Parametri di valutazione del sistema

Il coefficiente di prestazione della pompa di calore e il rendimento del ciclo ORC vengono rispettivamente calcolati come:

𝐶𝑂𝑃_𝐻𝑃 = 𝑄𝑠𝑡 𝐿_{𝑐𝑜𝑚𝑝} = 𝑄𝑠𝑡 𝑄_𝑠𝑡− 𝑄_𝑠 e 𝜂_𝑂𝑅𝐶 =𝐿𝑛𝑒𝑡,𝑂𝑅𝐶 𝑄_𝑂𝑅𝐶 = 𝑄𝑂𝑅𝐶− 𝑄𝑎𝑚𝑏 𝑄_𝑂𝑅𝐶 dove:

• 𝑄_𝑠𝑡 in [𝑘𝐽] indica il calore accumulato;

• 𝐿_{𝑐𝑜𝑚𝑝} in [𝑘𝐽] indica il lavoro richiesto dal compressore;

• 𝑄_𝑠 in [𝑘𝐽] indica il calore della sorgente termica assorbito nell’evaporatore della pompa di calore;

• 𝐿𝑛𝑒𝑡 in [𝑘𝐽] indica il lavoro netto estratto dall’ORC;

• 𝑄_𝑂𝑅𝐶 in [𝑘𝐽] indica il calore introdotto nell’evaporatore dell’ORC;

• 𝑄_𝑎𝑚𝑏 in [𝑘𝐽] indica il calore scambiato con l’aria ambiente durante il raffreddamento nell’ORC.

Nel caso di cicli ideali di Carnot, inverso e rispettivamente per la pompa di calore e per il ciclo ORC, gli indici di prestazione diventano:

73 𝐶𝑂𝑃𝐻𝑃,𝑖𝑑= 𝑇_𝑠𝑡 𝑇𝑠𝑡− 𝑇𝑠 𝜂𝑂𝑅𝐶,𝑖𝑑 = 𝑇𝑠𝑡− 𝑇𝑎𝑚𝑏 𝑇𝑠𝑡 = 1 −𝑇𝑎𝑚𝑏 𝑇𝑠𝑡 dove:

• 𝑇_𝑠𝑡 in [°𝐶] indica la temperatura del serbatoio di accumulo, considerato termostato ideale;

• 𝑇_𝑠 in [°𝐶] indica la temperatura della sorgente termica utilizzata nell’evaporatore della pompa di calore, considerata termostato ideale;

• 𝑇_𝑎𝑚𝑏 in [°𝐶] indica la temperatura dell’aria ambiente.

Il ciclo di Carnot, oltre a considerare ideali le trasformazioni, prevede che le sorgenti fra le cui esso si realizza siano a temperatura costante, cosa che ovviamente non accade nella realtà. Nel caso della pompa di calore, la sorgente calda a temperatura 𝑇_𝑠𝑡 è costituita dal serbatoio di accumulo, mentre la sorgente fredda a temperatura 𝑇_𝑠 è costituita dalla fonte di recupero termico; è evidente, quindi, il perché conviene, a parità di effetto utile visto come temperatura 𝑇𝑠𝑡, utilizzare una 𝑇𝑠 maggiore della temperatura ambiente 𝑇𝑎𝑚𝑏, 𝑇_𝑠 > 𝑇_𝑎𝑚𝑏: la differenza fra 𝑇_𝑠𝑡 e 𝑇_𝑠 diminuisce all’aumentare di quest’ultima, ovvero diminuisce il denominatore, portando, quindi, ad un aumento delle prestazioni della pompa di calore. Per il medesimo motivo, le prestazioni della pompa di calore aumentano, una volta fissata la 𝑇_𝑠, al diminuire della 𝑇_𝑠𝑡. Nella realtà, è impossibile usare termostati ideali, ovvero sorgenti e pozzi di scambio che mantengono invariata la propria temperatura, ed inoltre le temperature massima e minima fra cui si realizza il ciclo sono differenti da quelle di sorgente e pozzo, limitate, ad esempio, dal pinch-point imposto negli scambiatori di calore. Un modo per mantenersi vicini alle condizioni di idealità sarebbe quello di utilizzare sorgenti come il terreno o sorgenti con cui scambiare calore latente. Il discorso non perde in ogni caso di validità, poiché il miglioramento avviene effettivamente, in quanto, al diminuire della temperature lift della pompa di calore aumentano le sue prestazioni. Se la sorgente fredda, da cui viene prelevato il calore, compie un salto di temperatura fra un valore massimo 𝑇𝑠,𝑚𝑎𝑥 e minimo 𝑇𝑠,𝑚𝑖𝑛, ipotizzando un certo pinch-point nell’evaporatore pari a ∆𝑇𝑃𝑃, si ha che la temperatura di evaporazione, ovvero la minima temperatura raggiunta dalla pompa di calore, è pari a:

𝑇_{𝐻𝑃,𝑚𝑖𝑛} = 𝑇_{𝑠,𝑚𝑖𝑛}− ∆𝑇_𝑃𝑃

Quindi, il valore che effettivamente influenza le performance della pompa di calore, fissata la temperatura dello storage, è la temperatura minima 𝑇𝑠,𝑚𝑖𝑛 raggiunta dalla sorgente fredda durante lo scambio termico.

Per quanto riguarda il ciclo ORC è evidente che, essendo la temperatura del fluido di raffreddamento al condensatore imposta, nel caso di condensatore ad aria, dall’ambiente, ciò che ne influenza le prestazioni è la temperatura del vettore di accumulo. In particolare,

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maggiore sarà il suo valore, tanto maggiore sarà l’area del ciclo, ovvero tanto maggiore sarà il lavoro estraibile dall’espansore.

È lecito ipotizzare come unitario, vale a dire la condizione di serbatoio perfettamente isolato, il rendimento 𝜂𝑠𝑡 dello storage, in quanto esso raggiunge, anche nella realtà, valori elevati; si può considerare quindi il calore 𝑄_𝑠𝑡 accumulato prossimo a quello 𝑄_𝑂𝑅𝐶 somministrato all’evaporatore del ciclo ORC:

𝜂_𝑠𝑡 =𝑄𝑂𝑅𝐶

𝑄_𝑠𝑡 ≅ 1 → 𝑄𝑂𝑅𝐶 ≅ 𝑄𝑠𝑡

Il calore ceduto al serbatoio di accumulo dalla pompa di calore è stimabile come: 𝑄_𝑠𝑡 = 𝑚̇_{𝑟𝑒𝑓,𝐻𝑃}∆ℎ_{𝑐𝑜𝑛𝑑,𝐻𝑃}𝜏_{𝑐ℎ𝑎𝑟𝑔𝑒}

dove:

• 𝑚̇𝑟𝑒𝑓,𝐻𝑃 in [ 𝑘𝑔

𝑠 ] indica la portata di fluido operativo circolante nella pompa di calore;

• ∆ℎ𝑐𝑜𝑛𝑑,𝐻𝑃 in [ 𝑘𝐽

𝑘𝑔] indica la variazione di entalpia subita dal fluido refrigerante fra ingresso e uscita dal condensatore;

• 𝜏_{𝑐ℎ𝑎𝑟𝑔𝑒} in [𝑠] indica il tempo di carica del serbatoio di accumulo, ovvero di funzionamento della pompa di calore.

si può inoltre legare tale valore alla dimensione del serbatoio di accumulo, una volta stabilito il fluido termovettore, secondo la formula:

𝑄𝑠𝑡 = 𝜌𝑠𝑡𝑐𝑝,𝑠𝑡𝑉𝑠𝑡∆𝑇𝑠𝑡 dove: • 𝜌𝑠𝑡 in [ 𝑘𝑔 𝑚3] e 𝑐𝑝,𝑠𝑡 in [ 𝑘𝐽

𝑘𝑔𝐾] indicano la densità del fluido e il calore specifico a pressione costante del fluido termovettore utilizzato per l’accumulo;

• 𝑉_𝑠𝑡 in [𝑚3] indica il volume del serbatoio di accumulo;

• ∆𝑇_𝑠𝑡 in [°𝐶] indica il salto di temperatura che il fluido termovettore compie fra ingresso e uscita dal condensatore della pompa di calore.

Per il calcolo della potenza assorbita dal compressore si può usare la formula: 𝑊_{𝑐𝑜𝑚𝑝} = 𝑚̇_{𝑟𝑒𝑓,𝐻𝑃}∆ℎ_{𝑖𝑠,𝑐𝑜𝑚𝑝}𝜂_{𝑖𝑠,𝑐𝑜𝑚𝑝}

dove:

• 𝑊𝑐𝑜𝑚𝑝 in [𝑘𝑊] indica la potenza al compressore; • 𝑚̇𝑟𝑒𝑓,𝐻𝑃 in [

𝑘𝑔

𝑠 ] indica la portata di fluido operativo circolante nella pompa di calore;

75 • ∆ℎ_{𝑖𝑠,𝑐𝑜𝑚𝑝} in [𝑘𝐽

𝑘𝑔] indica la variazione di entalpia specifica nella trasformazione isoentropica;

• 𝜂𝑖𝑠,𝑐𝑜𝑚𝑝 indica il rendimento isoentropico di compressione. La potenza netta estraibile durante la fase di scarica è pari a:

𝑊_{𝑛𝑒𝑡,𝑂𝑅𝐶} = 𝑊_𝑒𝑠𝑝− 𝑊_𝑓𝑎𝑛− 𝑊_{𝑝𝑢𝑚𝑝} dove:

• 𝑊_𝑒𝑠𝑝 indica la potenza estratta dall’espansore;

• 𝑊_𝑓𝑎𝑛 indica la potenza assorbita dal sistema di ventilazione del condensatore ad aria;

• 𝑊𝑝𝑢𝑚𝑝 indica la potenza assorbita dalla pompa.

Per stimare la potenza estraibile dall’espansore si può utilizzare la formula: 𝑊_𝑒𝑠𝑝 = 𝑚̇_{𝑟𝑒𝑓,𝑂𝑅𝐶}∆ℎ_{𝑖𝑠,𝑒𝑠𝑝}𝜂_𝑡𝑜𝑡

dove:

• 𝑊𝑒𝑠𝑝 in [𝑘𝑊] indica la potenza dall’espansore; • 𝑚̇𝑟𝑒𝑓,𝑂𝑅𝐶 in [

𝑘𝑔

𝑠 ] indica la porta massica di fluido elaborato, esprimibile anche come prodotto fra la densità del fluido 𝜌 e la portata volumetrica 𝑉̇;

• ∆ℎ𝑖𝑠,𝑒𝑠𝑝 in [ 𝑘𝐽

𝑘𝑔] indica la variazione di entalpia specifica nella trasformazione isoentropica;

• 𝜂_𝑡𝑜𝑡 = 𝜂_{𝑖𝑠,𝑒𝑠𝑝}𝜂_𝑒𝑙𝜂_{𝑚𝑒𝑐𝑐} ingloba il rendimento isoentropico di espansione 𝜂_{𝑖𝑠,𝑒𝑠𝑝}, quello elettrico 𝜂𝑒𝑙 e quello meccanico 𝜂𝑚𝑒𝑐𝑐; impiegando un espansore volumetrico valori plausibili del rendimento elettrico e meccanico sono rispettivamente 0,95 e 0,9.

La potenza assorbita dal sistema di ventilazione può essere calcolata come: 𝑊𝑓𝑎𝑛 =

𝑉̇ ∙ ∆𝑃_𝑡𝑜𝑡 𝜂𝑓𝑎𝑛 dove:

• 𝑊_𝑓𝑎𝑛 in [𝑘𝑊] indica la potenza assorbita dal sistema di ventilazione; • 𝑉̇ in [𝑚3

𝑠 ] indica la portata volumetrica di aria, calcolabile come prodotto fra la densità standard dell’aria 𝜌_𝑎𝑖𝑟 e la portata massica standard 𝑚̇_𝑎𝑖𝑟;

• ∆𝑃_𝑡𝑜𝑡 in [𝑃𝑎] indica le perdite di carico a cavallo del ventilatore e tiene conto della caduta di pressione statica, dinamica e di altre perdite;

• 𝜂_𝑓𝑎𝑛 indica l’efficienza del ventilatore, che può avere plausibilmente un valore di 0,6.

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Per la potenza assorbita dalla pompa si può usare la formula: 𝑊_{𝑝𝑢𝑚𝑝} = 𝑚̇_𝑟𝑒𝑓∆ℎ_{𝑖𝑠,𝑝𝑢𝑚𝑝}𝜂_{𝑖𝑠,𝑝𝑢𝑚𝑝} dove:

• 𝑊𝑝𝑢𝑚𝑝 in [𝑘𝑊] indica la potenza assorbita dalla pompa; • ∆ℎ𝑖𝑠,𝑝𝑢𝑚𝑝 in [

𝑘𝐽

𝑘𝑔] indica il salto entalpico associato alla trasformazione isoentropica;

• 𝜂_{𝑖𝑠,𝑝𝑢𝑚𝑝} indica il rendimento isoentropico della pompa.

Una volta imposte la temperatura minima raggiunta dalla sorgente di recupero termico, la potenza termica da essa estraibile, e le condizioni ambiente, si dovranno valutare le condizioni ottimali di funzionamento dell’intero sistema, scegliendo quindi la temperatura del vettore di accumulo come compromesso fra rendimento del ciclo ORC e prestazione della pompa di calore.

Il parametro fondamentale per valutare le prestazioni dell’intero sistema in esame è il rendimento di round-trip, che costituisce uno dei principali termini di paragone fra i sistemi di accumulo. Esso è stimabile come:

𝜂_{𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑−𝑡𝑟𝑖𝑝} =𝐿𝑛𝑒𝑡,𝑂𝑅𝐶 𝐿_{𝑐𝑜𝑚𝑝} = ∫ 𝑊𝑛𝑒𝑡,𝑂𝑅𝐶𝑑𝑡 𝜏𝑑𝑖𝑠𝑐ℎ𝑎𝑟𝑔𝑒 0 ∫𝜏𝑐ℎ𝑎𝑟𝑔𝑒𝑊_{𝑐𝑜𝑚𝑝} 0 𝑑𝑡 = 𝜂_𝑠𝑡𝜂_𝑂𝑅𝐶𝐶𝑂𝑃_𝐻𝑃 Nel caso di cicli ideali si può riscrivere il rendimento di round-trip come:

𝜂_{𝑟𝑡,𝑖𝑑} = 𝜂_𝑠𝑡𝜂_𝑂𝑅𝐶𝐶𝑂𝑃_𝐻𝑃 = 𝜂_𝑠𝑡 𝑇𝑠𝑡 𝑇𝑠𝑡− 𝑇𝑠 𝑇𝑠𝑡− 𝑇𝑎𝑚𝑏 𝑇𝑠𝑡 = 𝜂_𝑠𝑡(𝑇𝑠𝑡− 𝑇𝑎𝑚𝑏 𝑇𝑠𝑡− 𝑇𝑠 )

e può, quindi, verificarsi che il suo valore sia superiore all’unità; questo accade quando: 𝑇𝑠 > 𝑇𝑠𝑡(1 − 𝜂𝑠𝑡) + 𝜂𝑠𝑡𝑇𝑎𝑚𝑏

Un valore di rendimento elettrico superiore all’unità è possibile in quanto l’efficienza di round-trip non tiene conto, per come è definita, dell’energia termica prelevata dalla sorgente di recupero, ma solo dell’energia elettrica assorbita dal compressore della pompa di calore. Se, infatti, si volesse tenere effettivamente conto degli input termici ed elettrici dell’intero sistema, sarebbe opportuno definire un rendimento globale (il cui valore è, ovviamente, sempre inferiore all’unità):

𝜂𝑡𝑜𝑡 =

𝐿_𝑂𝑅𝐶 − 𝐿_𝐻𝑃 𝑄𝑠

=𝜂𝑠𝑡𝜂ℎ𝑒𝐶𝑂𝑃 − 1 𝐶𝑂𝑃 − 1 ovvero nel caso ideale:

𝜂𝑡𝑜𝑡,𝑖𝑑 = 1 −

𝑇_𝑠𝑡(1 − 𝜂_𝑠𝑡) + 𝑇_𝑎𝑚𝑏𝜂_𝑠𝑡 𝑇𝑠

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