Tecniche di prezzo su prodotto singolo con ri approvvigionamento

individuali sono stati individuati mentre l’ errore medio nel profitto totale a livello di style è stato solo del 1,2%; l’errore nel profitto totale di tutti i 60 markdown style è stato dello 0,53%.

Il modello è stato poi usato per stimare l’effetto del cambiamento nelle politiche di markdown delle imprese su 60 markdown styles.

Le politiche di markdown delle imprese sono state comparate con i markdown raccomandati da un modello RM che combina un semplice metodo forecasting con un modello di price-dinamico deterministico. Ogni settimana la funzione i domanda è stata restimata ed un prezzo ottimale è stato calcolato, basato su questa domanda stimata. Il nuovo prezzo è stato attuato se risultato inferiore al 20% rispetto al prezzo iniziale (un markdown minimo del 20%). I risultati sono mostrati in tavola 3.3 (c) Come si evince dalla tabella il profitto aumenta del 4,8%. Questo guadagno è dovuto:

1. Ad una migliore selezione di quali modelli (stili) mettere a markdown; 2. Tenere markdown precedenti su stili che sono marked down

Tavola 3.3(c): risultati di differenti poliche di markdown su 60 markdown styles Model-Based Policy Firm’s Policy

Numero di markdown 33 60 Average markdown 25,3% 25,8% Average markdown settimana 4,3 8,6 Profitto incrementale 4,8% -

3.4 Tecniche di prezzo su prodotto singolo con ri - approvvigionamento

In questo paragrafo illustreremo quei casi in cui l’inventario può essere rifornito in ogni periodo, come accade realmente in molti contesti di produzione.

Le decisioni di prezzo vengono usate per il controllo della domanda, mentre le decisioni di rifornimento sono usate per il controllo di capacità; il problema centrale è coordinare in modo ottimale queste decisioni

62 - Modelli deterministici

Assumiamo di trattare un singolo prodotto con un periodo di fine inventario denotato da x(t). Si ha un costo unitario ℎ_O per l’inventario nel periodo t e un costo unitario per rifornimento @_O.

y(t) indica l’ammontare ordinato nel periodo t. Analogamente al caso di rifornimento finito la domanda d(t), il ricavo r t,( d(t)) e il ricavo marginale Jt,(d) , rispettano tutte le proprietà dette precedentemente.

- Capacità non vincolata

Consideriamo il caso in cui non ci sia un vincolo di capacità sull’ammontare ordinato in ogni periodo; il problema può essere formulato trovando un insieme di tassi d (* t) e quantità riordinate y (* t) che risolvono:

Max ∑ % &, & − ℎS_{O 8} & @₈[ & R = & − 1 − & + [ R

& , & , & & ≥ 0

assumendo per semplicità un inventario iniziale x(0)= 0 .

Definiamo i coefficienti di costo, ovvero il costo per soddisfare la domanda del periodo t con rifornimento nel periodo s, come: =_\O = @_\+ ∑OC_{: \}ℎ_:

63 Indichiamo il costo più basso per rifornire il periodo t come: =*(t ) =min M]^_{\_O}>=_\OA La soluzione ottimale si ottiene uguagliando il ricavo marginale a questo più basso costo marginale:

J t,( d* (t)) = γ *( t) t = 1,...,T

e di conseguenza, la quantità ottimale da ordinare nel periodo s è semplicemente determinata come somma delle stime di domanda calcolate:

= ∗ ` = ∗ & ` = 1, . . . , R

O:\∗ O \

Da notare che in base a questa formulazione, anche se le funzioni di domanda sono invarianti nel tempo, il prezzo ottimale può ancora variare in base ai cambiamenti nel costo di fornitura; in altre parole, poiché le condizioni di ottimalità eguagliano il ricavo marginale al costo marginale, i cambiamenti nei costi potranno condurre a prezzi diversi pur rimanendo invariata la funzione dei ricavi.

- Vincoli di capacità sugli ordini

Il problema diventa più complesso quando ci sono dei vincoli di capacità sulle quantità da ordinare tipicamente della forma di: y(t) ≤ bt t = 1,...,T

Tali vincoli, per esempio, potrebbero essere dovuti alla produzione limitata, alla capacità di trasporto o di gestione.

Se si discretizzano le quantità vendute, possiamo risolvere il problema usando un algoritmo greedy:

dato un vettore delle domande d = (d 1( ),..., d(T )) definiamo:

b = % &, & − <

S O

64 dove g(d) è il costo minimo per ottenere i tassi di vendita d, definiti risolvendo il

seguente problema di ottimizzazione:

< = M]^ ℎO & + @O[ & S

O

& = & − 1 − & + [ & [ & ≤ XO & = 1 … . R

& , [ & ≥ 0 & = 1 … . R

Per convenienza nozionale, t e indica la t-esima unità del vettore (con un 1 nella t-esima componente e 0 in tutte le altre) e d indica l’incremento di discretizzazione.

L’algoritmo è definito dai seguenti passi: - Passo 0 – inizializzazione:

d = (d(1),..., d(T)) = (0,...,0)

- Passo 1 – calcolo dei valori marginali: FOR t=1,…,T DO:

calcola b + c-_O

- Passo 2 – ricerca del più grande incremento marginale:

sceglie l’indice t* per cui il guadagno marginale b + c-_O − b è più grande IF b + c-_O − b ≤ 0STOP (trovata una soluzione ottimale)

ELSE ← c-_Oe GO TO Passo1

In parole, ad ogni passo l’algoritmo aggiunge un incremento cdi domanda al periodo t che cede il più alto guadagno netto b + c-_O − b e si ferma nel momento in cui nessun periodo produce più un guadagno netto positivo.

65 3.5 Prezzi multi - prodotto e multi - risorsa

Le versioni multi prodotto e multi risorsa dei problemi di prezzo dinamico vengono utilizzate in molte applicazioni; in questo caso due sono i fattori fondamentali che influenzano il prezzo:

1) la domanda per i prodotti può essere correlata, ad esempio, quando i prodotti sono sostitutivi o complementari, se il prezzo cambia per uno di essi, la modifica ha effetto anche sulla domanda di quello collegato. Quindi, le aziende gestiscono in modo congiunto il prezzo della famiglia di tali prodotti e considerano effetti di elasticità incrociati quando determinano la strategia di prezzo ottimale.

2) Due prodotti possono essere collegati da vincoli di capacità congiunta; ad esempio, due prodotti possono richiedere la stessa risorsa che è disponibile in quantità limitata. In questa sezione vedremo come modellare queste situazioni.

- Modelli deterministici senza rifornimento

Si hanno n prodotti, indicizzati da j ed m risorse, indicizzate da i . C’è un orizzonte di T periodi, ogni periodo indicizzato da t .d = (d1,…, dn) è il vettore delle domande per n prodotti p(t,d) indica la funzione di domanda inversa al tempo t .

Assumiamo che la funzione del ricavo r(t,d) soddisfi le condizioni di regolarità dette precedentemente.

Il prodotto j usa una quantità aij di risorse i .

La matrice A=[aij] descrive i materiali necessari per gli n prodotti. Assumiamo che ci siano capacità limitate C=(C1,…,Cm) delle m risorse. Il problema può essere formulato come: trovare una sequenza di vettori di domande d*(t) che massimizza il ricavo totale dell’azienda rispettando i vincoli di capacità C.

max ∑ % &, &S_O e & ≤ f

S O

66 & ≥ 0 & = 1 … R

r(t,d) è concava in d e le seguenti condizioni sono necessarie e sufficienti per caratterizzare una soluzione ottimale d*(t) :

g &, ∗ _{R = e}S_!∗ _{& = 1 … R}

!∗S _{f − e & = 0}

S O

!∗ _{≥ 0}

dove J (t, d) è il vettore del valore marginale e !* è il vettore dei costi opportunità marginali per le m risorse. La prima condizione ci dice che ai tassi di vendita ottimali, il ricavo marginale per ogni prodotto j dovrebbe eguagliare il costo opportunità marginale delle risorse usate dal prodotto.

La seconda condizione ci dice che il costo opportunità marginale della risorsa i può essere positivo solo se il vincolo di capacità corrispondente per la risorsa i è rispettato. Infine, la terza condizione richiede che i costi opportunità marginali siano non negativi. Il programma lineare così descritto è relativamente facile da risolvere numericamente, poiché la funzione obiettivo è concava e i vincoli sono lineari

- Modelli deterministici con rifornimento

Possiamo formulare i modelli multi-prodotto con rifornimento nel modo seguente:

max ∑ % &, &S_O − ℎ₈S & − @₈O[ &

67 [ & ≤ XO

& ≤ 0 & , [ & ≤ 0

dove x(t) è un vettore m-dimensionale delle capacità residue alla fine del periodo t, y(t) è un vettore m-dimensionale della quantità ordinate nel periodo t, ℎ_O è il vettore dei costi dell’inventario, @_O è il vettore dei costi degli ordini e X_O è il vettore dei vincoli di capacità sulle quantità degli ordini.

L’introduzione della variabile sullo stato dell’inventario rende questo problema difficile da risolvere; spesso si utilizzano delle euristiche basate su algoritmi greedy.