T x = lim
n→∞T vn (3.2.20)
siano α, β ∈ C, x, y ∈ H e {vn}, {wn} successioni di elementi di V tali che vn→ x e wn→ y, allora
`e immediato vedere che αvn+ βwn→ αx + βy e si ha quindi
˜
T (αx + βy) = lim
n→∞T (αvn+ βwn) = α lim
n→∞T vn+ β lim
n→∞T wn = α ˜T (x) + β ˜T (y) (3.2.21) cio`e ˜T `e un operatore lineare. Se v ∈ V si ha ˜T v = limn→∞T v = T v quindi ˜T |V = T , quindi si ha
k ˜T k = sup x∈H,kxk=1 k ˜T xk ≥ sup x∈V,kxk=1 k ˜T xk = sup x∈V,kxk=1 kT xk = kT k (3.2.22) Inoltre se {vn} `e una successione di elementi di V tale che vn → x, per la continuit`a della norma
e per la 3.2.20 si kvnk → kxk e kT vnk → kT xk ma si ha (almeno definitivamente se x 6= 0)
kT vnk kvnk ≤ kT k quindi k ˜T xk kxk = limn→∞ kT vnk kvnk ≤ kT k (3.2.23) quindi k ˜T k ≤ kT k.
Il teorema precedente `e un caso particolare della seguente affermazione, che si dimostra in modo sostanzialmente identico: siano (X, k kX), (Y, k kY) due spazi normati di cui il secondo `e completo; sia V ⊂ X un sottoinsieme di X e f : V → Y una funzione uniformemente continua, allora f pu`o essere estesa per continuit`a in modo unico ad una funzione ˜f uniformemente continua
su V tale che ˜f |V = f .
3.3 Proiettori
Definizione 3.3.1. sia H uno spazio di Hilbert e P : H → H un operatore. Si dice che P `e un
proiettore se esiste un sottospazio di Hilbert H0 di H tale che, per ogni x ∈ H, P x `e la proiezione di x su H0.
Teorema 3.3.1. sia P un proiettore, allora si ha
1. P `e lineare e limitato 2. P2= P
3. P+= P
Dimostrazione. 1) vediamo innanzitutto che P `e lineare: siano x, y ∈ H e siano x = x0 + x00,
y = y0 + y00 dove x0, y0 ∈ H0 e x00, y00 ∈ H0⊥, allora si ha αx0 + βy0 ∈ H0 e αx00+ βy00 ∈ H0⊥ e poich`e la scomposizione αx + βy = z0 + z00, dove z0 ∈ H0 e z00 ∈ H0⊥, `e unica e αx + βy = (αx0+ βy0) + (αx00+ βy00), si ha z0 = αx0+ βy0 e quindi P (αx + βy) = αx0+ βy0 = αP x + βP y, quindi P `e lineare, inoltre
kP xk2= kx0k2≤ kx0k2+ kx00k2= kx0+ x00k2= kxk2 (3.3.1) quindi kP k ≤ 1. Inoltre se H06= {0} (o equivalentemente P 6= 0) si ha per ogni x ∈ H0che P x = x, quindi kP k = 1 in questo caso; se invece H0= {0}, allora P = 0 e kP k = 0.
2) P2x = P P x = P x0= x0, quindi P2= P 3) per ogni x, y ∈ H si ha
(y, P x) = (y, x0) = (y0+ y00, x0) = (y0, x0) = (P y, x0) = (P y, x0+ x00) = (P y, x) (3.3.2) quindi (P y, x) = (P+y, x) per ogni x, y ∈ H, quindi (P y − P+y, x) = 0 per ogni x, y, in particolare
(P y − P+y, P y − P+y) = 0 per ogni y, quindi P y = P+y per ogni y e P = P+.
Per mostrare che P = P+ nel precedente teorema si `e usato il fatto elementare che se A `e un operatore lineare e (Ax, y) = 0 per ogni x, y ∈ H allora A = 0; un risultato analogo a questo che pu`o talvolta risultare utile `e il seguente:
Lemma 3.3.1. Sia V uno spazio vettoriale con prodotto scalare su C, A : V → V un operatore
lineare tale che per ogni x ∈ V si abbia (Ax, x) = 0, allora A = 0. Dimostrazione. siano x, y ∈ V , allora si ha (A(x + y), x + y) = 0 cio`e
(Ax, y) = −(Ay, x) (3.3.3)
Usando la precedente uguaglianza si ottiene per ogni x, y
(Ax, iy) = i(Ax, y) = −i(Ay, x) = i(Ay, x) = (iAy, x) = (A(iy), x) (3.3.4) poich`e la funzione y → iy `e biunivoca su V si ottiene quindi (Ax, y) = (Ay, x) per ogni x, y ∈ V , da cui, usando 3.3.3, si ottiene (Ax, y) = 0 per ogni x, y e quindi A = 0
Nel teorema precedente l’ipotesi che V sia uno spazio vettoriale su C non `e eliminabile: sia
v ∈ R3e consideriamo il prodotto scalare euclideo, allora per ogni x ∈ R3 si ha (v × x, x) = 0 ma non `e vero che v × x = 0 per ogni x.
Daremo ora alcune caratterizzazioni dei proiettori in uno spazio di Hilbert.
Teorema 3.3.2. Sia P : H → H un operatore lineare tale che P2= P , e (P x, y) = (x, P y) [se si
sapesse gi`a che P `e limitato si potrebbe dire che P = P+ ] allora P `e un proiettore.
Dimostrazione. mostriamo innanzitutto che P `e un operatore limitato:
kP xk2= (P x, P x) = (x, P2x) = (x, P x) ≤ kxk kP xk (3.3.5) quindi kP xk ≤ kxk e quindi kP k ≤ 1. Sia ora V = {x ∈ H|P x = x}; poich`e P `e un operatore lineare V `e un sottospazio vettoriale, poich`e P `e continuo V `e quindi un sottospazio di Hilbert di
H. Sia PV la proiezione su V e mostriamo che P = PV, che concluder`a il teorema. Per costruzione si ha P = PV su V . Se z ∈ H, allora P z ∈ V , infatti P (P z) = P z; sia ora x ∈ V⊥, allora PVx = 0
e si ha
kP xk2= (P x, P x) = (x, P2x) = (x, P x) (3.3.6) ma P x ∈ V e x ∈ V⊥, quindi kP xk = 0 e quindi P x = 0, quindi P = PV anche su V⊥. Poich`e per il teorema della proiezione ortogonale ogni x ∈ H pu`o essere scritto cone x = x0+ x00 dove x0∈ V
Dal teorema precedente segue anche che se P `e un proiettore allora lo spazio su cui P ”proietta” `e lo spazio {x ∈ H|P x = x}; inoltre questo spazio coincide con P (H) (vedi il successivo lemma 3.3.2).
Teorema 3.3.3. Sia P : H → H un operatore lineare limitato tale che P2 = P e che (x −
P x, P x) = 0 per ogni x ∈ H, allora P `e un proiettore.
Dimostrazione. sia V = {x ∈ H|P x = x}, allora V `e un sottospazio di Hilbert e sia PV la proiezione su V . Per costruzione di V si ha P = PV su V . Dato z ∈ H, allora P z ∈ V poich`e P (P z) = P z, inoltre da (z − P z, P z) = 0 segue che (P z, P z) = (z, P z); sia ora x ∈ V⊥, allora si ha
kP xk2= (P x, P x) = (x, P x) = 0 (3.3.7) quindi P x = 0 e P = PV anche su V⊥. Si conclude quindi come nel teorema precedente.
Corollario 3.3.1. Sia P : H → H un operatore lineare limitato tale che P2 = P e che ImP ⊥ ker P , allora P `e un proiettore [ ImP = P (H) ].
Dimostrazione. basta mostrare che per ogni x ∈ H si ha (x − P x, P x) = 0, ma P x ∈ ImP e P (x − P x) = P x − P2x = P x − P x = 0, quindi x − P x ∈ ker P e l’uguaglianza precedente `e
soddisfatta.
Lemma 3.3.2. Sia T : H → H un operatore (non necessariamente lineare) tale che T = T2, allora ImT = {x ∈ H|T x = x}.
Dimostrazione. evidentemente {x ∈ H|T x = x} ⊂ ImT . Sia ora y ∈ ImT , allora esiste un x ∈ H
tale che y = T x, ma allora T y = T2x = T x = y, quindi ImT ⊂ {x ∈ H|T x = x}.
Teorema 3.3.4. Sia P : H → H un operatore lineare tale che P2 = P e kP k ≤ 1 (in effetti da
P2= P segue P = 0 o kP k ≥ 1, quindi questa ipotesi `e equivalente a kP k = 0 o kP k = 1), allora
P `e un proiettore.
Dimostrazione. per il corollario 3.3.1 basta mostrare che ImP ⊥ ker P ; notiamo innanzitutto che
a causa della continuit`a di P e del lemma precedente sia ImP che ker P sono sottospazi di Hilbert di H.
Dato x ∈ H, definendo y = P x − x, si ha y ∈ ker P ; se in particolare x ∈ (ker P )⊥ allora
P x = x + y con x ⊥ y e quindi kP xk2 = kxk2+ kyk2, ma kP k ≤ 1, quindi si deve avere
kP xk2≤ kxk2, quindi si deve avere y = 0, cio`e P x = x, quindi x ∈ ImP , quindi (ker P )⊥⊂ ImP .
Sia ora z ∈ ImP , quindi z = P z; inoltre z pu`o essere scritto come z = z0+ z00, dove z0 ∈ ker P
e z00 ∈ (ker P )⊥, quindi z = P z = P z0+ P z00 = P z00, ma si `e appena visto che (ker P )⊥ ⊂ ImP ,
quindi P z00= z00, quindi z = z00e quindi z ∈ (ker P )⊥ e ImP ⊂ (ker P )⊥, che conclude. Si analizzeranno ora le propriet`a di stabilit`a della classe dei proiettori.
Teorema 3.3.5. Siano P1, P2 proiettori, H1 = ImP1 e H2 = ImP2. Allora P = P1P2 `e un proiettore ⇔ P1P2= P2P1 ed in questo caso si ha ImP = H1∩ H2.
Dimostrazione. ⇒) se P `e un proiettore si deve avere P = P+ per il teorema 3.3.1, quindi si deve avere P = P1P2= P+= (P1P2)+= P2+P1+= P2P1.
⇐) se P1P2= P2P1 allora si ha P+= (P1P2)+= P2+P1+= P2P1= P1P2= P e inoltre
P2= (P1P2)(P1P2) = P1(P2P1)P2= P1(P1P2)P2= (P1P1)(P2P2) = P12P22= P1P2= P (3.3.8) inoltre evidentemente P `e lineare e limitato, quindi per il teorema 3.3.2 P `e un proiettore.
Se x ∈ ImP allora si deve avere x = P x = P1(P2x) = P2(P1x), quindi x ∈ H1∩ H2, inoltre se
x ∈ H1∩ H2 allora P x = P1(P2x) = P1x = x, quindi x ∈ ImP , che conclude la dimostrazione.
Dimostrazione. basta mostrare la prima equivalenza poich`e la seconda si ottiene scambiando P1e
P2 e usando la simmetria della relazione ⊥.
⇒) siano x1∈ H1e x2∈ H2, allora si ha
(x1, x2) = (P1x1, P2x2) = (x1, P1P2x2) = (x1, 0) = 0 (3.3.9)
⇐) siano x, y ∈ H, allora si ha
(x, P1P2y) = (P1x, P2y) = 0 (3.3.10) poich`e P1x ∈ H1 e P2y ∈ H2. Dalla generalit`a di x, y segue P1P2= 0.
Teorema 3.3.6. Siano P1, . . . , Pn proiettori aventi per immagine i sottospazi H1, . . . , Hn, allora P = P1+ · · · + Pn `e un proiettore ⇔ PiPj = Piδi,j cio`e (per il lemma precedente) se Hi ⊥ Hj
quando i 6= j. In questo caso si ha anche ImP = ⊕n i=1Hi.
Dimostrazione. ⇒) supponiamo che P sia un proiettore, allora si ha per ogni x ∈ H kxk2≥ kP xk2= (P x, P x) = (x, P2x) = (x, P x) = x, n X i=1 Pix ! = (3.3.11) = n X i=1 (x, Pix) = n X i=1 (x, P2 ix) = n X i=1 (Pix, Pix) = n X i=1 kPixk2
Se in particolare si sceglie x = P1y si ottiene kP1yk2≥ kP1P1yk2+ n X i=2 kPiP1yk2= kP1yk2+ n X i=2 kPiP1yk2 (3.3.12) quindi PiP1= 0 se i 6= 1. In generale se si pone x = Pjy si ottiene PiPj = 0 se i 6= j.
⇐) Si ha P+= (P1+ · · · + Pn)+= P1++ · · · + Pn+= P1+ · · · + Pn = P (3.3.13) P2= (P1+ · · · + Pn)2= n X i=1 Pi(P1+ · · · + P2) = n X i=1 P2 i = n X i=1 Pi= P (3.3.14) quindi per il teorema 3.3.2 P `e un proiettore.
Sia HP = ImP ; se x ∈ H, allora si ha P x = P1x + · · · + Pnx ∈ H1 + · · · + Hn, quindi
HP ⊂ H1+ · · · + Hn. Inoltre se xi∈ Hi si ha (poich`e Hi⊥ Hj se i 6= j)
P (x1+ · · · + xn) = P (x1) + · · · + P (xn) = (P1+ · · · + Pn)x1+ · · · + (3.3.15) +(P1+ · · · + Pn)xn= P1x1+ · · · + Pnxn = x1+ · · · + xn
quindi H1+ · · · + Hn⊂ HP e, poich`e Hi⊥ Hj se i 6= j, si ha HP = ⊕n i=1Hi. Lemma 3.3.4. P `e un proiettore ⇔ I − P `e un proiettore.
Dimostrazione. ⇒ (I − P )+= I+− P+= I − P e inoltre
(I − P )2= I2− 2IP + P2= I − 2P + P = I − P (3.3.16) quindi I − P `e un proiettore
⇐) P = I − (I − P ), quindo applicando la prima parte si conclude.
Teorema 3.3.7. Siano P1, P2 proiettori e H1 = ImP1, H2 = ImP2, allora P = P1− P2 `e un proiettore ⇔ (I − P1)P2= 0 e ImP = H1 H2 (definito nella dimostrazione)
Dimostrazione. per il lemma precedente P `e un proiettore se e solo se I −(P1−P2) `e un proiettore, ma I − (P1− P2) = (I − P1) + P2 e applicando il teorema 3.3.6 si vede che quest’ultimo `e un proiettore se e solo se (I − P1)P2= 0. Quest’ultima condizione equivale ovviamente a P2= P1P2, da cui segue subito che H2 ⊂ H1; inoltre nel caso in cui questa uguaglianza valga si ha anche
P2 = P2+ = (P1P2)+ = P2P1, quindi vale anche P1P2 = P2P1. Sia ora x ∈ H, allora x =
x1+ x⊥
1, dove x1 ∈ H1 e x⊥
1 ∈ H⊥
1 , allora si ha P1x = x1 e P2x = P1P2x = P2P1x = P2x1, quindi (P1− P2)x = x1− P2x1 = (I − P2)x1. Se x1 ∈ H1 si pu`o scrivere x1 = x0 + x00, dove
x0 ∈ H1∩ H2 e x00 ∈ H1∩ H⊥ 2 quindi (P1− P2)x = (I − P2)x1 = x1− P2x1 = x1− x0 = x00, quindi Im(P1− P2) ⊂ H1∩ H⊥ 2. D’altro canto se y ∈ H1∩ H⊥ 2 si ha (P1− P2)y = (I − P2)y = y e quindi H1 ∩ H⊥
2 ⊂ ImP . Si definisce complemento ortogonale di H2 rispetto a H1 l’insieme
H1 H2 = H1∩ H⊥
2. [L’ultima parte della dimostrazione si pu`o svolgere in modo pi`u intuitivo nel seguente modo: si `e visto che H2⊂ H1 ed inoltre su H1 l’operatore P1 agisce come l’identit`a, quindi P1− P2 proietta sul complemento ortogonale di H2 rispetto ad H1, cio`e su H1 H2]