Verifica delle aste snelle: il metodo ω

Un’asta soggetta solo ad una forza assiale `e un’astrazione che non pu`o essere rea-lizzata in pratica. Le cause che inducono eccentricit`a accidentali anche nelle aste idealmente soggette alla sola forza normale sono molteplici; tra le principali possia-mo annoverare l’imperfezione dei vincoli, che trasmettono anche una sollecitazione di flessione, la non perfetta rettilineit`a della linea d’asse della trave, dovuta ai pro-cessi di fabbricazione, la non perfetta verticalit`a, che produce un non parallelismo tra la forza, generalmente verticale, e la linea d’asse, la presenza di altre forze di-rette ortogonalmente all’asse della trave, come la pressione del vento, ecc. Tuttavia queste eccentricit`a sono generalmente piccole e, quando gli effetti sono proporzionali alle cause, possono essere trascurate senza commettere un eccessivo errore. Questo si verifica quando la forza `e di trazione o, se di compressione, `e (in valore assoluto) molto minore del carico euleriano. Infatti dalla (5.61) segue che, se |N| ¿ NE si ha M ' Ne, ovvero vi `e proporzionalit`a tra forza esterna e sollecitazione. Tenendo conto che _N^|N|

E = _σ^|σ|

E e che, per i limiti del materiale,|σ| < fd, la condizione precedente `

e sicuramente soddisfatta se σE À fd, ovvero, per la (5.54), se λ¿ λc.

Quando la forza assiale di compressione si avvicina la carico critico, la formula (5.61) dimostra che anche una piccola eccentricit`a produce un momento estrema-mente grande. Dunque, se la condizione λ ¿ λc non `e soddisfatta, nel progetto delle aste compresse si deve tener conto del termine fornito dalla (5.61), introducen-do anche gli effetti delle eccentricit`a accidentali. La verifica di un’asta soggetta ad una forza N con eccentricit`a e si pu`o quindi formulare

σmax= |N| A ⁺ Mmax W ⁼ |N| A ⁺ |N| e ³ 1− ^|N|_NE´ W = = |N| A ⎡ ⎣1 + ^eA W³ 1− ^|N|_NE´ ⎤ ⎦ = σm ⎡ ⎣1 + ^eA W³ 1− _N^|N|_E´ ⎤ ⎦ ≤ fd (5.62) ovvero σm ≤ ^fd 1 + ^eA W 1−^σm_σE (5.63)

dove σm = ^|N|_A `e la tensione media generata dalla sola forza normale, trascurando l’eccentricit`a. L’equazione precedente si pu`o risolvere rispetto a σm in funzione dell’eccentricit`a casuale e e della tensione euleriana σE (che dipende dalla snellezza). Fissata l’eccentricit`a casuale (che viene determinata con criteri statistici) si pu`o ottenere una funzione γ (λ), tale che la (5.62) `e soddisfatta se

σm

fd ≤ γ (λ) (5.64)

In Fig. 5.21 sono mostrate quattro di tali curve, ottenute per diversi valori di e, dedotte dalle norme UNI-CNR 10011. Le diverse curve, contraddistente con una lettera, si riferiscono a diversi tipi di sezioni, come indicato nella tabella in Fig. 5.22

140 Capitolo 5 Strutture in acciaio 0 1 2 3 /λ_c λ 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 γ = /_f y σ_m a b c d

Figura 5.21: Curve γ = σm/fd relative a quattro differenti tipologie di sezione (UNI-CNR 10011).

5.5 Elementi snelli 141

Tenendo conto della definizione di σm = N/A, dalla (5.64) deduciamo N

A ≤ γfd (5.65)

Questa relazione si scrive abitualmente portando γ a primo membro. Posto ω = _γ¹, si ottiene

N ω

A ≤ fd (5.66)

In questa forma la verifica di un’asta snella soggetta ad un carico assiale si esegue in modo analogo a quello di un’asta tozza, cio`e confrontando la tensione con la resistenza del materiale fd, ma solo dopo aver moltiplicato la forza per il fattore ω. Poich´e, come `e evidente dalla Fig. 5.21, γ ≤ 1, ω, essendone l’inverso, `e maggiore o uguale ad uno; quindi, invece di ridurre la resistenza, si preferisce aumentare la sollecitazione: questo `e in effetti pi`u coerente con la natura del fenomeno, in quanto gli effetti del secondo ordine aumentano le sollecitazioni, ma, ovviamente, non modificano le caratteristiche del materiale.

Oltre che dal tipo di sezione, γ e ω sono funzioni di λ/λce quindi, ricordando la (5.53), anche di E ed fd. Assumendo che il modulo elastico dell’acciaio non cambi in modo significativo insieme alle altre caratteristiche del materiale, rimane che, per ogni tipo di curva, ω `e funzione di λ e di fd. Nelle tabelle riportate nelle Fig. ?? -?? - ??, tratte dalle norme CNR-UNI citate, sono riportati i valori di ω in funzione di λ, per i tre tipi di acciaio previsti nella normativa e relativi alla curva c, che `e valida per la maggior parte dei profili laminati. La normativa attuale non ammette l’impiego di elementi con snellezza maggiore di 200, come elementi principali, e di 250 per gli elementi secondari.

Esempio 5.2 Progettare un pilastro in acciaio di lunghezza l = 400 cm, vincolato alle estremit`a con cerniere, e soggetto ad una forza N = 500 kN, utilizzando un profilato HEB ed un acciaio Fe 510 (f_d= 355 MPa).

Poich´e le dimensioni della sezione non sono note, non conosciamo il valore del giratore d’inerzia ρ e pertanto non possiamo determinare la snellezza λ. Dobbiamo quindi procedere per iterazione:

1. Si fissa un valore di ω di primo tentativo, p.es. ω = 2. 2. Si calcola l’area necessaria (per ω = 2)

A = ^{N ω} f_d ⁼

500 × 2

35.5 ^{= 28.2 cm}

2

3. Si cerca il profilo che approssima (per eccesso) l’area trovata. Dalla Fig. 5.9, si trova per HEB120 A = 34.0 cm², ρ_min= 3.06 cm, pertanto, per questa sezione:

λmax= ^l

ρ_min ^{= 130.72} Nella tabella in Fig. ??, per λ = 131 → ω = 3.87.

142 Capitolo 5 Strutture in acciaio

Figura 5.23: Valori di ω in funzione della snellezza λ per l’acciaio Fe360 (curva c).

4. Si verifica la sezione per i dati effettivi

σ = ^{N ω} A ⁼ 500 × 3.87 34 ^{= 56.9} kN cm2 > fd

Poich´e la sezione non `e verificata si deve iterare il procedimento. Dato che al crescere di ω aumentano le dimensioni della sezione (e quindi ρ), ad una sezione pi`u grande corrisponde una snellezza minore, e dunque anche un minore valore di ω. Pertanto non `e conveniente utilizzare come secondo tentativo il valore di ω trovato, ma uno intermedio tra quello precedente e quello calcolato.

1. Si adotta un nuovo valore di ω = ^2+3.87₂ = 2.93. 2. Si calcola l’area corrispondente

A = ^{N ω} f_d ⁼

500 × 2.93

35.5 ^{= 41.3 cm}

2

3. Si cerca il profilo. Per HEB 140 A = 43 cm² e ρ_min = 3.58 cm, e quindi

λmax= ^l

ρ_min ^{= 111.7} a cui corrisponde ω = 3.02.

5.5 Elementi snelli 143

Figura 5.24: Valori di ω in funzione della snellezza λ per l’acciaio Fe430 (curva c).

4. Si verifica la sezione σ = ^{N ω} A ⁼ 500 × 3.02 43 ^{= 35.1} kN cm2 < f_d La sezione `e verificata ¤

5.5.6 Vincoli

Finora abbiamo studiato il caso di un’asta vincolata alle estremit`a con una cerniera ed un carrello. Spesso gli elementi strutturali sono diversamente vincolati. Nei pilastri, ad esempio, le travi circostanti offrono spesso un vincolo che approssima pi`u un incastro che una cerniera; se non vi sono collegamenti ad elementi molto pi`u rigidi, inoltre, una delle estremit`a dell’asta pu`o essere libera di spostarsi. Ad esempio una mensola verticale `e incastrata alla base e completamente libera in sommit`a.

I metodi di verifica esposti sopra sono tuttavia ancora utilizzabili, modificando la lunghezza dell’asta. A questo fine si definisce la lunghezza libera di inflessione

li = βl (5.67)

ottenuta moltiplicando la lunghezza effettiva l per coefficiente β dipendente dai vin-coli. La verifica si esegue utilizzando la (5.66), ma calcolando il coefficiente ω in funzione della snellezza λ = li/ρ = βl/ρ. Ovviamente, nel caso di travi vincolate

144 Capitolo 5 Strutture in acciaio

Figura 5.25: Valori di ω in funzione della snellezza λ per l’acciaio Fe510 (curva c).

con cerniera e carrello risulta β = 1; per altri casi si possono utilizzare i grafici della Fig. ?? , relativi ai casi in cui gli estremi sono fissi o liberi di spostarsi oriz-zontalmente. Il parametro κ `e il rapporto tra la rigidezza rotazionale del vincolo k (M = kθ) e la rigidezza dell’asta ^EJ_l , per cui

κj = ^kjl

EJ ^{j = 1, 2 (5.68)}

In ciascun grafico, sugli assi sono riportate le rigidezze normalizzate κ dei vincoli ai due estremi delle aste. I punti vicini all’origine corrispondono ad aste incernierate ai due estremi. Nel caso di estremo fisso, si ha il caso dell’asta di Eulero, per cui β → 1; nel caso di estremo libero di spostarsi l’asta diviene labile e quindi β → ∞. Al crescere di κ si va verso la condizione di incastro. I punti sugli assi corrispondono al caso di incastro e cerniera; nel primo grafico β → 0.7, nel secondo β → 2. I punti sulla diagonale per l’origine sono relativi ad aste con vincoli simmetrici; per κ→ ∞ (doppio incastro) β→ 0.5 nel primo grafico e β → 1 nel secondo.

Le norme CNR-UNI 10011 suggeriscono di assumere β = 0.7 (invece di 0.5) nel caso di vincoli di doppio incastro e β = 0.8 (invece di 0.7) nel caso di vincoli di incastro e cerniera. Questa scelta `e ovviamente prudenziale e dipende dalla difficolt`a di realizzare un vincolo di perfetto incastro.

Un pilastro pu`o essere vincolato diversamente nelle due direzioni; ad esempio i pilastri del telaio in Fig. 5.27 si possono considerare incastrati alla base e, nella

5.5 Elementi snelli 145 0.525 0.55 0.575 0.6 0.625 0.65 0.675 0.7 0.725 0.75 0.775 0.8 0.825 0.85 0.875 0.9 0.925 0.95 0.775 Estremo Fisso κ₁ κ2 10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10^-1 10⁰ 10¹ 10² Estremo Libero κ₁ κ2 1.16 1.3 1.47 1.66 1.88 2.12 2.39 2.7 3.05 3.44 3.89 4.39 4.96