3.2 Problemi di ottimizzazione
3.2.2 Ottimizzazione mono e multi-obiettivo
Una fase chiave del processo di ottimizzazione è definire il criterio con il quale poter classi-ficare le diverse soluzioni e di conseguenza sceglierne la migliore. La decisione del criterio deriva da considerazione di varia natura, solitamente è strettamente e direttamente colle-gata allo scopo dell’analisi del sistema. Ad esempio se si vuol valutare la sostituzione di un componente con uno più performante si utilizzerà come criterio di decisione la conve-nienza economica dell’operazione, e in particolare quale beneficio comporti l’installazione del nuovo componente a fronte della spesa sostenuta per l’acquisto. Per descrivere in ter-mini matematici il criterio scelto ci si avvale di una particolare funzione definita funzione obiettivo [3]. Nella pratica ingegneristica i criteri che si presentano nell’ottimizzazione dei sistemi energetici sono di natura [13]:
• Termodinamica: dove si tengono in considerazione le prestazioni termodinamiche del sistema. In particolare si fa riferimento alla massimizzazione del rendimento complessivo, alla massimizzazione di uno o più flussi (ad esempio potenza elettrica e/o calore), o ancora minimizzazione delle perdite exergetiche.
• Economica: si tengono in considerazione i costi e i profitti associati ai vari compo-nenti e al sistema stesso. Solitamente si considera o la minimizzazione dei costi o la massimizzazione del profitto sia in termini assoluti sia in termini unitari (per unità di tempo). In questa categoria possono ricadere anche tutti i criteri utilizzati per la valutazione degli investimenti: tempo di recupero, valore attuale netto, indice di profittabilità, tasso interno di profittabilità [38].
• Ambientale: si valutano le emissione (solide, liquide e gassose) del sistema nell’am-biente. Un esempio è la minimizzazione dell’impatto ambientale, è molto utilizzata per i sistemi dove sono previsti per legge dei limiti molto stringenti sulle emissioni. • Termoeconomica: valutano in modo combinato sia l’aspetto termodinamico, e quindi
relativo ai parametri prestazionali, sia quello economico. Le funzioni sono general-mente definite associando un costo monetario ai flussi di massa ed energia del sistema, includendo quindi implicitamente informazioni relative al rendimento termodinamico attraverso i flussi di costo del combustibile. L’uso di parametri prestazionali ter-modinamici è trattato ampiamente in letteratura, ad esempio si può citare [39][40] [26];
• Altra natura: valutano altri aspetti tipici dei sistemi di conversione, ad esempio valutazioni riguardanti il peso, le dimensioni, il posizionamento o il layout del sistema. Nel paragrafo 3.2 si è sottolineata l’importanza della scelta delle variabili di decisione. Una possibile conferma della scelta fatta si può avere valutando se le variabili di decisione compaiono, direttamente o indirettamente, nella funzione obiettivo. In pratica ciò signi-fica valutare se ad una variazione nei valori di una variabile di decisione è associata una variazione nel valore della funzione obiettivo. La funzione obbiettivo deve quindi essere funzione delle variabile di decisione.
In molti casi sia in fase di progetto sia in fase di funzionamento si desidererebbe avere dei sistemi che siano ottimi sotto più punti di vista. Ad esempio un desiderio innato negli ingegneri è quello di disporre di sistemi con alte prestazioni (rendimento) e a basso costo; ciò però difficilmente si verifica nella pratica poiché i sistemi più performanti sono anche
80 Ottimizzazione della configurazione e del funzionamento di un Macro-Sistema quelli più costosi. Un discorso simile si ha paragonando gli aspetti economici, ad aspetti ambientali. La riduzione o l’abbattimento delle emissioni presentano costi non trascurabili nel bilancio economico del sistema. Si pensi ad esempio a tutti i componenti (elettrofiltri, filtri a manica) e/o alle procedure (ottimizzazione del processo di combustione, macinazione fine del polverino di carbone o ottima atomizzazione dell’olio combustibile [41] necessarie ad una centrale termoelettrica per limitare gli inquinanti. Ad ogni procedura e ad ogni componente sono associati: costi di installazione, costi di funzionamento, costi di manu-tenzione, ecc. i quali vanno a gravare sul bilancio economico del sistema.
Si può vedere quindi come criteri diversi applicati ad uno stesso sistema presentino solu-zioni ottime in contrasto tra loro; in molti casi anzi la soluzione ottima per un obiettivo risulta tra le peggiori per un altro.
Una possibilità per superare questo ostacolo è utilizzare un’ottimizzazione multi-obbiettivo. Un problema di ottimizzazione multi-obiettivo richiede di soddisfare contemporaneamente un certo numero di obiettivi diversi e spesso contrastanti tra loro. Le funzioni obbiettivo associate a ciascun criterio possono essere (in)dipendenti e/o incommensurabili ( non pos-sedere alcun sottomultiplo in comune) tra loro. Nella progettazione dei sistemi energetici, ad esempio, il rendimento termico e il denaro speso nell’unità di tempo (flusso di cassa) possono avere scarsa dipendenza reciproca. Questo rende difficile individuare un criterio univoco per considerare tutti gli obiettivi prefissati, ed è quindi necessario utilizzare una differente metodologia per identificare il compromesso ottimo tra gli obbiettivi considerati. Matematicamente, un problema di ottimizzazione multi-obiettivo con m obiettivi e n va-riabili di decisione comporta la minimizzazione delle componenti di un vettore di funzioni [13], [3] e non più di una sola funzione. La forma generale di un problema di ottimizzazione multi-obiettivo è quindi
Trovare x ∈ � che minimizzano F (x) = (f1(x), . . . , fn(x)) (3.3)
Il problema può essere soggetto o meno a vincoli di uguaglianza e disuguaglianza. F è
la funzione di valutazione che mappa i punti dello spazio �n delle variabili di decisione
x = (x1. . . , xn) nei punti dello spazio �m delle funzioni obiettivo. Come detto in
prece-denza l’esistenza di un ottimo globale per un problema di ottimizzazione multi-obiettivo è assai improbabile: questo significa che non esiste una combinazioni di valori delle variabili di decisione che minimizza contemporaneamente tutte le componenti del vettore F . Le so-luzioni di un problema di ottimizzazione multi-obiettivo sono solitamente infinite, e i punti corrispondenti nello spazio delle funzioni obiettivo rappresentano i migliori compromessi possibili tra gli obiettivi in contrasto.
Il modo più semplice per trattare un problema del tipo definito nella 3.3 è di combinare linearmente le funzioni obiettivo del vettore F (x) in una sola in modo da ottenere un solo criterio di scelta e ridurre il problema ad un’ottimizzazione mono-obiettivo. Pertanto, se
f1(x)e f2(x)sono le due funzioni obiettivo scelte (F (x) = (f1(x), f2(x))), si costruisce una
nuova funzione obiettivo (complessiva) da ottimizzare definita come:
f (x) = α1· f1(x) + α2· f2(x) dove α1+ α2 = 1 (3.4)
α1 e α2 sono coefficienti costanti il cui valore indica l’importanza (peso) relativa di una
funzione obiettivo rispetto all’altra. Questo approccio permette di trovare una sola solu-zione di un problema di ottimizzasolu-zione multi-obiettivo per una singola coppia di valori dei
pesi α1 e α2. Al variare dei valori di α1 e α2 si possono determinare più soluzioni che
3.2 Problemi di ottimizzazione 81 l’approccio multi-obiettivo usa il concetto di dominanza di Pareto per individuare il com-promesso ottimo tra gli obiettivi considerati. L’ottimalità di Pareto [13] è il concetto chiave per stabilire una gerarchia tra le soluzioni di un problema di ottimizzazione multi-obiettivo, con lo scopo di determinare se una soluzione rappresenti o meno uno dei compromessi
ot-timi. La dominanza di Pareto dice che un vettore u = (u1, . . . , um) nello spazio �m delle
funzioni obiettivo domina v = (v1, . . . , vm)se e solo se tutte le componenti di u sono minori
o uguali delle componenti di v e almeno una componente di u è strettamente minore della corrispondente componente di v, ovvero:
uj ≤ vj per j = 1, . . . , m
uk< vk per almeno un k ∈ (1, . . . , m)
Quindi una soluzione x = (x1, . . . , xn) di un problema di ottimizzazione multi-
obiet-tivo viene detta ottima nel senso di Pareto rispetto all’interno spazio Rn delle
variabi-li di decisione se e solo se non esiste un’altra soluzione x∗ = (x∗1, . . . , x∗n) per la quale
F (x∗) = (f1(x∗), . . . , fm(x∗)) domini F (x) = (f1(x), . . . , fm(x)). L’insieme dei vettori
corrispondente all’insieme delle soluzioni ottimali di Pareto nello spazio Rm delle funzioni obiettivo è detto fronte di Pareto.
La determinazione del fronte di Pareto permette di individuare tutte le soluzioni che sono egualmente ottime per tutti gli obiettivi del vettore F (x) e quindi permette di operare una scelta in funzione del peso che si intende dare ad ogni obiettivo.
Si può, quindi, facilmente capire come la prima metodologia (espressa nella 3.4) sia insita nel metodo di Pareto, in quanto il fronte di Pareto esprime il valore delle funzioni
obbiet-tivo al variare dei diversi pesi (nel esempio precedente α1 e α2).
Un modo per approssimare il fronte di Pareto, infatti, è quello di discretizzarlo svolgendo n ottimizzazioni della funzione in (pb:bioob) con n differenti combinazioni dei parametri
α1 e α2. Ovviamente maggiore sarà il numero n più il fronte di Pareto discretizzato si
avvicinerà alla soluzione continua.
Figura 3.2: Fronte di Pareto
Si consideri ad esempio i risultati dell’ottimizzazione bi-obiettivo di un sistema ener-getico visibili in figura 3.2. Il primo obiettivo, economico, è la minimizzazione dei flussi di costo legati ad investimenti, manutenzione e consumo di combustibile; il secondo, presta-zionale, è la massimizzazione il rendimento termico. La soluzione in azzurro corrisponde al minimo flusso di costo, mentre la soluzione in arancio indica il massimo rendimento
82 Ottimizzazione della configurazione e del funzionamento di un Macro-Sistema termico del sistema.
Tutte le soluzioni intermedie, che non verrebbero prese in considerazione in ottimizzazioni mono-obiettivo (economico o prestazionale), costituiscono il fronte di Pareto e sono pari-menti ottime rispetto ad entrambi gli obiettivi e potrebbero essere importanti nel processo di decisione. Come detto poc’anzi il fronte di Pareto è ottenibile anche utilizzando un
approccio mono-obiettivo, in cui ciascun coefficiente α1 e α2 è fatto variare tra 0 e 1. Ad
esempio la soluzione intermedia indicata in verde corrisponde all’aver assegnato un peso
α1 = 0,4 alla funzione obiettivo economica f1(x) e un peso α2 = 0,6 alla funzione
obiet-tivo prestazionale f2(x). Si noti che l’andamento del fronte di Pareto è piuttosto piatto
nella zona vicina all’ottimo economico, questo significa che per un modesto incremento del flusso di costo si può ottenere un grosso incremento del rendimento termico. Questa è una soluzione che può risultare conveniente e che non verrebbe presa in considerazione se si fosse fatta un’ottimizzazione con solo obiettivo economico.