Novecento (ma non solo). Di seguito, se ne dà riscontro e perché il succedersi delle voci elencate non
venga in uggia al lettore, lo s’invita a far tesoro di questo pensiero di Léon Brunschvicg:
Non ho timore di moltiplicare le citazioni; giacché i testi forniti dalla storia sono, per l’analisi dell’esprit, ciò che è un’esperienza di laboratorio nell’analisi della materia185.
1900 − Henri Poincaré, L’intuizione e la logica nelle matematiche (Compte Rendu du Deuxième Congrès International des Mathématiciens tenu à Paris du 6 au 12 août 1900)
L’intuizione non può darci né il rigore né la certezza: ce ne siamo accorti sempre di più […].
Crediamo che nei nostri ragionamenti non ricorriamo all’intuizione. La logica del tutto pura non ci condurrebbe che a delle tautologie; non potrebbe creare del nuovo; non può da essa sola scaturire alcuna scienza […].
Se un teorema è vero per il numero 1 e si dimostra che è vero per il numero n + 1, purché lo sia per sarà vero per tutti i numeri interi […]; è un vero giudizio sintetico a priori, il fondamento dell’induzione matematica rigorosa […]. Ho avuto l’occasione di studiare la natura del ragionamento matematico, e ho mostrato come tale ragionamento, senza cessare di essere assolutamente rigoroso, possa elevarci dal particolare al generale con un procedimento che ho chiamato induzione matematica 186.
Su Bachelard vs. empirismo logico Cfr. Sandra Pravica,“Scientific Philosophies” in the Early 1930s and Gaston Bachelard on “Induction”, in Conference Epistemology and History - From Bachelard and Canguilhem to Today’s History of Science, Max-Planck-Inst. für Wissenschaftsgeschichte, Berlin 2012, pp. 159-169.
183
P. Redondi, Epistemologia e storia della scienza. Le svolte teoriche da Duhem a Bachelard, cit., p.163.
184
G. Bachelard, La ricchezza inferenziale della fisica matematica, in Id., L’impegno razionalista, cit., pp.121-130; 122,127.
185
L. Brunschvicg, Physique et Métaphysique, in AA.VV., Septimana Spinozana, Nijhoff, La Haye 1933, pp.43-54; 52 [la tr. è ns.]
186
H. Poincaré, Du rôle de l’intuition et de la logique en mathématiques, in Compte Rendu du Deuxième Congrès International des Mathématiciens tenu à Paris du 6 au 12 août 1900, Gaüthier-Villars, Paris 1902, pp.115-130. Una parziale traduzione italiana si trova in C.F. Manara-G. Lucchini, Momenti del pensiero matematico, Mursia, Milano 1976, pp.224- 235. Rielaborato con il titolo di L’intuition et la logique en mathématique, questo contributo è presente con il titolo L’intuizione e la logica nelle matematiche in H. Poincaré, Il valore della scienza, tr. di F. Albergamo, a cura di G. Polizzi, La Nuova Italia, Firenze 1994, pp.11-26; 14; 17; 23.
Cfr. R. Zucchini, Il principio di induzione, epub, Mnamon 2017; R.Vidal, Étude historique et critique de methodes de demonstration en arithmetique, Thèse de doctorat en Philosophie 2005 Université Lyon III “Jean Moulin”, sous la direction de Daniel Parrochia; P. Guyot, La mise en place d’une nouvelle philosophie de la physique au 18e siècle, Thèse de doctorat
1902 − Henri Poincaré, La natura del ragionamento matematico (La scienza e l’ipotesi)
Qual è la natura del ragionamento matematico? È esso realmente deduttivo, come si crede ordinariamente? Un’analisi approfondita ci mostrerà che non lo è, che partecipa in una certa misura della natura del ragionamento induttivo; è perciò che esso è fecondo. Ma non perde, per questo, il suo carattere di rigore assoluto […]. Il ragionamento matematico ha per se stesso una specie di virtù creatrice e […] perciò si distingue dal sillogismo […]. I matematici procedono dunque «per costruzione», «costruiscono» combinazioni via via più complicate. Risalendo poi con l’analisi delle combinazioni o insiemi, per così dire, ai loro elementi primitivi, essi scorgono i rapporti degli elementi stessi e ne deducono i rapporti degli insiemi […].
Noi possiamo elevarci solo con l’induzione matematica, la quale soltanto può farci apprendere qualcosa di nuovo. Senza l’aiuto della induzione, differente per molti rispetti dall’induzione fisica, ma feconda quanto questa, la costruzione non potrebbe creare la scienza187.
1905 − Henri Poincaré, La matematica e la logica (Revue de Métaphysique et de Morale)
Ciò che innanzitutto ci colpisce, nella nuova matematica, è il suo carattere puramente formale […].
il «principio di induzione completa» mi sembrava tanto necessario alla matematica quanto irriducibile alla logica. Conosciamo l’enunciato di questo principio: «Se una proprietà è vera per il numero 1, e se si stabilisce che è vera per n + 1 purché lo sia per 1, sarà vera per tutti i numeri interi». Vi vedevo il ragionamento matematico per eccellenza. Non che volessi dire, come alcuni hanno creduto, che tutti i ragionamenti matematici possono essere ridotti ad una applicazione di questo principio. Esaminando questi ragionamenti un po’ da vicino, vi troveremmo applicati altri principi analoghi, che presentano le stesse caratteristiche essenziali. In questa categoria dei principi, quello dell’induzione completa è soltanto il più semplice, ed è per questo che l’ho scelto come modello. Il nome che ha prevalso, quello cioè di principio di induzione completa, non è però giustificato. Questo tipo di ragionamento non è altro che una vera e propria induzione matematica, che si distingue dalla comune induzione solo per il suo carattere di certezza188.
en Philosophie 2012 Université de Bourgogne, sous la direction de Gérard Chazal [cfr. in particolare: pp.162-186: 2.2 La méthode scientifique. 2.2.1 La méthode; le rôle de l’induction].
187
H.Poincaré, La scienza e l’ipotesi, tr. di F.Albergamo, La Nuova Italia, Firenze 1950, pp.8; 15; 25; 26. Scrive Poincaré: “Se noi apriamo un libro qualunque di matematica; a ciascuna pagina l’autore annuncia l’intenzione di generalizzare una proposizione già conosciuta. Il metodo matematico si può allora chiamare deduttivo? Se infine la scienza del numero fosse puramente analitica, o potesse ricavarsi analiticamente da un piccolo numero di giudizi sintetici, uno spirito assai potente potrebbe con un sol colpo d’occhio avvertirne tutte le verità; che dico! potremmo anche sperare che un giorno si riesca a inventare un linguaggio assai semplice per esprimere tali verità, in modo da presentarle immediatamente ad una intelligenza ordinaria” (ivi, pp.15). In nota, Francesco Albergamo osserva: “Il ragionamento matematico — dice il Poincaré — non consiste nella deduzione sillogistica, ché in tal caso sarebbe infecondo, poiché in essa la conseguenza è già implicitamente contenuta nelle premesse. Le scienze esatte procedono induttivamente nel senso che estendono la validità di una proposizione, dimostrata vera per un caso particolare, ad altri casi particolari. L’induzione matematica differisce da quella delle scienze empiriche perché «ha carattere di rigore assoluto », in quanto si risolve in una serie di dimostrazioni a priori, mentre l’induzione empirica parte dalla semplice constatazione dei fatti e ne desume, per generalizzazione, la legge (ivi, p.8 n.1). Cfr. anche H. Poincaré, Les mathématiques et la logique, “Revue de Métaphysique et de Morale”, XIII, 1905, pp. 816- 835. Si segnalano nel n.13 della stessa Revue i contributi di É. Le Roy, Sur la logique dell’Invention, L. Couturat, Les principes des Mathématiques, M. Winter, Métaphysique et logique mathématique, B. Russell, Sur la relation des mathématiques à la logistique.
Per Vuillemin è «l’ultimo grande scienziato universale» (Errore. Il segnalibro non è definito.cit. in G.Polizzi, Henri Poincaré, tra matematica ed epistemologia, in H.Poincaré, Il valore della scienza, cit., pp.VII-XLVIII; VIII). Come scrive Polizzi, per Poincaré, “il matematico costruisce la sua geometria come un ingegnere, a partire però da una struttura potenziale dell’intelletto, propria di tutti gli uomini. La creatività del matematico risiede nella capacità di costruire teorie nuove, a partire da quella struttura, da un gruppo di trasformazioni […]. Il principio fondamentale della epistemologia aritmetica di Poincaré è […] il principio di induzione completa, secondo il quale una proprietà vale per tutti i numeri naturali quando si verificano simultaneamente le due seguenti condizioni: essa vale per lo zero; essa vale per il numero ‘n + 1’ ogniqualvolta vale per il numero ‘n’. Ciò conduce Poincaré a sostenere che la verità della matematica è basata su un concetto che rinvia al nostro intelletto, appunto il principio di induzione completa, salvando così un assunto del kantismo. I concetti di gruppo e di invariante (che uniscono geometria, algebra e analisi), e di induzione completa (legato all’aritmetica) permettono di individuare una scienza in cui convenzione e costruzione assumono un ruolo preminente, senza che venga sminuito il valore di verità delle teorie scientifiche” (G. Polizzi, La “Filosofia Scientifica” di Henri Poincaré, Ebooks·3 Centro Studi Enriques, Livorno 2014, pp.32-33
http://www.centrostudienriques.it/pubblicazioni_digitali/ebook-3_CSE_la_filosofia_scientifica_di_henri_poincare.pdf). Su Poincaré cfr. G. Heinzmann, La philosophie des sciences de Henri Poincaré, in in M.Bitbol & J.Gayon (dir.), L’épistémologie française,1830-1970, cit., pp.307-325.
188 Cfr. anche H. Poincaré, Les mathématiques et la logique, “Revue de Métaphysique et de Morale”, XIII, 1905, pp. 816-
835; ed.it. La matematica e la logica, in Scienza e metodo, tr. di C.Milanesi, in Opere epistemologiche, a cura di G. Boniolo, Vol.II, Mimesis, Milano-Udine 2017, pp.5-197; 99-109; 101; 103.
1911 − Giovanni Vacca, Sur le principe d’induction mathématique (Revue de Métaphysique et de Morale)
Si attribuisce ordinariamente a Blaise Pascal la scoperta del principio d’induzione matematica, che si chiama anche qualche volta induzione completa, o induzione successiva (De Morgan), o ragionamento per ricorrenza.
Pascal ha utilizzato questo principio nel suo Traité du Triangle arithmétique, pubblicato nel 1665. Ma l’inventore non è stato lui. Questa scoperta è dovuta a Francesco Maurolico, matematico italiano, nato a Messina nel 1494, morto nella stessa città nel 1575 189 .
1911 − Edmond Goblot, Théorie nouvelle du raisonnement déductif (Revue de Métaphysique et de Morale) [Sui limiti della logica deduttiva tradizionalmente intesa]
L’idea che qui sto per presentare è di una tale semplicità che ne sono quasi intimorito. Può riassumersi in queste tre parole che, per un matematico ad esempio, non contengono nessuna sorpresa: Dedurre è costruire. Ma queste semplici parole contengono in realtà grandi paradossi […]. Le regole del sillogismo si riducono ad una sola: la conclusione deve essere contenuta nelle premesse. Ne consegue che il sillogismo non è la deduzione. E lo stesso sillogismo non è un ragionamento, perché ragionare significa dimostrare qualcosa, cioè dare la certezza a ciò che inizialmente era dubbio. Ora, se la conclusione fosse dubbia, le premesse non potrebbero essere certe. Il sillogismo è un’operazione necessaria ad ogni ragionamento, ha in ogni ragionamento una funzione essenziale, ma non è, di per sé, un ragionamento […]. Si ragiona per acquisire qualche conoscenza, per scoprire ciò che non si sa […]. Il sillogismo è quindi una pietra angolare, un’articolazione necessaria di ogni ragionamento, non è, di per sé, un ragionamento completo190.
189
G.Vacca, Sur le principe d’induction mathématique, “Revue de Métaphysique et de Morale”, t.19, n.1 janvier 1911, pp. 30-33; 30: “Nella prefazione al suo trattato d’aritmetica, scritto nel 1557, e pubblicato a Venezia nel 1575, egli osserva che né in Euclide, né negli scrittori greci o latini, a sua conoscenza (tra questi cita Jamblicus, Nichomacus, Boetius), non si trova alcun trattato sui numeri poligonali, o poliedrici. «Nos igitur − aggiunge − conabimur ea, quæ super hisce numerarijs formis, nobis occurrunt, exponere: multa interim faciliori via demonstrantes, et ab alijs authoribus aut neglecta, aut non animaduersa supplentes». Questa via facile e nuova non è altro che il principio d’induzione matematica. Maurolico lo utilizza prima per dimostrare proposizioni molto semplici, e poi per proposizioni più complicate, in un modo uniforme, in tutto il suo lavoro” (ivi, p.30). Inoltre, precisa: “Ora dobbiamo chiederci se Pascal conoscesse Maurolico. La risposta è affermativa. In effetti, nella lettera di Dettonville a Carcavi sulla cicloide o roulette, invece di dimostrare una proposizione abbastanza semplice sulle somme triangolari e piramidali, egli dice semplicemente: «Questo è facile per Maurolico e da qui appare la verità della dimostrazione» (ivi, p.31).
Su Giovanni Vacca e le sue ricerche sul principio di induzione completa Cfr. Erika Luciano, I contributi di G. Vacca alla storiografia della logica matematica, in AA.VV, Quaderni di storia dell’Università di Torino 10 (2009-2011), a cura di C.S. Roero, Celid, Torino 2012, pp.109-127; in particolare cfr. ivi pp.123-124; 123 nota n.54: “Inserendosi nel novero dei matematici che si erano ‘scoperti interessati’ alle prime occorrenze di questo principio, dopo che H. Poincaré lo aveva elevato al grado di «forma di ragionamento matematico per eccellenza», Vacca si impegna a rintracciarne le tracce in Euclide, Nicomaco di Gerasa, B. Pascal e F. Maurolico. A questo tema dedica tre lavori, che presentano gli stessi canoni dei precedenti: estrema concisione, ricerca condotta sulle fonti, scarso inserimento del proprio contributo in rapporto alla letteratura secondaria, accento posto sull’interesse che queste indagini possono presentare per il matematico moderno. Apprezzati dalla comunità degli storici, e richiamati ad esempio da O. Zariski nella sua traduzione italiana del saggio di R. Dedekind Was sind und was sollen die Zahlen, questi scritti di Vacca danno però luogo a due dibattiti sulla Revue de Metaphysique et de Morale, nei confronti di E. Wickersheimer [“Revue de Métaphysique et de Morale”, t.19, n.2 mars 1911, pp.250-251] e di A. Padoa [“Revue de Métaphysique et de Morale”, cit., pp.246-249], incentrati sull’equivalenza fra il principio di induzione completa ed altre forme di ragionamento quali il principio della discesa infinita di Fermat, e sul loro utilizzo da parte di A.M. Legendre, nella dimostrazione della proprietà commutativa del prodotto […]. Le ricerche di Vacca sulla storia di questo principio iniziano nel 1903, in relazione alla compilazione della nota sui postulati di Peano dell’aritmetica per il Formulaire mathematique (1903f cit., p. 35). Egli le riprende nel giugno del 1909 e, poco dopo, annota nei suoi marginalia (Formulario 1908a cit., pp. 28-29): «Il principio di induzione è dovuto a Maurolico. Io ho trovato tentativi precedenti in Euclide lib. VIII p. 9, ed in Leonardo Pisano. Formulazioni migliori che in Maurolico successivam. in Pascal (pressoché identico a Maurolico). Meglio in Bernoulli; la parola Induct. e forse di Euler. Il principio a base dell’aritm. è moderno. Forse di Peirce Am. Journ. 1881 ovvero di Dedekind, anzi di Grassmann. Principi analoghi, di Fermat – della discesa. Infine il calcolo infinitesimale poggia su principi dello stesso genere non ancora formulati in tutta la loro generalità sebbene adoperati. Il prof. Peano, nella teoria delle eq. diff (contin. equabile) ha intuito che c’è un principio dello stesso genere. Ce ne sono invece diversi, ed importanti. Quando saranno formulati e da chi? Sett. 1909». Parte di queste notizie confluiscono nei successivi articoli di Vacca, apparsi nel dicembre del 1909 sul Bollettino di Loria e nel 1911 sulla RMM”. G. Polya, Mathematics and plausible reasoning, vol.I: Induction and analogy in mathematics, Princeton University Press, Princeton, New Jersey 1954, pp.110-112;111 n.2. Così scrive György Polya in nota a piè di pagina: “Mach credeva che Jacques Bernoulli avesse inventato il metodo dell’induzione matematica, tuttavia larga parte del merito di quest’invenzione sembra sia da attribuire a Pascal. Cfr. H. Freudenthal, Archives Internationales d’histoire des sciences, n.22, 1953, pp.17-37. Cfr. anche Jacobi Bernoulli, Basileensis Opera, Ginevra 1744, vol. I, pp. 282-283”.
1912−Léon Brunschvicg, Le principe dit d’induction complète (Les étapes de la philosophie mathématique)
Il procedimento di dimostrazione, che si basa su questo principio è stato introdotto nella matematica da uno scienziato italiano del XVI secolo, Francesco Maurolico, che ne ha sottolineato lui stesso tutta la novità. Gli antichi non l’hanno conosciuto, o, in ogni caso, non l’hanno tenuto in conto: per sua propria natura, la loro logica tendeva a non considerare che delle regole relative a classi determinate di oggetti finiti, mentre nella formula di Maurolico c’è un principio di progressione che supera i quadri della rappresentazione statica e realista […]. I logicisti hanno dunque ragione di sostenere, contro Poincaré, che non c’è bisogno di un principio sintetico nuovo per passare dal procedimento che definisce i numeri interi finiti al procedimento di ragionamento che si applica a questi numeri finiti, per dimostrare l’associatività e la commutatività dell’operazione additiva […]. Riehl cita questa espressione profonda di Lambert: «La base della scienza, non è la definizione, ma ciò che è necessario sapere prima di tutto per costituire la definizione». Il principio della sintesi è già nel dinamismo intellettuale che crea la serie dei numeri naturali; ed ecco perché esso si estende come da sé a quelle delle combinazioni aritmetiche che sono dello stesso ordine delle operazioni costitutive, addizione o moltiplicazione191.
1917− William Henry Bussey, The origin of the mathematical induction (The American Mathematical Monthly official journal of The Mathematical Association of America)
[…] induzione matematica. Un nome più significativo e che è impiegato sempre più spesso è induzione completa. Non è un metodo di scoperta, ma un metodo per dimostrare rigorosamente quello che è già stato scoperto. È uno dei metodi più produttivi in tutta la matematica […]. Nelle sue Lezioni sulla storia della matematica, Cantor dice che Pascal fu l’ideatore del metodo dell’induzione completa. In una breve nota nella Rivista per lezioni di matematica e scienze naturali, egli ha tuttavia corretto questa affermazione. Nella nota dice di essere stato informato da G. Vacca che Maurolico descrisse e impiegò il metodo nella sua aritmetica che pubblicò nel 1575. Cito da Cantor: «Mi è stato fatto notare dal Sig. G. Vacca che già Maurolico, nella sua aritmetica del 1575, descrisse precisamente e impiegò il metodo. Da Maurolico, Pascal la apprese per primo. Su questo, non può sussistere alcun dubbio, poiché Pascal si richiama espressamente per la proposizione 2 [𝑛(𝑛+1)
2 ] − 𝑛 = 𝑛
2 a Maurolico, il quale ha dimostrato proprio questa attraverso l’induzione completa» […]. È
in una lettera di Pascal (che scrive con lo pseudonimo di Amos Dettonville) a Carcavi che Pascal si rifà a Maurolico per la prova del teorema che «due volte l’n-esimo numero triangolare meno n uguale 𝑛2». Pascal
dice: «Questo è semplice per Maurolico»192.
1918−Florian Cajori, Origin of the name «mathematical induction» (The American Mathematical Monthly official journal of The Mathematical Association of America)
Il processo di ragionamento detto «induzione matematica» ha diverse origini indipendenti tra loro. È stato fatto risalire allo svizzero Jakob (James) Bernoulli, ai francesi B. Pascal e P. Fermat, e all’italiano Maurolico. Il procedimento di Fermat differisce in qualche misura dall’induzione matematica ordinaria; in esso vi è un ordine
Cfr. M. Bourdeau, La logique à la croisée des chemins : la controverse goblotrougier sur la nature de la démonstration et du raisonnement déductif (1907-1921), Revue d’histoire des sciences, Armand Colin, 2014/2, t.67, pp. 311- 330 (consultabile in https://www.cairn.inforevue-d-histoire-des-sciences-2014-2-page-311.htm/).
Come Scrive P.Redondi: “il pensiero bachelardiano ci apparirà […] anche largamente influenzato da persistenti concezioni della certezza dimostrativa nel senso kantiano, che lo portavano a riconoscere feconda l’attività di Edmond Goblot nel campo dello studio del ragionamento dimostrativo. Ebbene, Goblot sosteneva, in ultima analisi, di fare della logica una parte della psicologia, dato il carattere costruttivista della matematica. Tali ambigue sovrapposizioni tra la logica e la psicologia e le concessioni all’intuizione contro il rigore deduttivo limitarono le possibilità che il messaggio lasciato da Cavaillés fosse decifrato e tradotto in una nuova tematica teoretica per la filosofia della matematica. Si deve nondimeno riconoscere che nell’epistemologia francese il rifiuto del logicismo risale anche a un aspetto propositivo, e cioè il realismo tecnico della scienza nella dialettica della storia del sapere razionale” (P.Redondi, Epistemologia e storia della scienza. Le svolte teoriche da Duhem a Bachelard, cit., p.87).
191
L. Brunschvicg, Les étapes de la philosophie mathématique [1912], F.Alcan, Paris 19293, pp.481-482; 483-484. Sul concetto di induzione matematica cfr.: C.B. Boyer, Storia della matematica [1968], tr. di A. Carugo, A.Mondadori, Milano 1990, p.419, dove si legge: “Indicazione di questo metodo [di induzione matematica] sono rintracciabili […] nell’opera di Maurolico; ma Pascal dimostrò eccezionale abilità nel chiarire i concetti [triangolo di Pascal, 1654], e pertanto condivide con Fermat e altri il merito di avere sviluppato il ragionamento ricorsivo. L’appellativo di «induzione matematica» sembra abbia avuto un’origine molto più recente: comparve infatti per la prima volta nell’articolo di De Morgan sull’«Induzione (matematica)» pubblicato nella Penny Cyclopaedia del 1838”.
192W.H. Bussey, The origin of the mathematical induction, in The American Mathematical Monthly official journal of The
Mathematical Association of America, Vol. XXIV, may 1917, n.5, pp.199-207; 199; 200; 203 [tr. di Matteo Bozzon − Dottore di ricerca in Filosofia e Diritto − Univ. di Padova].
discendente di progressione, saltando irregolarmente su forse molteplici numeri interi da n a 𝑛 − 𝑛1, 𝑛 −
𝑛1− 𝑛2, ecc. Tale procedimento venne utilizzato già in precedenza da J. Campanus nella sua dimostrazione
dell’irrazionalità della sezione aurea, che egli pubblicò nella sua edizione di Euclide, 1260. Leggendo un po’ tra le righe si possono trovare tracce dell’induzione matematica ancor prima, negli scritti degli Indù e dei Greci, come ad esempio nel «metodo ciclico» di Bashkara, e nella dimostrazione di Euclide che il numero dei numeri primi è infinito. Tuttavia, nessuno, a mia conoscenza, ha prima d’ora individuato l’origine del nome «induzione matematica». Perché dovrebbe essere chiamato «induzione matematica» un procedimento argomentativo così estraneo nella sua essenza all’«induzione» conosciuta dalle scienze naturali? Maurolico, Pascal e Fermat non dettero alcun nome particolare ai loro procedimenti logici. È nostro intento in questo articolo mostrare che una