σ x dydzσy dxdz
4.7 Teoria tecnica della trave
Per una sezione rettangolare (χ = 1.2) e per un materiale con ν = 0.3, il denomi-natore di questa espressione vale 9.36≈ 10; il numeratore `e invece la snellezza della trave; sempre per una sezione rettangolare ρz = h/√
12 e quindi u0z(l) utz(l) ≈ 12 10 µ l h ¶2 ≈ µ l h ¶2
Per definizione la trave `e un solido cilindrico in cui il rapporto tra la dimensione longitudinale l e quella trasversale h `e molto maggiore di uno, quindi (l/h)2 À 1 e questo conferma che, nelle travi snelle, il contributo della deformazione dovuta al taglio `e molto piccolo e pu`o essere trascurato. In taluni casi tuttavia le soluzioni di Saint Venant vengono estese anche alle travi tozze (per le quali l/h ∼ 1); in tali situazioni il contributo della deformabilit`a a taglio diviene paragonabile ed anche maggiore di quello dovuto alla flessione e quindi non pu`o essere trascurato.
4.7 Teoria tecnica della trave
I risultati ottenuti nei precedenti paragrafi dallo studio del problema del solido di Saint Venant (SV) si possono estendere, senza commettere un significativo errore, alle travi reali, ossia a quegli oggetti di forma cilindrica con altezza notevolmente maggiore delle dimensioni delle basi, che sono largamente impiegate nelle costruzioni civili. Ovviamente la validit`a della soluzione ha, per le travi reali, gli stessi limiti di quella del solido di SV e quindi pu`o cadere in difetto in prossimit`a delle basi, quando le condizioni di vincolo non si accordano con lo stato tensionale e deformativo che risulta dalla soluzione di SV. Inoltre la soluzione `e tanto pi`u corretta quanto pi`u la situazione reale meglio approssima quella ideale. Il solido di SV `e sollecitato solo in corrispondenza delle basi, mentre le travi reali sono generalmente caricate lungo il loro asse dal loro peso e dai carichi trasmessi dalle strutture portate (p.es. i solai). Pertanto nel solido di SV il taglio `e uniforme in tutte le sezioni ed il momento varia, al pi`u, con legge lineare. Nelle travi reali invece il taglio pu`o variare per effetto dei carichi distribuiti ed il momento seguire una legge non lineare; tuttavia, se queste variazioni non sono troppo repentine, le tensioni indotte dai carichi nelle sezioni della trave saranno molto simili a quelle calcolate con riferimento al solido di SV in una sezione sollecitata con le stesse risultanti M e V .
A titolo di esempio, confrontiamo i risultati ottenuti applicando le soluzioni di SV ad una trave sollecitata dal peso proprio e da un carico uniformemente distribuito, con quelli dedotti dall’analisi di un modello ad elementi finiti, in cui il problema “esatto” viene risolto numericamente, rispettando tutte le effettive condizioni al contorno. Le caratteristiche geometriche della trave, che ha sezione rettangolare, le propriet`a del materiale ed i carichi sono riassunti nelle tabelle seguenti:
Luce (m) Base (cm) Altezza (cm) Carico (kN/m)
l = 4 b = 5 h = 20 p0 = 25
Modulo Elastico (MPa) Coeff. di Poisson Densit`a (kg/m3)
102 Capitolo 4 La trave
Figura 4.39: Mesh agli elementi finiti della trave.
Il carico complessivo agente sulla trave `e la somma di quello distribuito e del peso proprio. Quest’ultimo risulta
pp = bhγg = 0.05× 0.2 × 7850 × 9.81 = 770 N/ m
e quindi p = p0+ pp = 25.77 kN/ m. Il momento in mezzeria della trave `e pertanto
My(l/2) = pl
2
8 =
25.77× 42
8 = 51.54 kN m
Le tensioni massime si raggiungono nei punti estremi della sezione, che in questo caso hanno ascissa z1,2 = ±h/2 = ±0.1 m. Il momento di inerzia della sezione rettangolare `e Jy = bh 3 12 = 0.05× 0.23 12 = 3.33× 10−5m4 e di conseguenza i valori estremi delle tensioni in mezzeria saranno
σx µ x = l 2, z =±h 2 ¶ = My(l/2) Jy z1,2 = = 51.54× 103 3.33× 10−5 (±0.1) = ±1.546 × 108Pa =±154.6 MPa Ripetendo lo stesso calcolo per x = l/4, si ha My(l/4) = 38.655 kN m e quindi σx
¡l
4,±h2¢
=±115.96 MPa.Nella Fig. 4.39 `e rappresentata met`a trave e la “mesh” con cui `e stata discretizzata. Nella Fig. 4.42 la distribuzione delle tensioni normali σx, sempre per met`a trave, `e rappresentata mediante colori; risulta evidente che l’an-damento regolare delle tensioni `e alterato in prossimit`a della base, dove le tensioni devono annullarsi, mentre la componente σz, mostrata in Fig. 4.41, `e ovunque quasi nulla, come previsto dalla teoria di SV, eccetto nella zona prossima all’appoggio, dove localmente prende anche valori elevati. In modo pi`u quantitativo, i diagrammi delle tensioni normali, calcolati dal modello ad elementi finiti e relativi a due sezioni (x = l/2 ed x = l/4), sono riportati nella Fig. ??. Come si vede l’andamento `e per-fettamente rettilineo, come previsto dalla soluzione di SV; inoltre i valori massimi coincidono con quelli calcolati con le formule della flessione. Nella Fig. 4.43 sono rappresentati, con diversi colori, i valori della tensione tangenziale τxz; anche in que-sto caso l’andamento regolare `e turbato in prossimit`a della sezione terminale, dove
4.7 Teoria tecnica della trave 103
Figura 4.40: Curve di livello delle tensioni normali σx.
Figura 4.41: Curve di livello delle tensioni σz.
`
e evidente una concentrazione verso il punto di appoggio della trave.L’andamento quantitativo di questa tensione nella sezione x = l/4 `e mostrato in Fig. 4.45, ponen-do a confronto i valori ottenuti con il modello ad elementi finiti (EF) con la soluzione approssimata di Jourawski del problema di Saint Venant (SV). L’accordo `e buono, anche se non perfetto; in particolare la soluzione EF non si annulla in corrispon-denza dei punti estremi della sezione. Tuttavia questo `e un difetto della soluzione numerica con elementi finiti, che non riesce a cogliere esattamente le condizioni sul contorno, dove ovviamente le tensioni tangenziali dovrebbero annullarsi. Anche per questo caso si pu`o dunque concludere che la soluzione relativa al solido di SV si pu`o estendere alla trave reale.
Per ampliare i confronti abbiamo preso in esame un’altra trave, di dimensio-ni identiche alla precedente, ma con l’appoggio terminale spostato di un metro, in modo da ottenere una trave con una luce di 3 m ed uno sbalzo di un metro; nella Fig. 4.45 `e illustrato lo schema statico della trave ed il corrispondente diagramma
104 Capitolo 4 La trave -200 -100 0 100 200 σx (MPa) 0 0.05 0.1 0.15 0.2 z (m ) x = l/2 (analitico) x = l/4 (analitico) x = l/2 (E.F.) x = l/4 (E.F.)
Figura 4.42: Confronto tra le tensioni normali calcolate con la teoria di de Saint Venant e quelle ottenute con l’analisi agli elementi finiti.
dei momenti flettenti per il caso che la trave sia soggetta allo stesso carico della precedente, p = 25.77 kN/ m. In corrispondenza dell’appoggio B si verifica una forte concentrazione delle tensioni, dovuta alla reazione vincolare dell’appoggio; questo risulta evidente dalla Fig. 4.46, dove i valori della tensione normale σx, relativamente ad un tratto di trave vicino all’appoggio, sono rappresentati con una scala di colori. Nel grafico in Fig. ?? sono rappresentati i grafici delle tensioni, calcolate con la teo-ria di SV, relative a tre sezioni, poste ad intervalli di 5 cm, partendo dalla sezione sopra l’appoggio; nello stesso grafico sono rappresentati, per punti, i valori ottenu-ti dall’analisi con il metodo degli elemenottenu-ti finiottenu-ti. Nella sezione in corrispondenza dell’appoggio la soluzione ottenuta con gli elementi finiti si discosta apprezzabil-mente da quella del solido di SV, principalapprezzabil-mente nella parte inferiore della trave,
4.7 Teoria tecnica della trave 105 0 -1 -2 -3 -4 τxz (MPa) 0 0.05 0.1 0.15 0.2 z (m ) E.F SV
Figura 4.44: Confronto tra la distribuzione delle tenzioni tangenziali τxz ad x = l/4 calcolata con la teoria di Jourawsky e quella ottenuta dal modello ad elementi finiti.
0 1 2 3 4 x (m) 30 20 10 0 -10 -20 M (k N m ) A B
Figura 4.45: Diagramma dei momenti di una trave appoggiata con sbalzo soggetta a carico uniforme.
106 Capitolo 4 La trave
Figura 4.46: Curve di livello della tensione normale σx nella zona circostante il secondo appoggio della trave di Fig. 4.45.
dove maggiore `e l’effetto della reazione vincolare. Tuttavia, a soli 10 cm di distanza dal punto di appoggio, la soluzione con gli elementi finiti praticamente coincide con quella di SV (linee tratto e punto); si deve anche aggiungere che la schematizzazione dell’appoggio con un vincolo puntiforme `e ovviamente un’astrazione; nella realt`a gli appoggi hanno dimensioni finite e questo comporta una minor concentrazione delle tensioni indotte dalla reazione, che quindi producono una minore alterazione del campo delle tensioni previsto dalla teoria di SV.
I confronti riportati sopra servono a giustificare la teoria tecnica della trave, in cui i risultati relativi al solido di SV vengono estesi alle travi reali, anche se le condizioni richieste dalla soluzione teorica non sono rigorosamente verificate. Possiamo ora riassumere i principali risultati ottenuti:
1. Forza normale e flessione. I valori della tensione normale σx prodotta dalla forza normale e dalla flessione sono dati dalla (4.23):
σx = N A + My Jy z− MJz z y (4.23)
L’equazione della linea d’asse della trave deformata si ottiene quindi integrando le equazioni (4.18), (4.19) e (4.21): du0x dx = N EA (4.18) d2u0z dx2 = −EJMy y (4.19) d2u0y dx2 = Mz EJz (4.21)
2. Taglio. Per sezioni simmetriche (o comunque quando la risultante delle sol-lecitazioni passa per il centro di taglio) le tensioni tangenziali prodotte dalla
4.7 Teoria tecnica della trave 107 -80 -40 0 40 σx (MPa) 0 0.05 0.1 0.15 0.2 z (m) EF x = 3.00 m EF x = 3.05 m EF x = 3.10 m SV x = 3.00 m SV x = 3.05 m SV x = 3.10 m
Figura 4.47: Confronto tra le distribuzioni delle tensioni calcolate con la teoria di de Saint Venant e con il metodo degli elementi finiti, in differenti sezioni prossime al secondo appoggio della trave di Fig. 4.45.
sollecitazione di taglio si possono calcolare con la formula approssimata di Jourawski (4.74):
τxz(x, ¯z) = Vz
S∗ y(¯z)
Jyb (¯z) (4.74)
(analoga relazione si potrebbe scrivere per la componente di direzione y). Le deformazioni prodotte dal taglio possono spesso essere trascurate in confronto a quelle dovute alla flessione. Quando ci`o non `e possibile, il contributo aggiun-tivo alla deformazione della linea d’asse prodotto dalle tensioni di scorrimento `
e dato dalla formula approssimata (4.87) dutz
dx = Vz
GAt
(4.87)
dove At= A/χ `e l’area di taglio della sezione ed il fattore di taglio χ dipende dalla forma della sezione.
3. Torsione. Per la torsione non esiste un’unica formula facilmente applicabile a tutte le sezioni. Per le sezioni circolari (piene e cave) esistono le semplici solu-zioni (4.50) e (4.53). Particolarmente importante `e la soluzione approssimata valida per i tubi di piccolo spessore (4.66)
τxt= Mx
2hΩ (4.66)
Molto utile `e anche la soluzione ottenuta per le sezioni rettangolari sottili [eq. (4.56) e (4.58)] perch´e pu`o essere impiegata per determinare lo stato
ten-108 Capitolo 4 La trave
sionale e la deformazione di qualsiasi profilo aperto realizzato collegando ele-menti circa rettangolari di piccolo spessore (4.62); questo caso comprende la maggior parte delle sezioni in acciaio profilate.