Unità di trasformazione

Per descrivere il comportamento di tutte le diverse tipologie di unità di trasformazione si analizza la modellazione di una generica unità rappresentata in figura 2.7.

Questa genrica unità presenta n flussi in ingresso e m flussi in uscita. I flussi in ingresso

sono i dentificati con il simbolo Ai,in con i = 1, . . . , n, in cui A rappresenta la generica

CATEGORIA (vedi par. 1.2) del flusso in ingresso. Gli n flussi in ingresso mediante il processo di trasformazione che ha luogo all’interno dell’untà sono convertiti negli m flussi

2.4 Modellazione delle unità del sistema di conversione e delle interazioni tra unità 45

Unità di

trasformazione

π

A

A

A

B

B

B

Figura 2.7: Generica unità di trasformazione con n flussi in ingresso e m flussi in uscita

CATEGORIA di flussi in uscita.

Il flusso identificato dal simbolo πp individua il flusso di perdita per l’unità. Inoltre si

identifica con Ma e U rispettivamente la massa e l’energia contenute all’interno dell’unità. In definitiva si può dire che l’unità intergisce con k flussi con k = n + m e con un flusso di perdita.

Numero e Tipologia di relazioni matematiche

La modellazione di ogni unità di trasformazione comporta le definizione delle seguenti tipologie e numero di equazioni:

• Un bilancio dei Flussi: esso rappresenterà un bilancio di massa nei casi in cui i flussi identifichino dei flussi di massa, oppure un bilancio di energia se viceversa i flussi sono flussi di energia. Nel caso in cui l’unità interagisca sia con flussi di energia che con flussi di massa saranno richiesti entrambi i bilanci.

• (k-1) Mappe caratteristiche: che descrivono i rapporti tra i diversi flussi connessi all’unità, il motivo per cui sono necessarie (k-1) sarà discusso nel paragrafo 2.5. • Equazioni e disequazioni ausiliarie: necessarie per esprimere vincoli, range di

esiste-naza, o altri aspetti che caratterizzano l’unità di trasformazione e il suo funziona-mento.

Nel seguito si analizzeranno come possono essere espressi le diverse tipologie di

equa-zioni per la generica unità. Per far questo si introducono i simboli ˙mai,in e ˙mbj,out che

identificano rispettivamente l’i-esimo flusso di massa in ingresso all’unità e il j-esimo flusso in uscita dall’unità. Si suppone che i flussi di massa in ingresso, come per i flussi di energia, sono n, per cui i = 1, . . . , n e i flussi in uscita m, cioè j = 1, . . . , m. Inoltre si introduce il

flusso πm che rappresente il generico flusso di perdità di massa.

Bilancio dei Flussi

Nella gran parte delle trattazione, come visto nel capitolo 1, si utilizzeranno flussi di energia. Per questo motivo quasi tutti i Bilanci di Flussi identificheranno principalmente dei bilanci di energia. Per completezza si vuole comunque evidenziare e descrivere sia i bilanci di massa che i bilanci di energia.

46 Modellazione di Macro-Sistemi Bilancio di massa: n � i ˙ mi,in(t)− m � j ˙ mj,out(t)− πm(t) = ^{dM a(t)} dt (2.16)

Tale bilancio dice che la variazione della massa contenuta all’interno del componete è pari alla sommatoria dei flussi di massa entranti sottratti dal termine relativo alla sommatoria dei flussi di massa uscenti e del termine relativo alle perdite. In realtà la gran parte delle unità di trasformazione non prevede la possibilità di accumulo di massa, motivo per cui il secondo termine della 2.16 è spesso considerato pari a zero. In definitiva il bilancio di massa dell’unità può essere espresso dalla:

n � i ˙ m_i,in(t)− m � j ˙ m_j,out(t)− πm(t) = 0 (2.17)

In definitiva quindi il bilancio prevede che la portata di massa totale che entra in unità del sistema sia pari alla portata di massa che esce sommata alla massa persa. I fenomeni di perdita di massa sono fenomeni molto rari negli impianti energetici, poiché le eventuali perdite vengono compensate tramite dei sistemi di reintegro. Si pensi ad esempio al de-gasatore di un impianto a vapore, in esso parte del vapore è perso in relazione alla fase di espulsione dei gas incondensabili. La portata persa però viene reimmessa grazie ad un sistema di reintegro in modo che all’interno dell’impianto circoli sempre la stessa portata. I bilanci di massa verranno considerati esclusivamente quando nel sistema ci sia la trasfor-mazione di flussi di massa. Per le masse associate ai flussi di energia il bilancio massivo viene assunto verificato a priori.

Bilancio di energia: n � i Ai,in(t)− m � j Bj,out(t)− πp(t) = ^{dU (t)} dt (2.18)

L’espressione del bilancio uguaglia la variazione dell’energia interna di un componente alla differenza tra i flussi di energia entranti e quelli uscenti a cui viene sottratto il termine relativo alle potenze perse. Tale bilancio deriva direttamente del primo principio della termodinamica.

La variazione dell’energia interna in un’unità di trasformazione è solitamente associata all’inerzia che tale componente può presentare. Tale fenomeno si presenta soprattutto nelle fasi di avvio, spegnimento dell’unità o in presenza di variazioni di carico. In questa analisi, comunque, la variazione di energia interna sarà omessa, poiché solitamente essa presenta un valore relativamente piccolo se confrontato con le altre potenze in gioco, ma soprattutto con l’ampiezza degli intervalli di tempo considerati. In definitiva il bilancio di energia per un componete si riduce a porre l’uguaglianza tra l’energia che entra nell’unità e quella che esce, distinta in energia utile e perdite.

n � i A_i,in(t)− m � j B_j,out(t)− πp(t) = 0 (2.19)

I bilanci di energia, ma lo stesso discorso vale per i bilanci di massa, assumono signifi-cato esclusivamente nel caso in cui si esprimano tutti i flussi che interagiscono con l’unità.

2.4 Modellazione delle unità del sistema di conversione e delle interazioni tra unità 47 Nel caso in cui a seguito di semplificazioni o assunzione si posso trascurare dall’analisi alcuni flussi tali bilanci perdono di significato.

Mappe caratteristiche

Le mappe caratteristiche saranno analizzate più nel dettaglio nel paragrafo successivo. Per ora ci si limiterà a definirle e ad osservare la loro importanza all’interno della modellazio-ne. Esse rappresentano le relazioni matematiche, in molti casi espresse in forma grafica o tabulare, che definiscono i reciproci legami trai diversi flussi. Le tipologie di mappe carat-teristiche possono essere molto varie, poiché sono molteplici le possibili combinazione trai flussi che interagiscono con un componente. Più frequentemente nella pratica ingegneri-stica s’incontrano mappe che mettono in relazione un input con un output, e che quindi definisco il rendimento di conversione. Si possono avere anche mappe che relazionano un input con due output o il rapporto di due input con un output.

Una genrica mappa caratteristica può essere espressa nella forma:

Ai,in(t) = f (B1,out(t), . . . , Bm,out(t), c.c) (2.20)

In cui i flussi sono quelli descritti in figura 2.7, mentre l’acronimo c.c rappresenta le condi-zioni al contorno e cioè tutti quelli aspetti che modificano l’andamento della mappa. Essa

mette in relazione il generico flusso Ai,in con i flussi in uscita.

Tali relazioni sono fondamentali nella fasi di analisi e simulazione in quanto permetto di ricavare, una volta note le variabili dei flussi in ingresso, gli output o viceversa. Le map-pe caratteristiche descrivono il funzionamento dell’unità ai diversi valori delle variabili di flusso.

Equazioni ausiliarie

Le equazioni ausiliarie comprendono un set di relazioni di diversa tipologia. La composi-zione e la gamma di equacomposi-zione sono fortemente influenzate dal grado di dettaglio scelto e dal tipo di analisi a cui si vuol sottoporre il sistema; è perciò difficile quantificare il numero di equazione ausiliarie che ogni unità di trasformazione presenta. In questa categoria si possono far ricadere tutte le relazioni matematiche che sono utili a descrivere il compor-tamento dell’unità o alcuni aspetti a cui essa è collegata e che non ricadono nei tipi di equazioni viste in precedenza. Ad esempio si hanno equazioni che esprimono:

• Il campo di esistenza dei flussi. In questo caso si tratta in particolar modo di di-sequazioni che vincolano il flusso ad assumere degli specifici valori compresi tra un valore massimo e un valore minimo. Le relazioni saranno del tipo 2.7 espresse nel paragrafo 2.2

• Relazioni tra parametri di stato. Queste relazioni caratterizzano gradi di dettaglio superiori a quelli utilizzati in questa trattazione. In generale, comunque, tali rela-zioni possono descrivere vari aspetti che riguardano l’andamento dei parametri di stato. Ad esempio descrivere le correlazioni che esistono tra i parametri di stato nelle trasformazioni (legge dei gas ideali, processi sui gas ideali, equazione di bernulli), ma anche i vincoli a cui tali parametri possono essere soggetti (vincoli sulla temperatura o sulla pressione).

• Particolari aspetti o operazioni. Sono delle relazioni supplementari che servono a de-scrivere aspetti particolari dell’unità. Tipici esempi sono le equazioni per conteggiare le accensioni e gli spegnimenti della caldaia, le relazioni per descrivere particolari

48 Modellazione di Macro-Sistemi vincoli sul funzionamento ad esempio rampe di carico, o il minimo tempo che deve intercorrere tra lo spegnimento e l’accensione dell’unita, ecc.

Nel seguito si analizzerà un particolare aspetto che verrà spesso incontrato nell’analisi. Rampe di carico

La rampa di carico pone un vincolo sulla massima variazione che un flusso di energia può avere in uno specifico intervallo di tempo. In formula:

∂A_{P i}(t)

∂t ≤ ∆AP i,max (2.21)

Dove AP i è il generico flusso di energia che interagisce con la generica unità Pi, e

∆A_{P i,max}è la massima variazione di carico permessa allunità Pi. Questo vincolo deriva dal

fatto che variazioni di carico dei Sistemi troppo rapide possono comportare rotture dovute agli eccessivi stress termici e quindi meccanici alle strutture che lo compongono. Queste massime variazioni di carico sono più ampie (cioè può variare il carico velocemente) per unità che identificano turbine a gas, motori a combustione interna, impianti idroelettrici, boiler mentre sono più modeste (cioè può variare il carico lentamente) per impianti a vapore. Questo concetto può essere facilmente chiarito con un semplice esempio facendo riferimento alla 2.8 (per semplicità la variabile tempo viene discretizzata in intervalli finiti

∆tdi un’ora). t+4 0 t t+1 t+2 t+3 10 5 6 7 8 9 t [h] E_P e, o u t [M W ] E_Pe,max

Figura 2.8: Soluzioni possibili e non possibili infunzione della massima rampa di variazione di carico

Si consideri un unità Pe per la produzione di energia elettrica con potenza nominale

E_{P e,max} di 10 [MW]. Si impone una massima rampa di variazione del carico in un intervallo

di tempo ∆t pari a ∆EP e,max = 1 [MW/h]. All’istante corrente t l’unità produce un

flusso di energia EP e,out(t)pari a 9 [MW]. Nell’intervallo successivo si decide di diminuire

E_{P e,out}(t)fino a un valore di 8 [MW] all’istante t + 1. Così, dal momento che la rampa di

carico max è di ∆EP e,max = 1 [MW/h], nell’istante t + 2 sarà impossibile che la EP e,out(t)

sia pari a 10 [MW], escludendo di conseguenza anche tutte le soluzioni che contemplato il raggiungimento della potenza di 10 [MW] all’istante t + 2 (andamenti in rosso in Fig. 2.8). I vincoli sulla massima variazione di carico del tipo legano ciascun istante di tempo al successivo e, quindi, la presenza di vincoli sulla massima rampa di variazione di carico rende dinamico il modello del sistema.

2.5 Definizione delle mappe caratteristiche 49