , an∈ B(y, ), quindi aN +1∈ A, contrariamente/ all’ipotesi che {an} sia una successione di elementi di A.

⇐) supponiamo ora che ogni successione convergente di elementi di A converga ad un elemento di A e supponiamo per assurdo che A non sia chiuso; allora A^c non `e aperto, quindi esiste x ∈ A^c tale che per ogni > 0 B(x, ) 6⊂ A^c, quindi per ogni > 0 esiste un x∈ A tale che x∈ B(x, ).

La successione {x1/n} `e allora una successione di elementi di A che converge a x, quindi per ipotesi x ∈ A, mentre x ∈ A^c.

Dal teorema 1.2.3 e dal lemma 1.1.8 segue allora immediatamente il seguente teorema

Teorema 1.2.4. Sia X uno spazio normato, k k1, k k2 due norme equivalenti su X e A ⊂ X, allora

1. A `e chiuso nella norma k k1 se e solo se `e chiuso nella norma k k2.

(12)

2. A `e aperto nella norma k k1 se e solo se `e aperto nella norma k k2.

Definizione 1.2.3. Sia (X, k kX) uno spazio normato e A ⊂ X, allora si chiama chiusura di A il pi`u piccolo insieme chiuso che contiene A ovvero l’intersezione di tutti gli insiemi chiusi che contengono A e si indica con A.

Teorema 1.2.5. Sia (X, k kX) uno spazio normato e A ⊂ X, A 6= ∅ allora x ∈ A ⇔ esiste una successione di elementi di A che converge a x.

Dimostrazione. sia C l’insieme cos`ı definito: x ∈ C se esiste una successione di elementi di A che converge ad x. Dalla definizione segue che dato y ∈ C, per ogni > 0 esiste x ∈ A tale che kx− yk_X < . Mostriamo che C `e chiuso: sia {c⁽ⁿ⁾} una successione di elementi di C che converge a c; si deve mostrare che c ∈ C. Consideriamo la successione {c⁽ⁿ⁾_1/n} di elementi di A:

evidentemente anch’essa converge a c, quindi per definizione c ∈ C. Sia ora D un chiuso tale che A ⊂ D. Sia {an} una successione di elementi di A che converge a x; per il teorema 1.2.3 si ha allora x ∈ D, ma allora C ⊂ D, quindi C è contenuto in ogni chiuso che contiene A, quindi è il pi`u piccolo chiuso che contiene A, cioè la sua chiusura.

Corollario 1.2.1. Sia (X, k kX) uno spazio normato, x ∈ X e r > 0, allora B(x, r) `e la chiusura di B(x, r).

Dimostrazione. sia y ∈ B(x, r), allora ky − xkX ≤ r; sia {tn} una successione in R tale che tn→ 1 e |tn| < 1, allora è semplice vedere che la successione {x + tn(y − x)} è una successione di elementi di B(x, r) che converge a y, quindi B(x, r) è contenuto nella chiusura di B(x, r), ma per il lemma 1.2.1 B(x, r) è un insieme chiuso, quindi è la chiusura di B(x, r).

Definizione 1.2.4. Sia (X, k kX) uno spazio normato e A ⊂ X. A si dice insieme compatto (più precisamente compatto per successioni) se da ogni successione di elementi di A si può estrarre una sottosuccessione che converge ad un elemento di A. Un insieme si dice relativamente compatto se la sua chiusura è un insieme compatto.

A causa del lemma 1.1.8, se k k1, k k2 sono due norme equivalenti su X e A ⊂ X, allora A

`e compatto secondo la norma k k1 se e solo se `e compatto per la norma k k2.

Lemma 1.2.2. Sia (X, k k_X) uno spazio normato e A ⊂ X un insieme compatto, allora A `e chiuso e limitato.

Dimostrazione. verifichiamo che A `e chiuso: sia {an} una successione di elementi di A che converge a x ∈ X, allora esiste una sottosuccessione di {an} che converge ad un elemento di A, ma ogni sotosuccessione di {an} converge ad x, quindi x ∈ A e per il teorema 1.2.3 A `e un insieme chiuso.

Verifichiamo che A è limitato. Supponiamo per assurdo che A non sia limitato, allora si può costruire una successione {xn} tale che limn→∞kxnkX = ∞. Supponiamo esista una sottosucces- sione {xnk} convergente a y ∈ X, allora per la continuità della norma (teorema 1.1.3) si dovrebbe avere limk→∞kxnkkX = kykX< +∞ mentre limk→∞kxnkkX = ∞.

Teorema 1.2.6 (Weierstrass). Sia (X, k kX) uno spazio normato, A ⊂ X un insieme compatto e f : A → R una funzione continua, allora esiste xm∈ A in cui f assume il suo valore minimo e xM ∈ A in cui f assume il suo valore massimo.

Dimostrazione. sia M = sup_x∈Af (x) e sia {yn} una successione in A tale che f (yn) → M . Per la compattezza di A, esiste una sottosuccessione ynk che converge ad un elemento di A, sia esso xM, quindi si ha

ynk→ xM; f (ynk) → M (1.2.8)

poich`e f `e continua, si ha f (xM) = limk→∞f (ynk) = M , quindi in xM la funzione f assume il suo massimo. Analogamente si prova l’esistenza del minimo.

(13)

Definizione 1.2.5. Siano (X, k kX), (Y, k kY) due spazio normati, A ⊂ X e f : A → Y ; si dice che f `e uniformemente continua se per ogni > 0 esiste un δ > 0 tale che per ogni x, y ∈ A si ha

kx − ykX < δ ⇒ kf (x) − f (y)kY <  (1.2.9) Evidentemente ogni funzione uniformemente continua è continua; il viceversa non è vero (f (x) = x²su (R, | |) è continua ma non uniformemente continua).

Teorema 1.2.7 (Heine-Cantor-Borel). Siano (X, k kX), (Y, k kY) spazi normati, A ⊂ X un insieme compatto e f : A → Y una funzione continua, allora f `e uniformemente continua.

Dimostrazione. supponiamo per assurdo che f non sia uniformemente continua, allora esisterebbe un > 0 tale che per ogni δ > 0 esisterebbero due elementi xδ, yδ di A tali che

kxδ− yδkX < δ; kf (xδ) − f (yδ)kY ≥  (1.2.10) Consideriamo la successione {x_1/n} di elementi di A; poichè A è compatto esiste una sottosuc- cessione {x1/n_k} che converge ad a ∈ A. A causa della prima delle relazioni 1.2.10 anche {y1/n_k} converge ad a, ma allora f (x1/n_k) → f (a) e f (y1/n_k) → f (a) per la continuaità di f e quindi per la continuità della norma (teorema 1.1.3) si dovrebbe avere

kf (x1/n_k) − f (y1/n_k)kY → 0 (1.2.11) contrariamente alla seconda disuguaglianza in 1.2.10.

Teorema 1.2.8. Sia X uno spazio vettoriale di dimensione finita, allora in X tutte le norme sono equivalenti.

Dimostrazione. sia {e1. . . , en} una base di X e definiamo la norma k k1 come segue

ka1e1+ · · · + anenk1= |a1| + · · · + |an| (1.2.12)

è immediato verificare che k k1 è effettivamente una norma su X. Verifichiamo ora che l’insieme S(0, 1) = {x ∈ X| kxk1= 1} è un sottoinsieme compatto di X per la norma k k1: sia {x⁽ⁿ⁾} una successione in S(0, 1), allora kx⁽ⁿ⁾k1= 1 quindi le n successioni delle componenti {x⁽ⁿ⁾₁ }, . . . , {x⁽ⁿ⁾n } sono successioni limitate in R, quindi è possibile estrarre dalla prima una sottosuccessione con- vergente in R, sia essa {x⁽ⁱ₁⁽¹⁾^k ⁾}; allora la sottosuccessione {x⁽ⁱ₂⁽¹⁾^k ⁾} è limitata, quindi vi si può estrarre una sottosuccessione {x⁽ⁱ₂⁽²⁾^k ⁾} convergente. Procedendo in questo modo n volte si ottiene un insieme di indici, sia esso i⁽ⁿ⁾_k tale che {x⁽ⁱ_j⁽ⁿ⁾^k ⁾} converge per ogni j = 1, . . . , n ad un elemento

¯

xj quando k → ∞. A questo punto per come è stata definita k k1 è immediato vedere che k¯x1e1+ · · · + ¯xnen− x⁽ⁱ₁⁽ⁿ⁾^k ⁾e1− · · · − x⁽ⁱn⁽ⁿ⁾^k ⁾enkX→ 0 se k → ∞ (1.2.13) cioè esiste una sottosuccessione convergente di {x⁽ⁿ⁾}. Si deve ora mostrare che l’elemento a cui tale sottosuccessione tende sia in S(0, 1); per fare ciò basta mostrare che S(0, 1) è un insieme chiuso, ma esso è intersezione di due chiusi, poichè

S(0, 1) = B(0, 1)^c∩ B(0, 1) (1.2.14)

quindi per il teorema 1.2.2 è un insieme chiuso. Si è cos`ı visto che S(0, 1) è un compatto. Sia ora k k una qualsiasi norma su X; allora

ka₁e₁+ · · · + a_ne_nk ≤ |a₁| ke₁k + · · · + |a_n| ke_nk ≤ Kka₁e₁+ · · · + a_ne_nk₁ (1.2.15) dove K = max(ke1k, . . . , kenk), quindi per ogni x ∈ X si ha kxk ≤ Kkxk1 quindi la funzione x → kxk `e lipschitziana rispetto alla norma k k1(per il teorema 1.1.3), in particolare `e continua.

(14)

Per il teorema di Weierstrass, poichè S(0, 1) è compatto, x → kxk assume il suo minimo su S(0, 1) in un punto xm. Poichè xm6= 0 (poiché kxmk1= 1 6= 0) si avrà kxmk = m > 0, quindi kyk ≥ m per ogni y ∈ S(0, 1). Sia ora x ∈ X, x 6= 0, allora è immediato vedere che x/kxk1∈ S(0, 1) quindi

x

kxk1

≥ m (1.2.16)

cio`e kxk ≥ mkxk1 che insieme a 1.2.15 mostra che le due norme k k e k k1 sono equivalenti.

Poichè l’equivalenza tra norme è una relazione di equivalenza e si è appena visto che tutte le norme sono equivalenti a k k1, tutte le norme sono equivalenti tra loro.

Il teorema precedente `e falso in dimensione infinita: sia X lo spazio delle funzioni continue e limitate con derivata continua e limitata. Si vede semplicemente che le seguenti sono norme su X:

kf k0= sup

x∈R

|f (x)| kf k1= sup

x∈R

|f (x)| + sup

x∈R

|f⁰(x)| (1.2.17)

Si consideri la successione fn =_n¹sin(nx) si vede semplicemente che fn→ 0 nella norma k k0ma non nella norma k k1(poich`e kfnk1=_n¹+ 1) quindi per il lemma 1.1.8 le due norme non possono essere equivalenti.

Corollario 1.2.2 (Bolzano-Weierstrass). Sia (X, k kX) uno spazio di dimensione finita, A ⊂ X un insieme limitato e chiuso, allora A `e compatto.

Dimostrazione. per il teorema precedente basta mostrare la tesi per la norma k k₁ introdotta nella dimostrazione precedente. In questo caso la dimostrazione è identica a quella con cui nel teorema precedente si è visto che S(0, 1) è compatto.

Anche questo teorema non è in generale vero in dimensione infinita: si consideri lo spazio B(R) delle funzioni limitate su R con la norma kf k = sup_x∈R|f (x)| (norma della convergenza uniforme). Verifichiamo che l’insieme B(0, 1), chiuso e limitato, non è compatto: sia fn = e^−nx², allora fn ∈ B(0, 1) e fn converge puntualmente alla funzione f tale che f (0) = 1 e f (x) = 0 se x 6= 0, ma kf − fnk = 1 quindi non esistono sottosuccessioni di {fn} che convergono nella norma k k, quindi B(0, 1) in questo caso non è compatto.

In alcuni testi viene citato come teorema di Bolzano-Weierstrass il seguente:

Corollario 1.2.3 (Bolzano-Weierstrass). Sia (X, k kX) uno spazio normato di dimensione finita e sia A ⊂ X un insieme limitato avente un numero infinito di elementi, allora A ha almeno un punto di accumulazione in X.

Dimostrazione. poichè A è limitato, esiste R > 0 tale che A ⊂ B(0, R) e quindi A ⊂ B(0, R), quindi A è un insieme chiuso e limitato in uno spazio normato di dimensione finita, quindi per il teorema di Bolzano-Weierstrass (prima forma) A è compatto. Poichè A ha un numero infinito di elementi, esiste una successione di elementi distinti di A, sia essa {xn}. Poichè A ⊂ A e A

è compatto, la successione {xn} ammette una sottosuccessione convergente che continueremo ad indicare con {xn} per semplicità di notazione, quindi esite un y ∈ X tale che xn → y, cioè per ogni > 0 esiste un N tale che se n > N si ha xn ∈ B(y, ). Se y è diverso da xn per ogni n è allora ovvio che y è un punto di accumulazione di A. Se esiste un ¯n tale che y = xn¯, per come è stata costruita la successione si ha che se n > max(N, ¯n) si ha x_n∈ B(y, ) e x_n 6= y = x_¯_n quindi y è un punto di accumulazione di A

Definizione 1.2.6. Sia (X, k kX) uno spazio normato e siano A, B ⊂ X tali che A ⊂ B. Si dice che A `e denso in B se B ⊂ A.

Dal teorema 1.2.5 segue immediatamente che A `e denso in B se e solo se per ogni b ∈ B, > 0 esiste un a ∈ A tale che a ∈ B(b, ).

(15)

Definizione 1.2.7. Sia (X, k kX) uno spazio normato e sia A ⊂ X. Si chiama parte interna di A l’insieme ˚A costituito dall’unione di tutti gli aperti contenuti in A, ovvero il pi`u grande aperto contenuto in A.

Dalla definizione segue immediatamente che a ∈ ˚A se e solo se esiste un > 0 tale che B(a, ) ⊂ A.

Lemma 1.2.3. Sia (X, k kX) uno spazio normato e A ⊂ X, allora ˚A = ∅ ⇔ A^c `e denso in X.

Dimostrazione. ⇒) se ˚A = ∅ (e A 6= ∅ altrimenti la tesi `e ovvia) per ogni a ∈ A, per ogni > 0 si ha B(a, ) ∩ A^c6= ∅, quindi A ⊂ A^c, ma evidentemente A^c⊂ A^c e A^c∪ A = X, quindi X ⊂ A^c.

⇐) sia A tale che A^c sia denso in X (e nuovamente A 6= ∅), allora per ogni a ∈ A, per ogni

 > 0 esiste un b ∈ A^c tale che b ∈ B(a, ) e quindi B(a, ) non `e contenuto completamente in A, quindi ˚A = ∅.

1.3 Spazi di Banach

Definizione 1.3.1. Sia (X, k kX) uno spazio normato e sia {xn} una successione in X; si dice che la successione {xn} `e una successione di Cauchy (in alcuni testi si trova successione fondamentale) se per ogni > 0 esiste un N ∈ N tale che se n, m > N allora si ha kxn− xmk < .

E immediato verificare che se X è uno spazio vettoriale, k k` 1, k k2sono due norme equivalenti su X e {xn} è una successione in X, allora {xn} è una successione di Cauchy per la norma k k1

se e solo se `e una successione di Cauchy per la norma k k2.

Lemma 1.3.1. Sia (X, k kX) uno spazio normato e sia {xn} una successione convergente, allora {xn} `e una successione di Cauchy.

Dimostrazione. sia limn→∞xn = x, allora per ogni > 0 esiste un N tale che se n > N si ha kx − xnkX< /2, quindi se n, m > N si ha

kxn− xmkX≤ kxn− xkX+ kxm− xkX< (1.3.1)

Definizione 1.3.2. Sia (X, k kX) uno spazio normato. Esso si dice completo se ogni successione di Cauchy converge. Uno spazio normato completo si chiama anche spazio di Banach .

Lemma 1.3.2. Sia X uno spazio vettoriale e siano k k₁, k k₂ due norma equivalenti su X, allora X `e completo rispetto a k k1 se e solo se `e completo rispetto a k k2.

Dimostrazione. discende subito dal lemma 1.1.8.

Si user`a il fatto, dimostrato nei corsi di Analisi del primo anno, che lo spazio (R, | |) `e uno spazio normato completo.

Teorema 1.3.1. Ogni spazi normato di dimensione finita `e completo.

Dimostrazione. poichè in dimensione finita tutte le norme sono equivalenti (vedi teorema 1.2.8), per il lemma 1.3.2 basta dimostrare che X è completo rispetto ad una particolare norma. Se {e1, . . . , en} è una base di X, introduciamo la norma

ka1e1+ · · · + anenk1= |a1| + · · · + |an| (1.3.2) Sia ora {x⁽ⁱ⁾} una successione di Cauchy in X rispetto alla norma k k1. Si vede subito che allora le successioni {x⁽ⁱ⁾₁ }, . . . , {x⁽ⁱ⁾n } delle componenti di x⁽ⁱ⁾ sono successioni di Cauchy in R e quindi convergono ad elementi x1, . . . , xn. Allora si ha

kx⁽ⁱ⁾− (x1e1+ · · · + xnen)k1= |x⁽ⁱ⁾₁ − x1| + · · · + |x⁽ⁱ⁾_n − xn| (1.3.3)