Resistività nel modello di Bloch - Modelli della conduzione elettrica

III. Modelli della conduzione elettrica

6. Resistività nel modello di Bloch

In conseguenza del principio di Pauli, le interazioni e-e sono circa 104 volte meno frequenti tra gli elettroni di conduzione rispetto alle interazioni con gli ioni reticolari (Ashcroft & Mermin, 1976, pag. 348).

Nel modello di Sommerfeld l’elettrone è descritto da un “pacchetto di onde localizzato” che si muove sotto l’azione del campo elettrico esterno secondo l’equazione classica del moto. Per giustificare questa ipotesi si osservi che un elettrone di conduzione in un metallo ha una quantità di moto p≈mvF. Per poterlo trattare come una particella, deve essere verificata la condizione Δp<<p relativa all’incertezza Δp sulla quantità di moto. Poiché il principio di indeterminazione implica che Δp≈ħ/Δx, essendo Δx l’incertezza sulla posizione dell’elettrone, la trattazione in termini di pacchetto d’onde localizzato è possibile se

Δx>>ħ/mvF≈1 Å

Questo valore va confrontato con il cammino libero medio dell’elettrone, che rappresenta la grandezza che ne determina la posizione. Ricordando il valore del tempo libero medio già calcolato per un elettrone di conduzione nel rame τ=2,5∙10−14 s si ricava il cammino libero medio ℓ, nota la velocità di Fermi per il rame v_F=1,6∙106 m/s. Risulta

ℓ=40 nm

Ciò indica che nel rame il cammino libero medio di un elettrone di conduzione è più di 100 volte maggiore del passo reticolare (circa 3 Å). Risultati analoghi si ottengono negli altri metalli. Poiché a temperature ordinarie si ha che

ℓ>>ħ/mvF

allora nel modello di Sommerfeld l’elettrone può essere trattato come una particella e di conseguenza la resistività viene determinata applicando la teoria del trasporto come nel modello di Drude, e si perviene alla stessa espressione (Ashcroft & Mermin, 1976, pag. 51).

6. Resistività nel modello di Bloch

Il calcolo del cammino libero medio eseguito in precedenza pone un problema centrale per la comprensione della descrizione quantistica delle proprietà degli elettroni di conduzione nei metalli: poiché il passo reticolare ha l’ordine di grandezza delle dimensione degli ioni reticolari, come possono gli elettroni di conduzione evitare le collisioni con gli ioni reticolari con tanta efficacia? Questo problema fu risolto da Felix Bloch (1929) adottando una visione pienamente quantistica. Tenuto conto della periodicità del reticolo cristallino, egli ottiene un importante risultato: la soluzione dell’equazione di Schroedinger per un elettrone di conduzione nel metallo è costituita

Cap. III – Modelli della conduzione elettrica

da un’onda piana modulata da una funzione periodica con il periodo spaziale del reticolo. L’energia dell’elettrone, descritto come pacchetto d’onda con frequenza ω/2π e lunghezza λ=2π/k, è una funzione E(k)=ħω(k) periodica sullo spazio del reticolo reciproco. La velocità dell’elettrone è la velocità di gruppo del pacchetto e si esprime come v=dω/dk=(1/ħ)dE/dk.

Ne segue che l’accelerazione dell’elettrone nel solido vale a=dv/dt=(1/ħ)d2E/dk2(dk/dt)

Poiché l’impulso dell’elettrone risulta p=ħk, si ha che F=ħ(dk/dt). Dunque risulta: F/a = ħ2/(d2E/dk2)

Per definizione, questa grandezza è la massa efficace m* dell’elettrone nel potenziale periodico, una grandezza che può avere carattere tensoriale (Ashcroft & Mermin, 1976). Dunque la massa dell’elettrone di conduzione in un cristallo non è una proprietà intrinseca ma relazionale, dipende dalla struttura reticolare che determina la forma della funzione E(k) che descrive i livelli energetici dell’elettrone. Per l’elettrone libero risulta E(k)=ħ2k2/2m da cui ovviamente m=m*.

Bloch descrive l’interazione elettroni-reticolo come diffusione delle funzioni d’onda elettroniche in un potenziale periodico. Si tratta di una approssimazione di elettroni indipendenti in un campo medio nullo, come nelle teorie di Drude-Lorentz e Sommerfeld, ma viene presa in considerazione la periodicità del reticolo. Bloch dimostra che: 1) la resistività in un reticolo perfettamente periodico sarebbe zero; 2) la resistività deriva dalla deviazione del reticolo dalla periodicità perfetta. Tale deviazione è dovuta a due fattori: 1) presenza di impurità; 2) oscillazioni degli ioni reticolari intorno alle posizioni di equilibrio. Di conseguenza la sezione d’urto e quindi la resistività (Matthiessen rule) si può esprimere in prima approssimazione come somma di due contributi: S=Simp+Sret. Il primo contributo è piccolo nei metalli puri (ma non nelle leghe come la costantana) ed è sostanzialmente indipendente dalla temperatura in quanto dipende dalla concentrazione di impurità e dal quadrato della differenza tra i numeri atomici (Z_imp−Z_ret). Bloch calcola il secondo contributo trattando le oscillazioni reticolari secondo il modello di Debye (1912). Nella fisica classica, sulla base del teorema di Fourier, è possibile descrivere un sistema oscillante in termini di sovrapposizione lineare di modi normali di oscillazione. Tuttavia è possibile utilizzare un modello corpuscolare analogo a quello introdotto da Einstein per la radiazione di corpo nero. Debye pertanto descrive le oscillazioni reticolari come un sistema di fononi che segue la statistica di Bose-Einstein. Nel modello di Debye compare un importante parametro, la temperatura di Debye TD legata alla frequenza di Debye D dalla relazione hD=kBTD

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Tabella 4 - temperature di Debye (De Launay, 1956)

Essa viene introdotta nel conteggio di tutti i modi di oscillazione del cristallo per ottenere un risultato finito, essendo finito il numero di ioni oscillanti. Ciò implica che la frequenza dei fononi del cristallo deve avere un valore massimo D ovvero l’esistenza di un minimo per la lunghezza d’onda. Tale minimo non può che essere determinato dal passo reticolare a. Considerando che i fononi sono soluzioni dell’equazione di propagazione delle onde sonore nel solido, si stabilisce la relazione _D≈u/a tra _D e la velocità media del suono nel solido u. Se t rappresenta il periodo delle oscillazioni degli atomi intorno alle posizioni di equilibrio, risulta u≈a/t. Ciò implica che D descrive la frequenza delle oscillazioni atomiche.

Nel modello di Bloch, il contributo reticolare alla resistività è dato dalla diffusione degli elettroni di conduzione da parte dei fononi reticolari. Ciò implica che la temperatura di Debye (tab. 4), che condiziona la distribuzione dei fononi nel cristallo, determina anche l’andamento della resistività in funzione della temperatura.

L’espressione della resistività derivata nel contesto del modello semiclassico resta valida, a patto di introdurvi la massa efficace:

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Il fattore 1/τ rappresenta ancora la probabilità per unità di tempo che un elettrone interagisca con un fonone ed è proporzionale alla sezione d’urto del processo. Bloch ottiene che:

a) alle temperature T>TD si può utilizzare la descrizione classica in cui la sezione d’urto è proporzionale all’area spazzata dallo ione che oscilla e quindi al valore quadratico medio <R2> dell’ampiezza di oscillazione; il teorema di equipartizione dell’energia implica che <R2> è proporzionale a T, per cui l’andamento della resistività con la temperatura è lineare;

b) alle temperature T<TD invece, occorre un’analisi più dettagliata. La sezione d’urto è proporzionale al prodotto di due fattori: la densità dei fononi che varia come (T/TD)3 nel modello di Debye, moltiplicato per un altro fattore che tiene conto della conservazione dell’impulso nell’interazione, che si trova essere proporzionale a T2. Ne risulta che l’andamento della resistività con la temperatura è proporzionale a T5.

Figura 7 - diffusione elastica (Solyom, 2009, pag. 392)

Si riporta in dettaglio il calcolo del fattore dipendente dall’impulso a basse temperature (Solyom, 2009). In questo caso sono prevalenti i processi di diffusione elastica degli elettroni a piccoli angoli (anche se essi non rendono conto dei processi anelastici che trasferiscono energia al reticolo dando luogo all’effetto Joule) e la sezione d’urto di diffusione elettrone-fonone dipende dal quadrato dell’impulso trasferito ħ(k’−k). Se ħq è l’impulso del fonone, allora q=k’−k onde q2=k’2+k2−2kk’. Poichè kk_Fk’_F (cambia solo la direzione dell’impulso iniziale, ma non il suo modulo) allora q22kF2(1−cos)(kF)2 essendo  l’angolo di diffusione dell’elettrone. Del resto, in un cristallo a temperatura T, i fononi hanno un’energia analoga a quella dei fotoni E=ħwqkBT onde risulta che q2 è proporzionale a T2.

Il calcolo completo della sezione d’urto di interazione elettrone-fonone conduce a rappresentare l’andamento del contributo reticolare alla resistività di un metallo con la seguente formula detta di Bloch−Grüneisen (Mizutani, 2003 pag. 288)

( ) ( ) ∫

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dove compaiono due parametri C, TD relativi allo specifico metallo che possono essere determinati partendo dalla fenomenologia (Grüneisen, 1928). La formula di Bloch-Grüneisen indica che la dipendenza di ρ(T/TD) dalla grandezza T/TD è espressa da una funzione indipendente dal particolare metallo, come è stato accertato per molti metalli attraverso opportune misure (fig. 8 e 9). Si verifica banalmente che l’andamento della resistività nel limite T>>TD (lineare in T) e T<<TD (come T5) riproduce quello già discusso.

Figura 8 - interpolazione dell’autore

Cap. III – Modelli della conduzione elettrica

Nel documento La didattica in prospettiva verticale delle proprietà di trasporto elettrico nei solidi: i modelli microscopici partendo dalla fenomenologia (pagine 62-67)