2.3 Conservazione dell’energia e del momento nei processi non lineari
2.3.2 Il Phase matching
Abbiamo già accennato al fatto che il termine di phase mismatch,∆k è molto im- portante nella descrizione dei fenomeni non lineari [14] e una prima spiegazione di questo fatto è direttamente ricavabile dall’osservazione del sistema di equazioni che descrive l’accoppiamento dei campi (2.26): la quantità in questione compare in un esponenziale complesso
. . . · e−i∆kz (2.37)
la parte reale di questo termine risulta unitaria per ∆k= 0 oltre che per tutti i multipli di 2π/z tuttavia in questi ultimi casi il valore assunto dall’esponenziale diventa dipendente da z. Il fatto che si moltiplichi il termine di interazione per un valore inferiore ad 1 implica una peggiore efficienza del processo non lineare stesso indipendentemente dal coefficiente deffdel cristallo.
Per capire l’effetto che ha il fattore∆k sulle equazioni di campo dal punto di vista fisico, ipotizziamo di far interagire due fotoni identici di pulsazioneω in un cristallo non lineare a generare un fotone di energia doppia, ovvero alla pulsazione 2ω, secondo un processo detto di generazione di seconda armonica (par. 2.4.2). In questo processo il phase mismatch è∆k= k2ω− 2kω ovvero il numero d’onda
della frequenza fondamentale a cui si sottraggono quelli della seconda armonica. Riprendendo la modellizzazione del dipolo non lineare che investito dall’onda elettromagnetica della fondamentale oscilla generando in fase con questa la se- conda armonica, si può comprendere il phase mismatch valutando che, se l’onda emessa in un dato istante non è in fase con quelle generate in altri punti del cristal- lo, si ha interferenza distruttiva e quindi non si ha un significativo incremento nella generazione della pulsazione a 2ω(Fig2.3).
Appurato che si ha necessità di mantenere un legame di fase nel campo di seconda armonica generato a vari istanti, dobbiamo dire che ciò è possibile solo se la velocità della fondamentale è uguale a quella del fascio a frequenza doppia; questo fatto si traduce nella seguente relazione:
vω = c
nω = v2ω =
c n2ω
38 Capitolo 2. Richiami di ottica non lineare Dipolo 1 Dipolo 2 v ? v 2? v? v2 ? v2 ? Interferenza tra le onde
generate dai dipoli ad istanti diversi
z
Figura 2.3: Effetto del phase mismatch tra fotoni di seconda armonica generati ad istanti diversi. I vari fotoni di seconda armonica interferiscono distruttivamente.
che quindi determina, oltre al fatto che 2kω = k2ω, anche un’equivalenza degli
indici di rifrazione:
nω = n2ω (2.39)
Generalizzando al caso in cui si ottiene un’onda a pulsazioneω3 a partire da
due onde a frequenze più basse e diverse, occorre sottolineare come l’uguaglianza delle velocità debba verificarsi tra v3e la velocità della polarizzazione non lineare
ottenuta con la sovrapposizione degli effetti dei campiω1edω2, infatti dato che la
sorgente del terzo campo è∂2PNL/∂t2:
ei[ω3t−(k1+k2)z] e ei(ω3t−k3z) (2.40) le due velocità da considerare sono:
vPNL=
ω3
k1+ k2
e v3=ω3
k3 (2.41)
e, infatti, risultano uguali quando si raggiunge la condizione di phase matching, cioè∆k= 0.
Un ulteriore sviluppo consiste nell’estendere il concetto di phase matching a campi impulsati e quindi non più monocromatici, ma caratterizzati da bande in fre- quenza più o meno estese; in questo caso necessariamente non si è più in grado di soddisfare la condizione∆k= 0 per ogni frequenza spettrale e si incorre neces- sariamente in un mismatch che limita l’effetto non lineare rispetto a quanto ener- geticamente possibile. Si tratta in effetti di una condizione ulteriore rispetto alla
2.3. Conservazione dell’energia e del momento nei processi non lineari 39
conservazione dell’energia, ed in una visione particellare (fig. 2.2) è riconducibile alla conservazione della quantità di moto:
∆k= k3− k2− k1= 0 oppure k3= k2+ k1 (2.42)
I processi del secondo ordine risultano,quindi, possibili se viene soddisfatto il seguente sistema: ¯hω3 = ¯hω2+ ¯hω1 ¯hk3 = ¯hk2+ ¯hk1 (2.43)
ed è appunto questo sistema che permette di descrivere gli effetti non lineari su bande spettrali estese.
Cristalli anisotropi
In tutti i materiali ordinari si verifica una variazione dell’indice di rifrazione (detta dispersione normale ) in dipendenza dalla frequenza che, nell’intervallo spettra- le dall’ultravioletto al vicino infrarosso, risulta essere monotòna crescente all’au- mentare della frequenza. Riprendendo la prima equazione del sistema (2.43) e tenendo conto che, secondo l’ipotesi iniziale,ω1<ω2<ω3 risulta: n1< n2< n3.
Osservando la relazione necessaria per ottenere il phase matching deve risultare cheω3n3=ω1n1+ω2n2 da cui segue cheω1n3+ω2n3=ω1n1+ω2n2ed anche
ω1(n3− n1) =ω2(n2− n3). Quest’ultima relazione è impossibile da verificare in
un materiale isotropo in quanto i valori in parentesi sono uno positivo ed uno ne- gativo. Pertanto i fenomeni non lineari desritti sono realizzabili solo in materiali anisotropi, nei quali la dispersione dell’indice di rifrazione dipende anche dall’o- rientamento del fascio. In questi materiali il tensore di suscettività non è ricon- ducibile, per questioni di simmetria5 ad uno scalare; ciò comporta il fatto che il vettore di spostamento elettrico D dipenda, lungo un generico asse x, secondo una notazione tensoriale da:
Dx=ε0(εxxEx+εxyEy+εxzEz) (2.44)
5Anche il coefficiente d
effè descritto da una natura tensoriale dovuta alle caratteristiche di sim-
metria del mezzo. Nel caso di materiali anisotropi deffnon è riconducibile ad uno scalare e dipende
40 Capitolo 2. Richiami di ottica non lineare
Ma, trattandosi comunque di un tensore simmetrico è possibile trovare assi di rife- rimento secondo i quali esso si riduce ad una matrice diagonale ottenendo solo tre
coefficienti non nulli:
Px=ε0χxEx Py=ε0χyEy Pz=ε0χzEz (2.45)
Per un materiale isotropo si haχx=χy=χze quindi l’indice di rifrazione, definito come nj =
p
1+χj, risulta essere costante. In alcuni cristalli, per le diverse con- dizioni di simmetria lungo gli assi, si possono avere coefficienti diversi nelle varie direzionied in particolare:
• cristalli uniassici seχx=χy6=χz; l’indice di rifrazione secondo gli assi x e y che è lo stesso, è detto ordinario, l’asse z si definisce come asse ottico e l’indice corrispondente è detto straordinario; si possono, inoltre, distinguere due possibilità:
- cristalli uniassici positivi se l’indice di rifrazione lungo l’asse ottico, è maggiore di quello ordinario che si manifesta lungo gli altri due assi; - cristalli uniassici negativi in caso contrario (fig.2.4);
• cristalli biassici se ogni asse presenta un coefficiente diverso.
Considerando che nei cristalli anisotropi gli indici ordinario e straordinario possono differire anche sensibilmente (fig.2.4) si presenta la possibilità di risolve- re il sistema (2.43) individuando un opportuno angolo mediante il quale gli indici di rifrazione diversi consentono di verificare le condizioni poste.
Consideriamo il caso di un cristallo uniassico. Si può definire per questi materiali un ellissoide degli indici (fig. 2.5) descritto da:
x2 n2 o +y 2 n2 o +z 2 n2 e = 1 (2.46)
(indicando con nol’indice ordinario e con nel’indice straordinario) Il campo elet- trico propaga con un indice di rifrazione che dipende dalla direzione della polariz- zazione: se la polarizzazione è complanare al piano xy l’indice di rifrazione (in un cristallo uniassico) è ordinario, no; nel caso in cui la polarizzazione sia parallela
2.3. Conservazione dell’energia e del momento nei processi non lineari 41 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 I n d i ce d i r i f r a zi o n e Lunghezza d'onda ( m) Indice n o Indice n e
Figura 2.4: Indici di rifrazione ordinario e straordinario del BBO: si tratta di un cristallo uniassico negativo. Risulta evidente la dispersione normale.
Figura 2.5: Ellissoide degli indici per un cristallo uniassico: sezione dell’ellissoide degli indici per un cristallo uniassico con proiezione del campo elettrico sul piano ortogonale al vettore di propagazione per determinare l’indice di rifrazione straordinario.
all’asse ottico,cioè lungo la direzione straordinaria, l’indice risulta essere ne. Se invece la direzione di propagazione dell’onda porta il campo a non essere polariz-
42 Capitolo 2. Richiami di ottica non lineare
zato come nei due casi precedenti, si definisce l’indice di rifrazione straordinario ne(θ), scomponendo la direzione di E nelle componenti ordinaria e straordinaria, come: 1 n2 e(θ) =cos 2(θ) n2 o +sin 2(θ) n2 e (2.47) con θ che indica l’angolo tra direzione di propagazione k e asse ottico o equivalentemente tra polarizzazione del campo elettrico e la direzione ordinaria.
Ritornando alla equazione (2.43) individuando l’angolo opportuno tra la pola- rizzazione del campo elettrico e l’asse ottico è possibile soddisfare la condizione di phase matching; infatti sfruttando ad esempio l’indice di rifrazione straordinario di un cristallo uniassico negativo, che a parità diω risulta inferiore rispetto a quello ordinario, per il campo oscillante alla frequenza più elevata diventa possibile avere
∆k= 0, se i tre campi sono fatti propagare in una direzione che formi un angolo opportunoθcon l’asse ottico e con le polarizzazioni opportune.
Configurazioni
In base alla polarizzazione assunta dai tre campi si possono avere due tipi di configurazioni:
• Il phase matching collineare di tipo I, per un cristallo uniassico negativo, si ottiene facendp propagare il fascio caratterizzato dalla frequenza più elevata con l’indice straordinario ne(θ), ovvero lungo una direzione non complanare con gli assi ordinari a formare un angoloθ con l’asse ottico. In questo modo le onde a frequenze più basse mantengono la stessa direzione di propaga- zione ma sono polarizzate linearmente parallelamente al piano ordinario6ed ortogonalmente alla polarizzazione del campo con pulsazione aω3. Per un
cristallo uniassico positivo il fascio a frequenza più alta deve, invece, essere ordinario mentre gli altri due straordinari.
• Il phase matching collineare di tipo II, prevede che la polarizzazione di uno dei due campi a pulsazione inferiore sia parallela al campo somma. Per questa configurazione Le condizioni da verificare risultano più restrittive,
6Questa configurazione si dice ooe ovvero due onde che propagano lungo un asse ordinario si
2.3. Conservazione dell’energia e del momento nei processi non lineari 43
tanto che agendo su impulsi con bande spettrali estese la condizione di pha- se matching risulta adeguatamente soddisfatta su intervalli di frequenza più stretti.
La tabella2.1 elenca le varie configurazioni di phase matching possibili per i cri- stalli uniassici. Il parametro fondamentale per ottenere la relazione di fase voluta è l’angolo θ di ingresso al materiale; tipicamente i cristalli vengono tagliati in modo tale che l’incidenza normale su una lamina dello stesso coincida con una propagazione ad un angoloθprefissato.
Tipo Polarizzazione Cristallo Uniassico diω1ω2ω3
Tipo I ooe Negativo
Tipo II oee Negativo
Tipo II eoe Negativo
Tipo I eeo Positivo
Tipo II eoo Positivo
Tipo II oeo Positivo
Tabella 2.1:Elenco dei phase matching permessi per tipo di cristallo.
Nel caso di phase matching non collineare i fasci non propagano tutti nella stes- sa direzione e, pertanto, la notazione vettoriale atta ad esplicitare la conservazione del momento diventa fondamentale per poter esprimere le considerazioni sulle po- larizzazioni e sugli indici. In questo caso si possono ottenere migliori condizioni di accoppiamento per segnali a banda larga.
Più complicata risulta la trattazione delle possibili configurazioni nel caso di cristalli biassici dato che non si ha presenza di una simmetria che porti a sempli- ficare le proprietà geometriche dell’ellissoide: la direzione di propagazione viene quindi determinata da due angoli ϕ e θ, il primo rispetto all’asse x il secondo rispetto all’asse z.