Telaio

In gura 5.11 è possibile osservare il modello del telaio completo della bicicletta. Esso esclude unicamente le sospensioni e le ruote, che sono a lui collegate tramite le porte siche che comunicano con l'esterno, e verranno analizzate in seguito.

É facile notare che i giunti utilizzati tra i vari pezzi sono solo di due tipi, in quanto altrettanti sono i casi possibili:

• non può avvenire alcun movimento reciproco tra due corpi, nel qual

caso c'è un collegamento diretto tra le rispettive porte;

• il movimento è una semplice rotazione, che comporta l'utilizzo di un

revolute joint a un solo grado di libertà rotazionale.

Tutti i giunti appartenenti a questa seconda categoria, inoltre, non hanno nessuna meccanica interna, in quanto vengono ipotizzati ideali: a titolo di

Figura 5.11: Modello del telaio.

esempio, la rotazione reciproca tra foderi orizzontali e verticali non viene in- uenzata da una qualche forza generata dal giunto che li collega, ma solo dalla presenza della sospensione posteriore, che ne impedisce il libero movimento. Si noti che il collegamento tra il movimento centrale e il telaio è di tipo diretto, allo stesso modo che tra il movimento centrale e i pedali. Questo non corrisponde alla realtà, dove invece tutti questi corpi possono ruotare gli uni rispetto agli altri. A dierenza di quanto fatto per il ciclista, dove certi movimenti sono stati in linea di principio concessi e solo successivamente limitati, in questo caso non sono proprio stati contemplati per un motivo ben preciso: l'assenza di rotazione del movimento centrale non è dovuta ad una forza interna alla bicicletta ma al ciclista, che bilancia le forze espresse dalla gamba destra e sinistra in modo che i pedali restino fermi. L'inserimento nel modello di un tale livello di logica sarebbe stato molto complesso, per cui si è voluto evitare la problematica semplicemente vietando i suddetti movimenti.

5.6.2 Ruote

Le ruote sono composte da due parti: il cerchione, provvisto di raggi, e il copertone. Entrambe le componenti sono state impostate con un sistema di riferimento posto nel loro centro geometrico, che corrisponde al mozzo della ruota; inoltre, il copertone possiede una seconda terna che è stata fatta coincidere con il suo punto più basso, ovvero il punto di contatto con il terreno.

Nel collegamento tra il mozzo delle ruote e il telaio è stato ovviamente in- serito un grado di libertà rotazionale. Tuttavia, il motivo di tale inserimento è diverso da quello che ci si potrebbe aspettare: esso non serve a permettere alla ruota di rotolare a terra, bensì a simulare la salita o discesa di tratti scon- nessi di terreno. Infatti, per motivi di semplicità del modello, la simulazione avviene senza considerare gli attriti longitudinali nel contatto tra copertone e terreno: il risultato è che le ruote, anziché rotolare, si comportino come se stessero scivolando. La semplicazione che questo comporta risiede nel fatto che il punto di contatto col terreno sia sempre lo stesso; quando la bicicletta comincia a salire o scendere un tratto con una certa pendenza (il comporta- mento del terreno verrà analizzato in dettaglio nel paragrafo dedicato, il 5.7), il punto di contatto continua comunque a rimanere sulla verticale dello pneu- matico e, per fare in modo che la bicicletta si inclini, il telaio è costretto a ruotare attorno ai mozzi.

Il punto di contatto tra copertone e terreno deve necessariamente ave- re almeno un grado di libertà. Si è appena detto che esso rimane sempre sulla verticale, quindi certamente non è necessaria alcuna libertà rotaziona- le. Considerando che si vuole modellizzare l'elasticità dello pneumatico e la sua azione ltrante, il contatto potrebbe essere schematizzato, ad una prima analisi, con un singolo grado di libertà traslazionale nella direzione verticale;

ad esso andrebbe poi applicata tutta la meccanica interna.

Questo grado di libertà è ovviamente corretto, ma non è l'unico che si deve consentire: ad un'analisi più attenta ci si renderebbe conto che così facendo si starebbero vincolando le due sospensioni a comprimersi l'una in relazione all'altra. Infatti, senza il grado di libertà longitudinale si starebbe imponendo che il passo ruota sia sso; tuttavia

• la sospensione anteriore si comprime lungo una direzione che non è

la verticale: una sua compressione determina un avvicinamento della ruota anteriore a quella posteriore, accorciando di conseguenza il passo ruota (si noti che anche a seguito della compressione o estensione di una sospensione è necessario che il telaio ruoti attorno al mozzo, per potersi inclinare di conseguenza);

• nonostante la sospensione posteriore compia un movimento assiale, la

relativa ruota segue una traiettoria circolare per eetto del manovel- lismo che collega queste due componenti della bicicletta. Non essen- do verticale nemmeno il movimento della ruota posteriore, anch'essa determina una variazione del passo ruota.

Se l'interasse fosse mantenuto sso a causa di un'errata scelta del giunto da inframezzare nel contatto tra pneumatico e terreno, ad una compressione del- la sospensione anteriore corrisponderebbe un movimento di quella posteriore al ne di mantenere il passo costante.

É necessario dunque concedere due gradi di libertà traslazionali: il ver- ticale e il longitudinale; purtroppo non esiste un blocco in Simscape che permetta due movimenti traslazionali e nessun rotazionale; l'unico blocco che vincoli completamente la rotazione e permetta almeno due traslazioni è il cartesian joint, che le permette tutte e tre. Tuttavia ciò non rappresenta

un problema in quanto è già stato spiegato come bloccare un movimento no- nostante il giunto lo permetta: è suciente impostare a valori molto elevati i parametri di elasticità e smorzamento della meccanica interna lungo quella direzione. Per quanto riguarda la direzione longitudinale, invece, essa può essere mantenuta libera (elasticità e smorzamento nulli); viceversa la dire- zione verticale deve essere impostata in modo che vengano rappresentati due fenomeni:

• se il terreno si sposta verso il basso ad una velocità superiore a quella che può raggiungere la ruota, potrebbe avvenire un distaccamento tra i due corpi;

• quando invece essi sono a contatto, la ruota non si comporta come un

corpo rigido ma possiede una certa elasticità.

Si tratta di una situazione analoga alle due già discusse in precedenza ri- guardo al contatto tra piede e pedale e tra sella e sedere, che viene risolta nuovamente con un blocco di conversione da Simscape 3D a 2D e un bloc- co di ne corsa. Il limite superiore di quest'ultimo blocco viene impostato ad un valore molto alto e non raggiungibile; viceversa, il limite inferiore è ovviamente impostato a zero. La costante elastica si basa sul valore di ri- ferimento presente in letteratura ([4, pp. 658-663]). Esso è stato ricavato per una pressione dello pneumatico di 2.76bar ma, se venisse rapportato alla pressione di 2bar alla quale sono stati eseguiti tutti i test di confronto di questo lavoro, fornirebbe il valore kt = 72_mmN . Per quanto riguarda invece il valore dello smorzamento, il valore utilizzato deriva da quello discusso in [5] (ct = 0.0017_mmNs), dove si fa riferimento ad uno pneumatico da strada; esso è stato aumentato lievemente (ct = 0.002_mmNs) per tener conto del fatto

Figura 5.12: Modello delle ruote. Il grado di libertà rotazionale in corrispondenza del mozzo è stato inserito dal lato del telaio e non è quindi visibile qui.

che la ruota in questione sia di una bicicletta da sterrato, che ha quindi un battistrada maggiore e una pressione di gonaggio minore.

Complessivamente ogni ruota è stata modellizzata con lo schema presente in gura 5.12.

5.6.3 Sospensione anteriore

La sospensione anteriore è formata da due steli con una corsa di 100mm. La sua caratteristica è stata identicata come segue:

• per quanto riguarda il comparto elastico, il precarico è di circa 250N

mentre la costante elastica si attesta a circa 6 N mm;

• lo smorzamento ha la stessa forma descritta dall'equazione 4.1 presenta-

ta per la sospensione tradizionale posteriore, ma cambiano ovviamente sia i parametri che la velocità a cui varia la pendenza della retta in compressione: F =              0.6 · v, v < 0 1.0 · v, 0 ≤ v < 500mm_s 0.3 · v + 350, v ≥ 500mm_s (5.1)

Ovviamente tutti i parametri appena introdotti sono da intendersi per l'intera sospensione e non per singolo stelo.

Data la non linearità della caratteristica di smorzamento, l'implementa- zione del modello della sospensione è praticamente identica a quella intro- dotta nel paragrafo 4.5; in quel caso si era voluto sostituire tutta la parte elettrica del modello completo della sospensione elettromeccanica con una lookup table bidimensionale e un generatore di forza posto in parallelo alla molla. Le modiche da apportare sono sostanzialmente due:

• in questo caso la tabella può essere semplicemente monodimensionale,

in quanto la forza espressa dipende solo dalla velocità di stroke (nel modello della sospensione elettromeccanica c'era un secondo ingresso rappresentato dal valore della resistenza del DCbus);2

• occorre fare in modo che il modello, che nel capitolo 4 era stato ovvia-

mente ricavato in Simscape 2D, si interfacci col modello multibody della bicicletta che si sta ricavando.

Per capire come soddisfare questo secondo vincolo bisogna prendere in consi- derazione le componenti in questione della bicicletta, che sono gli steli della sospensione e la forcella. I primi devono scorrere all'interno della seconda, quindi i sistemi di riferimento da impostare all'interfaccia tra i vari pez- zi devono avere l'asse z orientato allo stesso modo dell'asse dei cilindri in questione. In questo modo le porte siche che sono appena state create pos- sono essere collegate inframezzando tra loro un blocco prismatic joint, che consente appunto lo scorrimento reciproco.

2_{Con ogni probabilità esistono diversi settaggi per la sospensione anteriore, allo stes-}

so modo in cui era possibile modicare la caratteristica di damping di quella posteriore tradizionale. Tuttavia l'identicazione della caratteristica per altre impostazioni non è disponibile.

Figura 5.13: Modello della sospensione anteriore della bicicletta. É stata mantenuta la suddivisione tra i due steli della forza espressa. Le non linearità della forza di smorzamento sono state modellizzate tramite una lookup table che fornisce il valore di forza ad un generatore.

Siccome la parte elastica della sospensione è lineare (almeno nché non vengono raggiunti i ne corsa) è possibile sfruttare la meccanica interna del giunto ed inserire il valore della costante elastica della sospensione (avendo cura di dividerla per due per spartire la forza tra i due steli). Invece, per tener conto del precarico, della non linearità dello smorzamento e del fatto che la corsa sia vincolata tra 0mm e 100mm, non serve fare altro che sfruttare il solito blocco che converte il mondo 3D in 2D e collegarci in parallelo il modello della sospensione ricavato in precedenza, e dal quale sia stata elimi- nata la molla (già modellizzata all'interno del giunto). Complessivamente si ottiene il risultato mostrato in gura 5.13.

5.6.4 Sospensione posteriore

L'ultima componente rimasta da analizzare facente parte della bicicletta è la sospensione posteriore. Esistono tre possibili implementazioni:

• il modello della sospensione tradizionale, di cui ancora non si è mai

parlato (sono state discusse solo le sue caratteristiche) ma che non pre- senta alcuna dierenza concettuale rispetto alla sospensione anteriore appena introdotta;

• il modello elettromeccanico semplicato, dove tutta la parte elettrica è

stata sostituita da una lookup table bidimensionale, come mostrato nel paragrafo 4.5;

• il modello elettromeccanico completo, la cui simulazione però, soprat-

tutto nell'ambito di questo modello multibody, è proibitiva in termini di tempo impiegato.

Sono state implementate tutte e tre le possibilità; nel momento in cui si vuole eseguire una simulazione è possibile scegliere, tra le altre cose, quale delle tre soluzioni utilizzare.

Come è sempre successo n'ora, anche in questo caso esiste una commi- stione tra mondo 3D e 2D. In ognuno dei tre modelli che si vogliono presentare la parte 3D non varia, in quanto le componenti siche in gioco sono sempre le stesse.3 _{Essa è costituita fondamentalmente dal cilindro e dal pistone, che}

3_{Ad onor del vero è giusto specicare che la componentistica della sospensione tra-}

dizionale è diversa da quella della sospensione elettromeccanica. Tuttavia le dieren- ze, in termini di ingombri e soprattutto di manovellismo, sono irrisorie considerando che nell'installazione della nuova sospensione sono state fatte solo piccole modiche agli attacchi.

Figura 5.14: Modello della parte 3D della sospensione posteriore.

si collegano rispettivamente al telaio e al fulcro attraverso dei supporti che concedono dei gradi di libertà, come mostrato in gura 5.14.

Per quanto riguarda invece il comportamento meccanico, verranno ora distinti e discussi brevemente i tre casi esposti prima.

Sospensione tradizionale Il concetto di base è identico a quello della sospensione anteriore; le dierenze riguardano il fatto che la forza è espressa da un singolo corpo e non da due, come succedeva per i due steli, e il valore dei parametri: la costante elastica, inserita nella meccanica interna del giunto

tra pistone e cilindro, è di 32.5 N

mm; il precarico ha un valore di 600N, la

corsa totale è di 50.8mm e la lookup table rispetta i parametri che erano già stati introdotti nella tabella 4.3 (è possibile simulare una qualsiasi delle congurazioni identicate). Ne consegue il modello completo mostrato in gura 5.15.

Figura 5.15: Modello della sospensione posteriore tradizionale.

Sospensione elettromeccanica semplicata La realizzazione 2D di tale sospensione è già stata ampiamente discussa nel paragrafo 4.5; non bisogna fare altro che farla interagire col modello multibody. In particolare, il blocco molla può essere eliminato a favore dell'utilizzo della meccanica interna del giunto tra cilindro e pistone; inoltre, la velocità di stroke utilizzata come secondo ingresso alla lookup table dell'ammortizzatore non è più fornita da un sensore apposito di velocità ma dal giunto stesso. Il modello completo è visibile in gura 5.16.

Sospensione elettromeccanica completa Inne si riporta anche il mo- dello completo della sospensione elettromeccanica, già introdotto nel para- grafo 4.4. Di nuovo, la molla viene spostata dal lato 2D a quello 3D; invece, a dierenza dei precedenti, in questo caso il valore di velocità non è neces- sario, in quanto non è presente alcuna lookup table. Ne risulta il modello di gura 5.17.

Figura 5.16: Modello semplicato della sospensione posteriore elettromeccanica.

5.7 Terreno

La sollecitazione di tutto il sistema costruito nora nasce dalle irregola- rità del terreno e si trasmette alla bicicletta e al ciclista attraverso i punti di contatto tra le ruote e il terreno stesso. Esso è schematizzato semplicemente da due zolle quadrate al cui centro appoggiano gli pneumatici. Nel paragra- fo 5.6.2 si era detto che il punto di contatto viene mantenuto sso nel punto più basso dello pneumatico, in quanto nel modello non è stato riprodotto il movimento di rotolamento delle ruote. Di conseguenza anche il terreno non scorre sotto la bicicletta: le due zolle rimangono sse e le asperità vengono riprodotte facendole muovere verticalmente secondo un certo prolo e man- tenendole sempre parallele a loro stesse. Ciò signica che nel riprodurre una discesa o una salita il terreno non si inclina, ma semplicemente si abbassa o si alza, rispettivamente. Dato che si può assumere con un buon grado di accuratezza che la ruota posteriore rotoli al di sopra dello stesso terreno su cui sia rotolata quella anteriore, il movimento della zolla posteriore è lo stesso di quella anteriore a meno di un ritardo nel tempo legato al passo ruota e alla velocità con cui si assume che la bicicletta stia procedendo. Nonostante nel paragrafo 5.6.2 si fosse discusso il fatto che il passo ruota non rimanesse costante ma dipendesse dalla compressione delle sospensioni, il ritardo nel movimento del terreno posteriore è stato mantenuto costante e relativo al passo ruota che la bicicletta ha quando è completamente scarica.

Il movimento del terreno viene generato nel seguente modo:

• oltre alla terna inserita in corrispondenza del punto di contatto con

lo pneumatico, ne è stata inserita una seconda con la stessa origine e orientamento del sistema assoluto;

hanno la direzione z orientata verticalmente, proprio lungo la direzione nella quale si deve muovere il terreno. Essi vengono collegati tramite un blocco prismatic joint, che consente quindi movimenti assiali proprio lungo questa direzione;

• tra le opzioni del giunto, viene sfruttata quella che permette di utilizzare un input esterno per imporgli un certo movimento. Siccome il world reference è ovviamente sso, il movimento imposto dall'input viene rispettato facendo muovere la terna dall'altro lato, che è collegata alla zolla del terreno.

Si hanno ora a disposizione due porte, una per la zolla anteriore e una per quella posteriore, alle quali collegare un segnale che determinerà il movimen- to dell'intero sistema. Il modo con cui questo segnale viene generato sarà argomento del prossimo paragrafo.

5.8 Funzioni di input