Stima dei parametri di item e capacità

La situazione più difficile da risolvere, ma anche la più comune, è quella in cui devono essere

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stimati sia i parametri degli item che la capacità; in questo caso è necessario prendere in considerazione simultaneamente tutte le risposte a tutti gli item di tutti i soggetti.

La funzione di verosimiglianza con N soggetti che rispondono a n item, assumendo l'indipendenza locale, è

(

)

=∏ ∏ = − = n i U ij U ij N j N d a bc P Q u u u L 1 1 1 2 1, ,..., , , , dove U u_ij j

u modello di risposta del soggetto j agli n item

d vettore degli N parametri di capacità

a, b, c vettori dei parametri degli item per gli n item

Considerando che:

a. il numero dei parametri degli item è n nel modello con un parametro, 2n nel modello con due parametri e 3n in quello con tre,

b. il numero di parametri di capacità è N,

il numero massimo di parametri da stimare è 3n+N.

Prima di procedere con la stima è necessario affrontare il problema dell'indeterminatezza. Nella funzione di verosimiglianza vista in precedenza i parametri degli item e di capacità non sono determinati in maniera unica.

La funzione per l'item relativa al modello con tre parametri

( )

(

)

( ₍ ) ₎ i i i i b d Da b d Da i i i e e c c d P −₋ + − + = 1 1 i=1,2,...,n

Se in tale equazione sostituiamo β

+ =

→d ad

d * _b→b*_{=ab+β a→a}* _{=a α}

la probabilità di una risposta corretta rimane invariata ovvero

( )

_{d P}

( )

_d*

P =

Siccome i valori di α e β sono costanti e arbitrari, la funzione di verosimiglianza non avrà un

massimo unico ovvero sarà indeterminata e quindi non consentirà di cercare il massimo valore di

verosimiglianza.Tale problema non esiste nella stima di d quando i parametri degli item sono noti o nella situazione

parallela in cui i parametri degli item sono stimati disponendo dei parametri di capacità.

Il problema dell'indeterminatezza può essere risolto scegliendo una scala arbitraria per i valori di capacità e per i valori di b, per esempio standardizzando gli N valori di capacità e gli n valori di difficoltà. Ciò consente di confrontare le stime dei parametri degli item effettuate su gruppi diversi. Una volta eliminata l'indeterminatezza, è possibile determinare i valori dei parametri di capacità e degli item che massimizzano la funzione di verosimiglianza.

Una delle procedure che consente di fare ciò è la stima congiunta della massima verosimiglianza (joint maximum likelihood estimation) che viene eseguita in due fasi (stage):

1ª fase

o scelta dei valori iniziali per il parametro di capacità per ciascun soggetto:

logn (numero di risposte corrette / numero di risposte scorrette)

o standardizzazione di tali valori per eliminare l'indeterminatezza;

o stima dei parametri dell'item, considerando noti i valori di capacità;

2ª fase o stima dei parametri di capacità, considerando noti i valori di dei parametri dell'item.

Tale procedura viene ripetuta secondo vari passaggi (step) fino a quando i valori delle stime non cambiano tra due successivi passaggi.

La procedura congiunta di massima verosimiglianza anche se concettualmente convincente presenta degli svantaggi:

a. non consente stime per capacità perfette o con punteggio zero;

b. non consente stime dei parametri per quegli item ai quali tutti i soggetti hanno risposto correttamente (o scorrettamente);

4. I modelli cumulativi. L’approccio probabilistico

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c. non produce stime consistenti22 dei parametri di item e capacità per il modello con tre

parametri.

E' possibile superare alcuni di tali problemi utilizzando un approccio alternativo che produce stime Bayesiane ottenute utilizzando distribuzioni a priori.

Il problema dell'inconsistenza delle stime congiunte di massima verosimiglianza è dovuta alla simultanea stima dei parametri degli item e di capacità. Tale problema però scompare se i parametri degli item possono essere stimati senza fare alcun riferimento ai parametri di capacità ma a specifiche distribuzioni dei parametri di capacità, considerando i soggetti estratti causalmente da una popolazione. Ne risultano stime di massima verosimiglianza marginale (marginal maximum

likelihood estimes) che presenta positive proprietà asintotiche: le stime dei parametri degli item

sono consistenti ovvero si avvicinano al valore del parametro all'aumentare del numero di soggetti. Per poter ottenere la funzione di verosimiglianza marginale dei parametri degli item, è necessario approssimare la distribuzione di capacità. Per una buona approssimazione della distribuzione di capacità è importante disporre di un grande numero di soggetti ovvero la procedura di massima verosimiglianza marginale dovrebbe essere applicata solo in presenza di un campione ampio di soggetti.

Una volta stimati i parametri degli item con tale procedura, le stime dei parametri degli item possono essere utilizzate per stimare le capacità utilizzando il metodo visto in precedenza.

Oltre alle procedure di stima di massima verosimiglianza, di massima verosimiglianza marginale e

Bayesiana esistono altre procedure, così riassumibili:

• Procedura di stima congiunta di massima verosimiglianza (Lord 1974, 1980), applicabile ai modelli con uno, due e tre parametri; i parametri di capacità e degli item sono stimati simultaneamente.

• Procedura di stima di massima verosimiglianza marginale (Bock & Aitkin 1981), applicabile ai modelli con uno, due e tre parametri; la stima della capacità avviene successivamente a quella degli altri parametri.

• Procedura di stima di massima verosimiglianza condizionale (Andersen 1972, 1973, Rasch 1960), applicabile solamente al modello ad un parametro; la funzione di verosimiglianza è condizionata sul numero di punteggi corretti.

• Procedure di stima Bayesiana congiunta e marginale (Mislevy 1986, Swaminathan & Gifford 1982, 1985, 1986), applicabile ai modelli ad uno, due e tre parametri; si definiscono distribuzioni a priori attribuite ai parametri degli item e di capacità, eliminando così alcuni dei problemi, come l'impropria stima dei parametri e la mancanza di convergenza, che si hanno con le procedure di massima verosimiglianza marginale e congiunta.

• Procedura di stima euristica (Urry 1974, 1978), applicabile principalmente ai modelli con due e tre parametri. • Procedure basate su analisi fattoriale non-lineare (McDonald 1967, 1989), applicabile al modello con due

parametri e ad un modello modificato con tre parametri in cui i valori c sono fissi.

Nel documento I modelli di scaling. Confronto tra ipotesi complesse per la misurazione del soggettivo (pagine 82-84)