Elisabetta Panucci1, Francesca Morselli2
1I. C. Carcare - Plesso di Altare
2Dipartimento di Filosofia e Scienze dell’Educazione Università di Torino
Introduzione
In questo contributo saranno discussi i passi salienti di un percorso volto a favorire l’attività argomentativa nella scuola secondaria di primo grado. Il percorso, realizzato in una classe prima, ruota intorno al problema dei rettangoli isoperimetrici ed è svolto in continua dialettica tra aritmetica e geometria.
Il contributo mostra la struttura del percorso pensata a priori e le variazioni che sono state decise in itinere. L’analisi del percorso è su due livelli: il livello dei processi e il livello della progettazione.
Da un lato, l’analisi si concentra sui processi messi in atto dagli studenti di fronte a consegne del tipo “Spiega come” e “Spiega perché”.
Dall’altro, l’analisi consente di riflettere sulla dialettica progettazione – sperimentazione e sull’importanza di una progettazione flessibile e aperta alle variazioni che tengano conto dei contributi e delle idee degli studenti.
Argomentazione e spiegazione: un breve inquadramento teorico
Balacheff (1982, 1987, 1988, 1999) distingue tra spiegazione1, prova e dimostrazione. La spiegazione è il discorso che ha lo scopo di rendere evidente il carattere di verità di una proposizione. Le ragioni addotte possono essere accettate o contestate. Certe spiegazioni sono accettate all’interno della comunità, cioè prese come prove. Certe prove sono strutturate come una sequenza di enunciati “ammissibili” collegati da inerenze “lecite”: tali prove si dicono dimostrazioni.
Adottando questa distinzione, possiamo vedere le spiegazioni come il primo passo verso le dimostrazioni matematiche.
Le spiegazioni possono a loro volta essere distinte a seconda del loro oggetto (che cosa spiegano) e della loro funzione all’interno dell’insegnamento-apprendimento della matematica. Levenson & Barkai (2013) individuano le seguenti funzioni:
• Funzione 1: descrizione del proprio ragionamento nella risoluzione di un problema (Es.: spiega che cosa hai fatto); in questo caso la spiegazione mette in gioco soprattutto la conoscenza di tipo procedurale.
• Funzione 2: giustificazione del perché si è scelto di risolvere il problema in un certo modo, con giustificazione della plausibilità di un ragionamento (spiega perché hai fatto così). Da
1 È opportuno sottolineare che il termine originale francese utilizzato da Balacheff è explication, tradotto con il termine italiano spiegazione. In francese, explication significa “développement destiné à éclaircir le sens de quelque chose; ce qui rend compte d’un fait; éclaircissement sur les intentions” (Le Robert micro, 1998). In italiano, spiegazione significa “atto di spiegare ciò che presenta difficoltà di comprensione; ciò che serve a spiegare, a chiarire, a risolvere; manifestazione del pensiero proprio o altrui in relazione a parole, fatti e simili che siano stati intesi in altro senso o in senso grave” (Zingarelli, 1970).
notare che le spiegazioni possono non essere correlate a proprietà matematiche esplicite. • Funzione 3: Spiegazione come risposta a una domanda che presuppone l’utilizzo di
proprietà matematiche (Es.: è vero o falso? Spiega perché). In questo caso la spiegazione mette in gioco la conoscenza di tipo relazionale.
Tale descrizione mette in evidenza che diverse domande (spiega che cosa hai fatto, spiega perché hai fatto così …) richiedono la produzione di spiegazioni da parte degli alunni, e che l’abitudine e la capacità di fornire spiegazioni nasce ben prima delle attività del terzo tipo (spiegare perché un’affermazione è vera o falsa).
Le spiegazioni prodotte, indipendentemente dalla loro funzione, sono degli esempi di argomentazione.
Il progetto “Linguaggio e argomentazione nello studio della matematica dalla scuola dell’infanzia all’università”
Il percorso si inserisce nel progetto “Linguaggio e argomentazione nello studio della matematica dalla scuola primaria all’Università” (Laboratorio del Piano nazionale Lauree Scientifiche). Il progetto, avviato dal Dipartimento di Matematica dell’Università di Genova nel 2008-09 e tuttora in corso, è finalizzato alla messa a punto e sperimentazione di percorsi di media e lunga durata attorno al “nodo” dell’argomentazione in campo matematico.
L’argomentazione è riconosciuta nelle Nuove Indicazioni (2012) come competenza centrale nelle attività matematiche e, più in generale, come obiettivo importante della formazione intellettuale del cittadino. Inoltre, la crucialità di argomentazione e dimostrazione nell’insegnamento- apprendimento della matematica è ampiamente documentata in letteratura (Hanna & De Villiers, 2012).
Due le caratteristiche fondamentali del Laboratorio, che vede l’Istituto Comprensivo di Carcare (SV) come polo di riferimento:
• il coinvolgimento di insegnanti di diversi livelli scolari, dalla scuola dell’infanzia alla scuola secondaria di secondo grado, in un’ottica di continuità verticale;
• la stretta collaborazione tra ricercatori universitari e insegnanti in tutte le fasi del laboratorio, dalla progettazione, alla realizzazione, all’analisi in itinere e a posteriori.
Queste caratteristiche rendono il Laboratorio un vero “laboratorio di progettazione”, dove i percorsi progettati sono progressivamente sperimentati e affinati mediante cicli di sperimentazioni in parallelo (lo stesso percorso su più classi) e in serie (modifiche di percorsi nel corso degli anni). Per questa ragione, il Laboratorio si configura anche come occasione di sviluppo professionale per i docenti coinvolti. A questa ricaduta “diretta” si aggiunge l’importanza di produrre e mettere a disposizione anche di insegnanti non direttamente coinvolti nel progetto, mediante la documentazione caricata sul sito http://pls.dima.unige.it/azione1/argomentazione/ scuola_media/azione1_linguaggioeargomentazione_media.php, proposte di percorsi didattici, motivati dal punto di vista teorico, sperimentati in classe e illustrati anche a partire da estratti significativi del lavoro in classe.
Con particolare riferimento alla scuola secondaria di I grado, i percorsi hanno lo scopo di recuperare/consolidare i prerequisiti logico-linguistici indispensabili per l’attività argomentativa e favorire lo sviluppo di un “atteggiamento argomentativo”, per cui ogni opinione o scelta deve essere giustificata in modo adeguato e comprensibile. Inoltre, i percorsi portano gli studenti a muovere i primi passi nella “cultura dei teoremi” (Boero, 2007), con particolare riferimento all’uso dell’algebra come strumento dimostrativo.
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I rettangoli isoperimetrici
Un percorso in continuità verticale
Il percorso sui rettangoli isoperimetrici è stato progettato congiuntamente dagli insegnanti dei diversi livelli scolari. Il percorso ha un contenuto comune (i rettangoli isoperimetrici) e si declina in modo diverso nei diversi livelli scolastici (scuola primaria, secondaria di primo grado e secondaria di secondo grado), in un’ottica di continuità verticale. Il presente contributo si riferisce alla versione per la scuola secondaria di primo grado.
Il contesto
Il percorso è stato realizzato in due classi prime del plesso di Altare (SV), per un totale di 30 studenti. Per l’occasione, le classi sono state unite e hanno svolto il percorso come se fossero un’unica classe. In particolare, nei lavori di gruppo si sono creati gruppi «misti» per favorire lo scambio e l’interazione tra classi.
Le due classi, al momento della sperimentazione, avevano già svolto l’attività «Pensa un numero» in cui avevano incontrato per la prima volta le lettere come strumento di pensiero (Testera, Morselli & Sibilla, 2011).
Il percorso
Il percorso inizia con la costruzione di rettangoli aventi lo stesso perimetro (disegnati su carta e poi ritagliati nel cartoncino) e continua con l’esplorazione della situazione e la produzione di congetture sull’area massima. A una prima ricerca di giustificazioni del fatto ‘tra tutti i rettangoli aventi la stessa area il quadrato è quello con area massima’, segue una dimostrazione algebrica, costruita in forma di discussione con una forte mediazione dell’insegnante. Dapprima gli studenti ricostruiscono la dimostrazione (con l’aiuto di una scheda guidata); le ricostruzioni individuali sono poi confrontate e analizzate nel corso di una discussione di classe. Il percorso si conclude con una scheda di ripensamento sull’intero percorso svolto, con domande mirate a far riflettere sulla difficoltà e utilità di ogni tappa, con particolare riferimento alle diverse modalità di lavoro (disegno, ritaglio su cartoncino, uso delle lettere, …).
Nelle sessioni si alternano momenti di lavoro individuale, lavoro in piccoli gruppi, discussioni di classe. I gruppi, oltre a essere eterogenei per classe di appartenenza, sono omogenei per livello, in modo da favorire una reale partecipazione di tutti gli studenti.
Il percorso si è articolato in 5 sessioni di 3 ore ciascuna, svolte con cadenza settimanale nel secondo quadrimestre dell’anno scolastico 2012-13.
Nel paragrafo successivo si presentano nei dettagli le attività relative alla prima parte del percorso (costruzione dei rettangoli isoperimetrici).
La prima attività: costruire i rettangoli
La prima consegna, svolta individualmente dagli studenti, è la seguente:
Disegna quattro rettangoli aventi tutto lo stesso perimetro di 20 cm.
Successivamente gli studenti, divisi in gruppi, svolgono la consegna della seconda scheda:
Confrontate i metodi seguiti per disegnare i diversi rettangoli.
La scheda 2 chiede di esplicitare e mettere a confronto i metodi utilizzati per la costruzione dei rettangoli; in riferimento alla classificazione delle funzioni della spiegazione illustrata da Levenson & Barkai (2013), si passa dalla risoluzione di un problema (costruire i rettangoli) alla descrizione della strategia adottata (funzione 1 della spiegazione: spiega che cosa hai fatto).
La strategia più diffusa consiste nel passare dalla richiesta iniziale (perimetro pari a 20 cm) a una richiesta equivalente (semiperimetro pari a 10 cm). In questo modo il problema geometrico della costruzione dei rettangoli si riconduce a un problema di tipo aritmetico, ovvero determinare due numeri la cui somma sia 10. Come mostrano i seguenti estratti dai lavori di gruppo, gli studenti trovano senza difficoltà coppie di numeri la cui somma sia 10, aiutati anche dalla conoscenza, che risale alla scuola primaria, degli “amici del 10”.
Gruppo 1
Per formare i rettangoli con il perimetro 20 cm bisogna formare 10 cm e poi moltiplicare per 2. Con questo metodo si possono formare 9 rettangoli: 6+4, 7+3, 8+2, 9+1, 4+6, 3+7, 2+8 e 1+9, però il primo, secondo, terzo e quarto sono uguali agli ultimi quattro. 5+5 non si può fare perché si forma un quadrato.
Figura 1. Gruppo 1
Gruppo 2
Abbiamo sommato due lati diversi la cui somma era 10 che moltiplicato per due il risultato era 20, ovvero il perimetro del rettangolo.
Non sono possibili altri perimetri di 20 cm se non con questi lati 6cm+4cm ×2, 8+2 cm ×2, 9+1 cm ×2, 7+3 cm ×2.
5+5+5+5 cm =20 non è un rettangolo, ma un quadrato. 10+10 cm = 20 cm, ma non è un rettangolo.
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Una prima analisi delle risposte alle schede 1 e 2 mette in evidenza alcuni comportamenti ricorrenti. In primo luogo, gli studenti costruiscono rettangoli aventi misure intere (in centimetri). Questo è comprensibile, dal momento che la scheda 1 richiede di costruire un numero limitato di rettangoli e quindi è possibile fornire la risposta senza “scomodare” le misure non intere. D’altro canto, la risposta del gruppo 2 (non sono possibili altri perimetri di 20 cm) rende necessario, agli occhi dell’insegnante e dell’osservatrice, approfondire la questione e far riflettere gli studenti sul fatto che sono possibili altri perimetri.
Altro elemento osservato è la mancata inclusione del quadrato tra i rettangoli aventi perimetro pari a 20 cm. Anche questa questione sembra degna di un momento di approfondimento e sistemazione.
Inoltre, l’analisi mostra che nessun gruppo, a differenza di quanto avvenuto in precedenti sperimentazioni, ha utilizzato il metodo dell’“aggiungere e togliere”: partendo da un rettangolo di perimetro 20 cm, è possibile ottenere un altro rettangolo avente lo stesso perimetro aggiungendo e togliendo a base e altezza la stessa quantità. Insegnante e osservatrice ritengono importante che gli studenti riflettano anche su tale metodo, che prepara alla successiva modellizzazione algebrica del problema.
In virtù delle considerazioni riportate sopra, insegnante e osservatrice decidono di proporre, come lavoro da svolgere a casa, la seguente consegna, volta a far emergere la “necessità” delle misure non intere:
Trova dei rettangoli diversi da quelli dei compagni.
La sessione successiva inizia con la condivisione dei rettangoli trovati a casa.
Come mostra la fotografia della lavagna, contenente le proposte individuali, la maggior parte degli studenti, per perseguire lo scopo di trovare un rettangolo “diverso da quelli pensati dai compagni”, si rivolge alle misure non intere. Lo studente A.B. sceglie misure aventi tre cifre decimali. Da notare che gli studenti si limitano a indicare le misure dei rettangoli, senza disegnarli. Questo rende possibile, come emerso nella discussione, immaginare anche rettangoli aventi molte cifre decimali, che nella pratica sarebbero però difficilmente realizzabili. La differenza tra rettangolo “immaginabile” e rettangolo “effettivamente costruibile” non è stata approfondita durante la discussione. L’insegnante si riserva di riprendere la questione in altro momento; inoltre, a livello di affinamento del percorso, si prevede di inserire una domanda specifica nel percorso che sarà sperimentato nel prossimo anno scolastico.
Nel proseguimento della discussione di classe emerge la strategia dell’“aggiungere e togliere”. Nella discussione si promuove il passaggio dalla descrizione delle strategie alla riflessione sui fondamenti della strategia (funzione 2 della spiegazione: spiega perché hai fatto così).
Tale riflessione, oltre a essere funzionale alla prosecuzione del percorso (è importante che emergano strategie per la costruzione dei rettangoli che siano utili per la successiva modellizzazione algebrica della situazione problematica), promuove il passaggio dall’esecuzione alla riflessione e la produzione di argomentazioni legate all’accettabilità dei metodi.
L’insegnante propone allora agli studenti la seguente consegna:
Prova a scrivere perché aggiungendo e togliendo uno stesso numero ai due lati il perimetro non cambia.
Gli studenti dapprima illustrano la strategia attraverso esempi numerici, poi introducono le lettere per evidenziare il fatto che uno stesso contributo dapprima è sommato e successivamente sottratto, per cui i due contributi si annullano (in classe è emersa spontaneamente l’espressione “si neutralizzano”).
Da notare che gli studenti, memori della discussione precedente sulla possibilità di utilizzare misure non intere, scelgono inizialmente una rappresentazione letterale2 in cui è usata una
lettera per la parte intera e una per la parte decimale (X,Y e N,Y)3. In discussione si arriva poi
a una rappresentazione letterale, in cui i due lati del rettangolo di partenza sono rappresentati dalle lettere X e N e M è la quantità che è aggiunta/tolta rispettivamente a X e N per ottenere un nuovo rettangolo4.
Figura 4. Strategia dell’aggiungere e togliere
2 Gli studenti hanno già fatto esperienza di utilizzo delle lettere come strumento di generalizzazione e dimostrazione all’interno del percorso “Pensa un numero” (Testera, Morselli, Sibilla, 2011).
3 Si noti che le misure di base e altezza non hanno necessariamente la stessa cifra dopo la virgola, si pensi per esempio al rettangolo di base 3,2 cm e altezza 6,8 cm.
4 Si può anche notare che le scrittura presenti sulla lavagna sono non corrette, per un uso procedurale e non relazione del segno di uguaglianza. Durante la discussione, insegnante e osservatore hanno deciso di concentrare inizialmente l’attenzione sulla rappresentazione letterale dei due lati, e solo in un secondo tempo di far riflettere sul segno di uguaglianza.
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Gli studenti sono invitati a spiegare la nuova strategia nelle relazioni individuali da svolgere a casa. Alcuni studenti sono in grado di passare dallo spiegare come si trova un nuovo rettangolo allo spiegare perché aggiungendo e togliendo una stessa quantità il risultato non cambia. Elena parte da un esempio numerico e poi passa alla generalizzazione con le lettere.
Figura 5. Elena, relazione individuale
Matteo è in grado di esplicitare anche a parole il fatto che i due contributi si annullano. Da notare che gli studenti, per giustificare la “neutralizzazione”, utilizzano le proprietà delle operazioni studiate in precedenza, in particolare la commutatività dell’addizione.
Figura 6. Matteo, relazione individuale
Conclusioni
Come illustrato nella breve analisi del paragrafo precedente, all’interno del percorso complessivo (finalizzato alla congettura e dimostrazione del fatto che, fissato il perimetro, il quadrato è il rettangolo di area massima) si è aperta una parentesi sulla costruzione dei rettangoli isoperimetrici che ha dato luogo a un’interessante attività argomentativa. Tale parentesi ha creato un ponte tra aritmetica e geometria e ha costituito un’esperienza di riferimento per il proseguimento del percorso.
L’esperienza geometrica nella classe prima ha appassionato i ragazzi fin dall’inizio; ha sgretolato l’errata e innata concezione che la geometria risulti così distante dall’aritmetica, disciplina a loro assai più familiare. Ha accelerato nell’intero gruppo (ragazzi che hanno appena lasciato la scuola primaria) il passaggio dal concreto all’astratto, le attività manipolative di partenza accompagnate da un atteggiamento argomentativo continuo hanno permesso di operare sull’oggetto geometrico in questione arrivando a una modellizzazione algebrica.
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