In questa tipologia di interfacce il rumore sovrapposto al segnale si presenta in uscita come una fluttuazio e della du ata dell’i pulso, riconducibile al jitter, cioè ad un’incertezza nel fronte in discesa. Al fine di assi izza e la isoluzio e dell’i te fa ia e essa io i daga e uali so o le principali sorgenti di rumore per minimizzarne il contributo.
Nell’a alisi del u o e o side ia o ideale il seg ale di lo k e indaghiamo i contributi al jitter delle tre correnti integrate su C0. Tenendo
conto del rumore di corrente sovrapposto alla e del rumore sulla tensione di riferimento del comparatore consideriamo un generico periodo di funzionamento [t1 ; t2] come riportato in figura 3.2.
Applicando il bilancio delle cariche sul condensatore C0, tenendo
conto dei contributi di rumore ricaviamo la relazione
∫
+ ∫
= � [
−
− ]
(3.8)Applicando le relazioni della tabella 3.1 troviamo
∫
= −
+ ∆ −
�
−− −
+ ∆ +
� +
(3.8)
relazione generale che ha come soluzione particolare, per � − = � , il fu zio a e to p e ede te e te des itto. Pe se plifi a e l’a alisi definiamo, il rumore casuale di carica dovuto al rumore di corrente (3.9) e il rumore casuale di carica dovuto al rumore sulla tensione di riferimento del comparatore (3.10).
= ∫
(3.9)
= � [
−
− ]
(3.10)Applicando la (3.8), (3.9) e (3.10) al bilancio della carica (3.7) troviamo la relazione generale per il calcolo di � nella quale è distinguibile il contributo del segnale utile e il contributo di rumore.
�
−− �
=
−
� − �=
− + ∆ −= −
(3.11)Per semplificare lo studio del contributo del rumore sul jitter totale possiamo imporre la corrente costante così che i parametri e non varino nel periodo. Questa ipotesi consente, applicando la trasformata Z e considerando la sola parte utile di segnale, di ricavare dalla (3.11) la funzione di trasferimento corrente-periodo del sistema (3.12). Per al ola e il o t i uto del u o e di a i a sull’us ita . poi sufficiente moltiplicare la funzione di trasferimento nel dominio � per la trasformata discreta di fourier del rumore di carica.
=
− −→
� =
− − � (3.12)�
� =
�
� � − � � (3.13)Caratteristica interessante è il filtraggio passo basso introdotto dalla funzione di trasferimento, con attenuazione dipendente dal parametro [Fig. 3.3]. Questa proprietà permette di limitare il rumore in alta frequenza se za l’utilizzo di u filt o passa asso a se pli e e te i e e ta do la differenza tra la ∆ e le altre due correnti.
Considerando incorrelati il rumore introdotto dal comparatore e quello prodotto dalle correnti, la densità spettrale di potenza discreta (D-DSP) complessiva del rumore è la somma delle D-DSP dei singoli contributi.
3.2.1 Contributo del rumore in corrente
Applicando la trasformata di Fourier alla (3.9) possiamo ricavare la relazione tra la DSP del rumore in corrente e la D-DSP del rumore di carica (3.14). Poi h l’us ita o side a ile o e u seg ale te po dis eto
con periodo pari al clock possiamo considerare come intervallo di frequenze utili [− / ; / ] tenendo conto del fenomeno di foldover.
= ∑
+∞[�
−
]
−
= −∞ (3.14)
Studiando la topologia possiamo considerare il rumore in corrente come la somma di tre contributi: , rumore in corrente introdotto dall’a plifi ato e di o e te; , rumore in corrente introdotto dal generatore di rampa; rumore in corrente del generatore . Definendo i segnali modulanti il rumore e [Fig.3.4] possiamo allora risalire alla DSP del rumore in corrente calcolando la DSP dei singoli contributi (3.15).
= [
+
∆]
+
(3.15)Prima di procedere con lo studio dei singoli contributi è necessario effettua e u ’app ossi azio e sulla a da dell’a plifi ato e. La elazio e . o side a la a da dell’a plifi ato e i fi ita e t e el aso eale non può esserlo. Nella trattazione formale del problema dovremmo considerare il numero di repliche = contenute nella banda dell’a plifi ato e otte e do:
∑
= −�
−
= <
(3.16)
Per semplificare la trattazione consideriamo abbastanza grande osì he i o t i uti delle epli he es lusi dalla a da dell’a plifi ato e
siano fortemente attenuati dalla funzione , e quindi siano trascurabili, ed imponiamo = .
Per il contributo di possiamo osservare che la modulazione introdotta da è analoga alla modulazione chopper [16] per cui il contributo alla DSP totale è pari a su tutta la banda eccetto nei multipli della f e ue za di lo k do e so o epli ati il fli ke e l’offset.
La modulazione della invece varia in funzione del valore di �, tra una modulazione chopper per � = e assenza di modulazione per � = . Per o pletezza dell’a alisi o side ia o il o st ase, io il aso di asse za di modulazione. In assenza di modulazione il contributo del flicker è attenuato dalla moltiplicazione per la e possiamo quindi trascurarne tutte le repliche eccetto quella per k = 0. La componente termica invece rimane invariata e fornisce un contributo al rumore complessivo pari a
.
Per studiare il contributo del generatore di rampa dobbiamo prima considerare alcuni aspetti:
i. è un rumore in corrente proveniente da due sorgenti distinte, una utilizzata per generare la rampa con derivata positiva e l’alt a per generare la rampa con derivata negativa.
ii. La modulazione di inverte il segno del contributo di
rendendolo concorde con il contributo di . Possiamo allora considerare una singola sorgente di rumore con contributo doppio.
iii. e sono generati dalla stessa tensione di riferimento per cui il loro contributo di rumore è correlato. Dalla tabella 1 notiamo però che e hanno segno opposto nella fase B per cui i contributi di rumore tendono a cancellarsi.
=
∆(3.17)
Applicando le considerazioni fatte alla (3.15) otteniamo come D-DSP del rumore di carica dovuto al rumore in corrente:
= [
+
+
∆]
(3.18)Il secondo e il terzo termine per effetto di quanto detto al punto (iii) contengono solo le componenti incorrelate dei due processi.
Pe o pleta e l’a alisi i a e da ollega e l’e uazio e t o ata con i parametri dei dispositivi utilizzate, così da dimensionare il circuito in modo da minimizzare il rumore complessivo. Utilizzando le equazioni classiche del contributo termico e flicker di un generico mosfet, definendo numero di mosfet che contribuiscono al rumore termico, − la tensione di overdrive degli mosfet, per semplicità di analisi considerata uguale per tutti i mos, e oeffi ie te dell’effetto ody tip. = . ), otteniamo allora:
=
+
�−
�
(3.19)+
∆=
− (3.20)3.2.2 Contributo del rumore del comparatore
Il rumore introdotto dal comparatore è la conseguenza di un campionamento e di un operazione di differenza tra campioni. Per effetto della sovrapposizione del rumore sul segnale in ingresso al comparatore all’ista te di o utazio e il o pa ato e, oltre a campionare il segnale utile, campiona anche il rumore sovrapposto. Considerando due periodi consecutivi, per effetto della variazione del rumore sovrapposto, l’e ore sul duty i le dell’o da non è dovuto al valore assoluto del rumore campionato alla commutazione ma alla differenza tra il campione di
rumore attuale e quello precedente. Nella trattazione del rumore introdotto dal comparatore possiamo allora considerare due fenomeni distinti. Il foldover, dovuto al campionamento, che riporta le repliche dello spettro del segnale e del rumore ell’i te allo [− / ; / ] e la moltiplicazione in frequenza per un � , con conseguente eli i azio e dell’offset e fo te iduzio e delle o po e ti di u o e i bassa frequenza, dovuta alla differenza tra due campioni successivi. Possiamo quindi approssimare il contributo di rumore di carica del comparatore come:
= �
�
(3.21)3.2.3 Jitter teorico
Dall’a alisi fatta otia o he il p i ipale o t i uto di u o e dato dal rumore in corrente poiché il comparatore introduce rumore a frequenze maggiori di dove però agisce il filtraggio passa basso della risposta in frequenza (3.12). Trascurando la componente dovuta al comparatore, rimangono solo il rumore termico dovuto alla e la componente flicker dovuta alle alt e due so ge ti. Pe se plifi a e l’a alisi possia o t as u a e anche la componente flicker ma per farlo è necessario che la frequenza di corner sia molto minore della . Calcolando la frequenza di corner (3.22), tenendo conto solo del rumore in corrente, troviamo la relazione per dimensionare il mosfet che genera la in modo la frequenza di corner rispetti l’ipotesi fatta.
=
∆+ ∆�
−
− (3.22)
Appli a do i fi e l’ipotesi sulla alla (3.21) e tenendo conto della funzione di trasferimento (3.12) troviamo la D-DSP del jitter totale.
3.2.4 Dynamic Range
Il dynamic range in questa applicazione corrisponde al rapporto tra il � massimo ottenibile, che nel caso di dimensionamento ottimo coincide con
/ , e la deviazione standard del jitter.
Pe se plifi a e l’a alisi al oliamo il quadrato del reciproco del dy a i a ge. Dall’e uazio e . possia o i a a e � ottenendo:
=
���
=
+
− ( − ) ∆ ∆