Stabilit` a dell’equilibrio

Strettamente correlato alle non linearit`a geometriche `e il problema della stabilit`a dell’equilibrio. Osserviamo le due palline rappresentate nella Fig. 5.14, vincolate lungo una superficie curva; entrambe occupano una posizione di equilibrio ma, men-tre la pallina nel punto A si trova in condizioni di equilibrio stabile, la pallina in B occupa un punto di equilibrio instabile. Infatti l’equilibrio si definisce stabile se, perturbando il sistema di una piccola quantit`a dalla sua posizione di equilibrio, es-so si muove in modo da non allontanarsi dal punto di equilibrio per pi`u di quanto non sia stato perturbato; al contrario l’equilibrio `e instabile se, quando perturba-to, il sistema si allontana dal punto di equilibrio, eventualmente muovendosi fino a raggiungere una nuova configurazione. La pallina in A, se allontanata dalla sua posizione, osciller`a intorno a questa e, se il moto dissipa energia, finir`a per tornare di nuovo nella posizione iniziale; la pallina in B invece, se perturbata, si allonta-ner`a dalla posizione che occupava e non potr`a pi`u tornarci; potr`a invece andare a collocarsi nel punto A, occupando anch’essa una posizione di equilibrio stabile.

Vi `e un altro modo, meno generale ma spesso pi`u semplice, per verificare la stabilit`a dell’equilibrio. Nel campo del peso, l’ordinata z della posizione della pallina

130 Capitolo 5 Strutture in acciaio

`

e proporzionale alla sua energia potenzialeE = mgz (m `e la massa, g l’accelerazione di gravit`a); la curva che descrive il vincolo della pallina `e quindi anche il grafico della sua energia potenziale; i punti di equilibrio (A e B) sono punti di stazionariet`a perE:

dE

dx ^{= 0 (5.31)}

ma il punto A, di equilibrio stabile, `e anche un punto di minimo dell’energia poten-ziale, mentre B (equilibrio instabile) `e un punto di massimo. Dunque l’equilibrio `e stabile se l’energia potenziale ha, in quel punto, un minimo. Queste condizioni sono espresse dalle relazioni:

d2 E dx2 > 0 Equilibrio stabile d2 E dx2 = 0 Equilibrio indifferente d²E dx2 < 0 Equilibrio instabile (5.32)

(l’equilibrio indifferente si ha quando, a seguito di una perturbazione, il sistema rimane in equilibrio; nell’esempio di Fig. 5.14 corrisponde ad una pallina posta su di un piano orizzontale).

In un sistema lineare elastico, se si utilizza una teoria del primo ordine, l’e-quilibrio risulta sempre stabile. Infatti in tal caso l’energia potenziale `e somma dell’energia potenziale delle forze e dell’energia potenziale elastica. Per quanto gi`a visto, quest’ultima `e una funzione quadratica della deformazione:

Ee = ¹ 2

Z

V

ε^TGεdV (5.33)

dove G `e la matrice elastica [eq. (3.16)]. Poich´e le deformazioni ε sono funzioni lineari degli spostamenti, l’energia potenziale elastica `e una funzione quadratica di questi ultimi; `e inoltre possibile dimostrare che, per le propriet`a di G, le derivate seconde diEe sono sempre positive³. In una teoria del primo ordine l’energia poten-ziale delle forze `e una funzione lineare degli spostamenti, le sue derivate seconde sono quindi nulle. Pertanto le derivate seconde dell’energia potenziale totaleE = Ee+Ef

coincidono con quelle di Ee e di conseguenza sono positive.

Se si aggiungono i termini non lineari del secondo ordine, il lavoro delle forze non dipende pi`u in modo lineare dalle deformazioni: `e quindi possibile che nel punto di equilibrio l’energia raggiunga un massimo e l’equilibrio sia instabile. In pratica una struttura non pu`o trovarsi mai in una condizione di equilibrio instabile poich´e anche una piccola perturbazione ne produce la perdita di equilibrio. Ma la stabilit`a o l’instabilit`a dipende dall’entit`a delle forze, per cui una posizione di equilibrio stabile pu`o divenire instabile, al crescere delle forze, e questo significa un improvviso collasso della struttura.

3In breve, per una funzione di pi`u variabili, la condizione di minimo richiede che la matrice Hessiana H =h

∂2

E ∂ui∂uj

i

sia definita positiva. Poich´e H ∝ G ed `e facile dimostrare che, per ν < 0.5, G`e definita positiva, ne segue quanto affermato.

5.5 Elementi snelli 131

l/2 l/2

θ

2θ

u

N ^k

l

l/2 l/2

θ

2θ

u

N ^k

l

Figura 5.15: Analisi della stabilit`a dell’equilibrio di un’asta composta da due corpi rigidi connessi con una molla rotazionale.

Nella Fig. 5.15 `e rappresentata un’asta di lunghezza l, vincolata alle estremit`a da una cerniera e da un carrello e composta da due elementi rigidi connessi da una cer-niera elastica di rigidezza k. Questo significa che se le due mezze aste subiscono una rotazione relativa φ, la cerniera reagir`a con un momento kφ. All’estremo vincolato con un carrello `e applicata una forza assiale N . `E evidente che nella sua posizione rettilinea l’asta `e in equilibrio; si vuole indagare per quali condizioni l’equilibrio `e stabile e per quali no.

Facendo rotare le due aste di un angolo θ, rispetto alla condizione di equilibrio, le due aste roteranno relativamente di un angolo 2θ e quindi nella cerniera sorger`a un momento M = 2kθ. L’energia potenziale elastica `e alloraEe= ¹₂M· (2θ) = 2kθ². A seguito della rotazione il carrello ( e quindi la forza) si sposta della quantit`a u = l − 22<sup>l</sup> cos θ = l (1− cos θ). Se si trattano gli spostamenti come infinitesimi (teoria del primo ordine) 1−cos θ ∼ <sup>1</sup>2θ<sup>2</sup> `e infinitesimo del secondo ordine e pertanto u = 0 a meno di infinitesimi di ordine superiore a θ. Se trattiamo gli spostamenti come finiti lo spostamento non `e nullo e quindi l’energia potenziale della forza varia di Ef =−Nu = N (cos θ − 1), per cui l’energia potenziale complessiva `e

E =2kθ²+ N (cos θ− 1) (5.34)

(si osservi che N `e il modulo della forza, pertanto N > 0).

L’equilibrio si verifica quando E `e stazionaria, ossia per ^dEdθ = 0; sostituendo la (5.34) si ottiene dE dθ ^{= 4kθ}− N sin θ = 0 (5.35) ovvero per sin θ = ^4k N^{θ (5.36)}

La (5.36) `e certamente soddisfatta per θ = 0 (asta rettilinea). Se 4k/N > 1 non vi sono altre soluzioni; ma se 4k/N < 1, la (5.36) ha altre due soluzioni, come mostrato nella Fig. ??.

132 Capitolo 5 Strutture in acciaio -2 -1 0 1 2 θ -2 -1 0 1 2 1.^2θ 0.8θ

Figura 5.16: Soluzione grafica dell’equazione (5.36).

Derivando ancora la (5.35) otteniamo: d2

E

dθ^{2 = 4k}− N cos θ (5.37)

Nel punto di equilibrio θ = 0, la (5.37) diviene ^d_dθ^2E2 = 4k− N; per quanto visto prima, l’equilibrio `e stabile solo se 4k− N > 0, ovvero se <sub>4k</sub><sup>N</sup> < 1 (<sup>4k</sup><sub>N</sub> > 1). Dunque la condizione di stabilit`a coincide con quella di esistenza di una sola soluzione delle equazioni di equilibrio. La ragione appare chiara osservando le due curve nella Fig. 5.17, che rappresentano, a meno di un fattore positivo, l’energiaE dell’eq. (5.34); la curva 1 `e relativa ad un valore di α = <sub>4k</sub><sup>N</sup> = <sub>1.2</sub><sup>1</sup> , la curva 2 `e relativa ad α = _0.8¹ . Come si vede la curva 1 ha un solo punto stazionario in A che `e anche un punto di minimo; pertanto in questo caso il punto A `e un punto di equilibrio stabile. La curva 2, invece, ha tre punti stazionari (A, B1 e B2), ma in A la funzione dell’energia potenziale raggiunge un massimo, quindi l’equilibrio in A `e instabile. I punti B1 e B2 corrispondono alle altre due soluzioni della (5.36), che esistono se α > 1, e sono punti di equilibrio stabile.

Riscriviamo l’equazione di equilibrio (5.35) introducendo il coefficiente α, definito prima:

4k (θ− α sin θ) = 0 (5.38)

Poich´e k6= 0, l’equazione precedente `e equivalente alla:

5.5 Elementi snelli 133 -2 -1 0 1 2 θ -0.4 0 0.4 0.8 1.2 E 1 2 A B₁ B₂

Figura 5.17: Energia potenziale del sistema in Fig. 5.15 per due valori del rapporto N/4k.

In prossimit`a del punto di equilibrio θ = 0, si pu`o sostituire sin θ con θ, cos`ı che la (5.39) diviene:

θ (1− α) = 0 |θ| ¿ 1 (5.40)

Questa equazione `e soddisfatta anche per θ 6= 0 (purch´e piccolo in valore assoluto) se 1− α = 0, ossia α = 1. Per tale valore del parametro α l’equilibrio `e indiffe-rente: se il sistema viene (debolmente) turbato dalla sua condizione di equilibrio, resta in equilibrio anche nella nuova configurazione. La configurazione di equilibrio indifferente corrisponde alla transizione tra la condizione stabile (^d_dx^2E2 > 0) e quella instabile.

5.5.3 Stabilit`a dell’equilibrio delle aste compresse: l’asta di

Eulero

Il sistema studiato nel precedente paragrafo, anche se, per la sua semplicit`a, `e utile ad illustrare il problema della stabilit`a delle aste compresse, non rappresenta la realt`a in modo sufficientemente accurato, poich´e generalmente la deformabilit`a di un’asta non `e concentrata in un punto, ma diffusa lungo la sua linea d’asse.

Prendiamo quindi in esame una trave, con vincoli di semplice appoggio, solleci-tata da una forza assiale N di compressione, applicata all’estremit`a vincolata con carrello (Fig. 5.18). La soluzione di questo caso, in una teoria del primo ordine, `e stata trovata nel cap. 4; dalle (4.24) risulta che, in assenza di momenti, gli

sposta-134 Capitolo 5 Strutture in acciaio

u

N

l

w(x)

x

z

A

B

u

N

l

w(x)

x

z

A

B

Figura 5.18: Asta soggetta ad una forza normale nella configurazione perturbata.

menti della linea elastica nelle direzioni ortogonali all’asse della trave sono nulli e pertanto l’asse della trave rimane rettilineo.

Per indagare la stabilit`a dell’equilibrio di questa configurazione, cerchiamo la condizione di equilibrio indifferente, nella quale la trave resta in equilibrio anche in una configurazione debolmente perturbata. Indicando con w (x) la perturbazione, cio`e lo spostamento in direzione z dell’asse della trave, l’equazione di equilibrio tra il momento del secondo ordine, dovuto all’eccentricit`a della forza − |N| w, ed il momento risultante delle tensioni interne −EJy^d

2w

dx2 [vedi (4.19)], si scrive: EJy

d2w

dx2 +|N| w = 0 (5.41)

Poich´e il coefficiente EJy non `e nullo, dividendo per esso tutti i termini della (5.41) e ponendo

α² = |N| EJy

(5.42) se ne ricava la forma equivalente

d2w

dx2 + α²w = 0 (5.43)

La soluzione dell’equazione differenziale lineare ed omogenea (5.43) `e ben nota; essa `e:

w (x) = C1sin (αx) + C2cos (αx) (5.44) dove C1 e C2 sono costanti che devono essere determinate con le condizioni al contorno. Poich´e la trave `e semplicemente appoggiata, queste condizioni sono

5.5 Elementi snelli 135

Dalla prima segue evidentemente che C2 = 0; dalla seconda, tenendo conto del risultato gi`a ottenuto, abbiamo:

w (l) = C1sin (αl) = 0 (5.46)

Se sin (αl) 6= 0, la sola soluzione della (5.46) `e C1 = 0, da cui segue w (x) = 0 ∀x, ovvero la sola configurazione di equilibrio `e (localmente) quella ad asse rettilineo. Ma se sin (αl) = 0, la (5.46) `e soddisfatta identicamente per qualunque valore di C1; siamo quindi nelle condizioni di equilibrio indifferente.

La condizione sin (αl) = 0 `e soddisfatta se αl = nπ, con n intero positivo; tenendo conto della (5.42) questo significa

|N| EJy

= ⁿ

2π2

l2 (5.47)

Fissate le caratteristiche della trave si pu`o determinare il valore di N che soddisfa la precedente equazione. Come `e evidente ve ne sono infiniti, dipendenti dall’intero n. Poich´e noi siamo interessati alla transizione tra lo stato stabile e quello instabile dell’asta rettilinea, `e ovvio che quello che cerchiamo `e il valore pi`u piccolo per |N|, che si ha per n = 1. Il valore di |N| cos`ı ottenuto `e detto carico critico o carico euleriano e corrisponde alla transizione dalla condizione stabile a quella instabile dell’asta compressa. Il carico euleriano NE `e quindi dato dalla relazione:

NE = ^π

2EJ

l2 (5.48)

Nell’equazione precedente `e stata omessa l’indicazione dell’asse (y) rispetto al quale `e calcolato l’asse neutro. In generale infatti una simile analisi pu`o essere condotta per entrambe le direzioni degli assi principali; si otterranno quindi due valori del carico euleriano, quello relativo all’asse y e quello per l’asse z; `e ovvio che il carico euleriano della trave coincide con il minore dei due. Se la trave `e vincolata in ugual modo in entrambe le direzioni, il valore di NE `e proporzionale a quello di J, quindi il carico euleriano della trave si ottiene dalla (5.48) prendendo per J il pi`u piccolo dei momenti d’inerzia della sezione.

Dividendo il carico euleriano NE per l’area A della sezione si ottiene il valore della tensione normale σE per cui l’equilibrio diviene instabile. Ricordando la formula (5.48) abbiamo

σE = ^NE

A ⁼

π2EJ

l2A ^(5.49)

La radice quadrata del rapporto J/A tra il momento d’inerzia e l’area di una sezione ha le dimensioni di una lunghezza ed `e chiamato il giratore d’inerzia della sezione [vedi (A.26)]. Il rapporto tra la lunghezza dell’asta l ed il giratore d’inerzia ρ `e chiamato la snellezza dell’asta in quella direzione; il valore pi`u grande della snellezza, tra quelli corrispondenti alle direzioni degli assi principali, che si ottiene per ρ = ρ<sub>min</sub>, `

e la snellezza dell’asta.

λ = ^l

136 Capitolo 5 Strutture in acciaio

Tenendo presente queste definizioni, la (5.49) diviene

σE = ^π

2E

λ^{2 (5.51)}

La tensione critica euleriana `e dunque funzione solo del modulo elastico del materiale e della snellezza λ.

Nelle considerazioni precedenti si `e fatta astrazione dalla resistenza del materiale. La (5.51) mostra che, per valori piccoli di λ, la tensione critica σE diviene molto grande, superando il valore della resistenza. Vi `e quindi un valore della snellezza λc

per la quale la tensione critica euleriana uguaglia la resistenza del materiale fd:

σE = ^π

2E

λ²_c ^{= fd (5.52)}

da cui segue che

λc= π s

E fd