Assumiamo che le imprese siano monopoliste, i consumatori miopi e che non ci sia riapprovvigionamento dell’inventario; consideriamo un singolo prodotto, c’è una sola decisione di prezzo in ogni t , indicata con p(t) , che conduce ad una sola domanda d(t,p) .
L’insieme dei prezzi disponibili è indicato con W , mentre W indica l’insieme delle domande.
Le funzioni di domanda godono di alcune proprietà: - sono differenziabili e decrescenti, d' (t, p) < 0 su W - sono limitate superiormente e inferiormente a zero La funzione dei ricavi r(t, p) = pd (t, p) :
- è finita per tutti i valori p Î W ed ha un massimo finito in W - il ricavo marginale è una funzione della domanda (d) definita da:
- Modelli deterministici
Il più semplice modello di prezzo deterministico è formulato in un tempo discreto come segue. Dato un inventario iniziale x (0) = C, selezioniamo una sequenza di prezzi p(t) (provocando tassi di domanda di d(t,p(t)) che massimizzano il ricavo totale. Formulando il problema in termini di tasso di domanda d(t), il tasso ottimale d*(t) deve risolvere:
max ∑
,
54
d(t)≥
Sia ! ∗ il moltiplicatore di Langrange sul vincolo di inventario e ricordiamo che J(t,d)= #
#$% &, denota il profitto marginale. Quindi le condizioni di primo ordine
necessaria per il tasso ottimo d*(t) e il moltiplicatore ! ∗
J(t,d*(t))=' ∗,
soggetto alla condizione di scarto complementare
' ∗ − ∗ =
E tenuto conto del vincolo di non negatività del moltiplicatore
' ∗≥ Per descrivere il modello a parole, possiamo:
• interpretare il moltiplicatore di Lagrange π * come il costo-opportunità marginale della capacità
• indicare con la condizione J t,( d (* t)) = π * che il ricavo marginale dovrebbe eguagliare il costo opportunità marginale della capacità in ogni periodo; questo ha senso perché i ricavi marginali e i costi non sono bilanciati, quindi, dobbiamo riallocare le vendite da un periodo con ricavi marginali alti ad un periodo con ricavi marginali più bassi.
• dire attraverso le condizioni di complementarietà che i costi opportunità non possono essere positivi se c’è un eccesso di stock.
Per fare un esempio, si pensi a un’impresa, soggetta a un vincolo di capacità, in ogni periodo essa decide quanto vendere e l’allocazione ottimale della capacità; la situazione ottimale si ha quando il ricavo marginale in tutti i periodi è il solito.
55 3.2.1 Approccio Computazionale
Riportiamo un semplice approccio computazionale attraverso il quale possiamo implementare il problema formulato sopra; si tratta di un algoritmo greedy, basato sull’osservazione passo per passo dei ricavi marginali.
In particolare, discretizziamo la capacità C in M unità di ampiezza δ , così che C = Mδ .
L’algoritmo procede allocando la domanda in ammontare discreti di δ . - Passo 0 - inizializzazione:
inizializza la soluzione d(t) = ,0 t = 1,...,T. inizializza il contatore k=0
- Passo 1 – valutazione dei ricavi marginali: se max {J t,( d(t))} > 0
incrementa la domanda del ricavo marginale più alto del periodo t*: d(t*) ← d (t*) + δ altrimenti, se max {J t,( d(t))} ≤ 0 STOP (Soluzione ottimale corrente)
- Passo 2 – controllo dei vincoli di capacità e ripeti se k=M
STOP;
altrimenti k ← k +1 e torna al passo1
Riportiamo un esempio il funzionamento dell’algoritmo
Consideriamo due periodi, nel primo periodo la domanda è data da:
= − + 100 Nel secondo periodo la domanda è data da:
= −2 + 120
I consumatori nel secondo periodo sono più price- sensitive rispetto a quelli del primo periodo. Il comportamento di acquisto è assunto essere myopic.
Consideriamo separatamente il prezzo di massimizzazione, i ricavi nel primo periodo dato da:
56 e per il secondo periodo è dato da:
∗ = 30 - ∗ = 60 (max % = (−2 + 120)
Supponiamo che la capacità delle risorse dell’azienda sia di 40. Come dovrebbe dividere la vendita tra i due periodi?
Considerando la tabella 3.2.1 il profitto totale è massimizzato nel punto in cui i valori marginali per i due periodi sono approssimativamente gli stessi (quando d1=27 e d2=13); se essi non sono uguali, l’impresa dovrebbe riallocare la capacità delle proprie risorse al maggiore periodo di valore marginale.
Tabella 3.2.1: allocazione della capacità tra due periodi 1 e 2 , valore marginale e ricavi totale. D1 D2 J(1,d1) J(2,d2) R 22 18 56 42 2634 23 17 54 43 2646,5 24 16 52 44 2656 25 15 50 45 2662,5 26 14 48 46 2666 27 13 46 47 2666,5 28 12 44 48 2664 29 11 42 49 2658,5 30 10 40 50 2650 31 9 38 51 2638,5 32 8 36 52 2624 33 7 34 53 2606,5
57 Per vedere qualitativamente quanto il prezzo cambia nel tempo, possiamo scrivere la condizione di ottimali come:
∗ & − ! ∗
∗ & = |4 &, |1
dove 4 &, è l’elasticità della domanda nel periodo t, definita:
4 &, = &, 5 &,5 - Prezzi discreti
Una pratica spesso preferita è scegliere i prezzi da un insieme discreto; ad esempio, prezzi vicino alla cifra tonda, i cosiddetti “prezzi civetta” (€24.99 o €149.99) o percentuali di sconti definite, sono spesso usati poiché familiari ai consumatori e facili da capire.
In certi casi è desiderabile vincolare il prezzo in un insieme k finito di prezzi, in modo che p(t) ∈ Ω , dove Ω p = {p1,..., pk } e in modo equivalente, vincolare le domande d(t) in un insieme discreto d(t) ∈ Ωd , dove Ωd = {d1,..., dk }, indicando con di(t) =d(t,pi)
che i tassi di vendita al tempo t che usano il prezzo pi .
L’applicazione di prezzi discreti genera, però, delle complicazioni all’applicazione dei modelli, poiché i problemi non sono più continui ma possiamo aggirare il problema utilizzando un rilassamento del problema stesso in cui sostituiamo delle combinazioni convesse dei prezzi discreti.
Nel problema dei prezzi discreti, certi prezzi possono non essere mai ottimali e possono essere eliminati dal problema. Supponiamo che per un prezzo dato pj esistono pesi convessi 78(t) tale che:
%8 & 78 & > %9 & :
58 %8 & 78 & ≤ 9 &
: 8
Il prezzo 9 non è mai ottimale al tempo t. Ne consegue che una combinazione convessa di altri prezzi produce più alti ricavi che non consumano più capacità di quella che si sarebbe consumata usando il prezzo 9.
- Effetto di deplezione dell’inventario
Un altro fattore che influenza il prezzo nel contesto del mercato al dettaglio è il problema delle cosiddette “rotture di stock” ovvero della non disponibilità in inventario di un particolare prodotto o di una sua versione (colore, taglia).
Gli studi condotti hanno dimostrato che esiste una correlazione positiva tra i livelli di inventario e i tassi di vendita; in particolare, la riduzione delle alternative riduce i tassi di vendita a qualsiasi prezzo dato.
Questi effetti di deplezione dell’inventario devono essere modellati: ; t, x(t)) =
d(t)g(x(t)) dove g(.) è il termine che indica l’effetto di deplezione; chiameremo, quindi, d(t) i tassi di vendita non corretti e ;(t, x(t)) quelli corretti.
Due possibili scelte per g(.) sono:< = 1 − = max>0,1 − ?@A? B < = -CDEFGHI, C J JKL Dove I è il minimo inventario e 0 ≤ = ≤ 1 è il parametro di sensibilità.
Il problema di massimizzazione dei ricavi verrà formulato come:
r(d(t)g(x(t))
MN $ O P G O & = 1 … R
S G OT G O C$ O PUG O V O G S WI
59 3.3 Un Retail Markdown - Applicazione
In questo paragrafo diamo uno sguardo allo studio proposto da Heching che applica un modello di pricing deterministico per analizzare il markdown praticato dai retail operanti nel settore dell’abbigliamento.
L’ impresa analizzata da Heching è un retailer dell’abbigliamento femminile con approssimativamente 50 store negli Stati Uniti.
I dati includono la maggior parte delle vendite dell’impresa durante la primavera del 1993 che coprono 184 modelli in 25 gruppi.
Le vendite settimanali sono ottenute per ogni modello venduto durante questo periodo. Di tutti i modelli presenti nei dati, le imprese impiegano il markdown su 60 modelli (markdown style). I restanti 124 modelli non subiscono cambiamenti di prezzo.
Il markdown style rappresenta il 42% del fatturato lordo. Il totale delle vendite settimanali andavano dal 70% della media nelle settimane più deboli al 130% della media nelle settimane più forti. I dati confermano una domanda del tipo price – sensitive. Dopo l’adeguamento per l’andamento stagionale, la probabilità condizionata dell'aumento delle vendite, dato un Markdown, è dell’ 85%, mentre la probabilità incondizionata di un aumento è stata solo 38%. Le vendite di quasi tutti i modelli hanno una tendenza a diminuire nel corso del tempo. La figura 3.3(a) mostra le vendite settimanali per modello dove nessuna politica di markdown è applicata durante la stagione delle vendite. Il grafico 3.3(b) mostra le vendite settimanali per modello con markdown applicato alla sesta settimana. Il grafico 3.3 (b )mostra in declino delle vendite nelle settimane antecedenti al cambiamento del prezzo.
60 Grafico 3.3 (a):Vendite settimanali per modello con no markdown durante le vendite di stagione