Peak Peaking Method

Il metodo basato sul dominio delle frequenze più conosciuto e più usato è il Peak Picking Method⁵ (PP), il quale assume che in vicinanza delle frequenze di risonanza la risposta è dominata dai modi di risonanza, di conseguenza, non ci sono contributi degli altri modi non in risonanza. La definizione di FRF, secondo l’equazione (11), può essere sostituita dall’equivalente equazione della funzione FRF di un sistema ad un singolo grado di libertà, rappresentata da:

𝐻 _𝑖,𝑗 𝜔 = _𝜔 ^{𝜑𝑖,𝑛𝜑𝑗 ,𝑛}

𝑛²−𝜔_𝑛 +𝑗 (2𝜉_𝑛𝜔_𝑛𝜔) (14)

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Le frequenze di risonanza ωn sono poi associate ai picchi in ampiezza della funzione FRF. Per la stima dello smorzamento, si usa il metodo Half-Power Bandwich. Il metodo è basato sul calcolo di frequenze vicine, dove il quadrato dell’ampiezza della FRF è uguale a metà del massimo valore:

𝐻 _𝑖,𝑗 (𝜔) ² = ¹

2 ^{𝐻 𝑖,𝑗 (𝜔𝑛)}

2

Usando la precedente definizione, il coefficiente di smorzamento ξn può essere approssimativamente calcolato nel seguente modo:

𝜉_𝑛 ≈^{𝜔2− 𝜔1} 2𝜔_𝑛

Nella figura 10 viene mostrate graficamente le procedure per calcolare il valore dei picchi per le frequenze di risonanza e dei coefficienti di smorzamento.

Figura 10 - Metodo Peak Picking [Caetano, 2000]: a) adattamento della funzione FRF con un grado di libertà; b) stima dello smorzamento usando il metodo Half Power Bandwidth.

Infine, i vettori delle forme modali si presume siano gli autovettori reali, i quali posso essere estratti considerando i valori dei picchi di una serie di FRF e secondo l’equazione (14), attraverso:

𝐻 _𝑖,𝑗 𝜔_𝑛 =^{𝜑𝑖,𝑛𝜑𝑗 ,𝑛} 2𝜉_𝑛𝜔_𝑛2

e calcolando i termini della prima diagonale, dove le funzioni FRF sono correlate con la misura degli input e degli output nella stessa posizione, gli auto componenti sono perciò ottenuto così:

𝜑_𝑖,𝑛 = 2𝜉_𝑛𝜔_𝑛2𝐻 _𝑖,𝑗 𝜔_𝑛 e 𝜑_{𝑗 ,𝑛} = ^{2𝜉𝑛𝜔𝑛2𝐻 𝑖,𝑗} 𝜔_𝑛 𝜑_𝑖,𝑛

La forma dei risultati del metodo PP sono molto sensibili al rumore e allo smorzamento strutturale, poiché la stima delle forme modali sono calcolate solo attraverso solo tre punti per ogni FRF. Altre fonti di errori sulla stima delle forme modali possono apparire quando le frequenze di risonanza sono in uno stretto intervallo, con il risultato di contaminazioni dei valori di risonanza, o quando le FRF sono molto acute e conseguentemente la stima dello smorzamento ha una bassa risoluzione.

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3.8 Tecniche di identificazione dinamica Output-Only

Le tecniche di identificazione modale output-only o ambient vibration test sono state sviluppate nel’ambito dell’ingegneria meccanica ed aerospaziale, ma hanno assunto molta importanza anche nelle opere dell’ingegneria civile, come ponti e grattacieli, nei quali l’eccitazione esterna e la determinazione delle forze applicate costituisce un problema. Le tecniche sono basate sulla misura della risposta dinamica di un sistema virtuale sotto condizioni di carico naturale (sia ambientale che operativo) e sull’assunzione che l’eccitazione esterna sia di natura casuale nel dominio del tempo e nello spazio fisico della struttura.

Figura 11 - Schema delle tecniche di identificazione outpu-only.

In questo tipo di tecniche di identificazione, l’ipotesi fondamentale sulle forze di eccitazione del sistema virtuale consiste nel considerare la sollecitazione ambientale uk come un processo stocastico di rumore bianco nell’intervallo delle frequenze d’interesse. A causa della natura dei dati acquisiti, la risposta yk include contributi modali delle forze ambientali, il contributo del

sistema strutturale e il contributo del rumore del segnale provenienti da fonti indesiderate. Inoltre, la risposta misurata evidenzia i picchi di ampiezza della funzione di densità spettrale, provenienti sia dal sistema strutturale sia dalla forze ambientali, di conseguenza le tecniche di identificazione output-only devono essere in grado di separare tali forme modali.

Le tecniche possono essere divise in due gruppi, in relazione al tipo di dati raccolti, che possono essere nel dominio delle frequenze o nel dominio del tempo. Il primo gruppo si base sull’analisi del segnale di ciascun punto di misurazione (nel dominio delle frequenze attraverso l’applicazione della FFT) e sulla correlazione tra i segnali; questo tecniche vengono chiamate metodi non parametrici. Il secondo gruppo su basa sulla calibrazione del modello attraverso funzioni di correlazione o serie temporali (time history), di ciascun punto, misurate nel dominio del tempo; tali tecniche sono dette metodi parametrici.

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Generalmente i metodi che sfruttano il dominio delle frequenze hanno processi di elaborazione dati più veloci e sono più semplici da utilizzare per gli utenti, rispetto ai metodi che si fondano nel dominio del tempo. Come svantaggio, però, i metodi nel dominio delle frequenze presentano maggiori difficoltà nell’identificare valori di frequenze vicine, poiché presentano dei limiti per quanto riguarda la risoluzione di frequenze vicine dovuti al processo di FFT.

Nella tabella 2 sono elencati i principali metodi di identificazione output-only⁶. Si può trarre la

conclusione che non esiste un unico metodo da usare nell’identificazione modale, infatti, ogni metodo offre accurati risultati quando applicato convenientemente, inoltre, ogni metodo presenta i propri vantaggi e le proprie limitazioni.

Metodo Caratteristiche D o min io d elle fre q u en ze

Peak Picking (PP) Classico metodo SDOF Frequency Domain

Decomposition

Metodo MDOF, applicazione della SVD per ridurre il rumore

Enhanced Frequency Domain Decomposition

Metodo MDOF, applicazione della SVD per ridurre il rumore

Polimax Metodo MDOF

D o min io d el tem p o ^{Random Decrement (RD)}

Opera su serie temporali, porta ad un libero decadimento della curva di analisi

Recussive Techniques (ARMA) ^{Modellazione delle serie temporali usando algoritmi} ricorsivi

Maximun Likelihood Methods ^{Metodo stocastico basato sulla minimizzazione della} matrice di covarianza

Stochastic Subspace Identification Methods

(SSI-DATA)

Metodo stocastico basato sul progetto del vettore di stato in relazione a vettori passati

Tabella 2 - Classificazione di alcuni dei più rilevanti algoritmi di classificazione output-only [Caetano, 2000].