Università degli Studi dell’Aquila - Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Civile e Ambientale
Fisica Generale II - Prova scritta d’esame dell’ 11 gennaio 2017 ore 15:00 Nome e Cognome: ………..……. Matricola:….…....……CFU…………
Si ricorda che le soluzioni dei problemi del compito vanno consegnate usando un UNICO foglio protocollo.
Problema 1
Un cilindro non conduttore di raggio R ed infinitamente lungo è uniformemente carico nel suo volume con densità di carica ρ. Esso è racchiuso da una buccia cilindrica conduttrice coassiale ed elettricamente neutra, di raggi interno 3R ed esterno 4R. Determinare:
a) Il vettore campo elettrico in tutto lo spazio. (punti 3)
b) Le densità di carica di superficie indotte sulla superficie interna e quella esterna della buccia cilindrica. (punti 2)
c) La differenza di potenziale fra un punto generico dello spazio ed un punto di riferimento arbitrario sull’asse del sistema. (punti 3)
d) Il lavoro speso da un operatore esterno per portare una carica Q dall'asse del sistema alla superficie del cilindro non conduttore carico. (punti 2)
Problema 2
Il condensatore C del circuito in figura è un condensatore piano (superficie S, distanza d) riempito lungo il suo spessore (d) da due dielettrici diversi (ε1, ε2) in parti uguali. Inizialmente i due interruttori sono aperti e a t=0 si
chiude T1.
a) Calcolare la capacità del condensatore C (punti 1)
b) Calcolare la corrente che esce dalla batteria a t=0 (punti 2)
c) Dopo molto tempo si chiude T2, calcolare la corrente che esce dal generatore nell’istante in cui si chiude T2. (punti 3)
d) Dopo molto tempo si apre di nuovo T1. Calcolare il tempo necessario affinché la corrente su R2 sia pari alla metà del suo valore massimo dalla chiusura di T2. (punti 4) Dati: S=8cm2, d=0.05cm, ε
1= 15, ε2= 20, V=15V, R1=10 Ω, R2=20 Ω R3=30 Ω.
Problema 3
Tre fili conduttori rettilinei indefiniti e paralleli sono disposti a distanza d l’uno dall’altro. Una spira quadrata di lato L giace nel piano dei fili, anch’essa a distanza d. La spira ha resistenza R. I tre fili sono percorsi dalle correnti i1, i2 e i3 con i2 variabile nel tempo. Calcolare:
a) il campo magnetico in A (centro della spira) dovuto ai 3 fili al tempo t=0; (punti 3)
b) la forza per unità di lunghezza sul filo 3 al tempo t=0 (trascurando l’apporto della spira); (punti 2)
c) la resistenza R della spira sapendo che a t = 0 la corrente indotta vale is0 ; (punti 3) d) la carica che è circolata nella spira da t = 0 a t =∞. (punti 2)
Dati:
d= 10 cm; L= 2d = 20 cm; i1= 100 A; i3 = 200 A i2 = i0 e-t/τ dove i0 =300 A e τ = 10 s; is0 = 5.5 10-7 A
Soluzioni Problema 1
Scegliamo un sistema di riferimento in cui l’asse del sistema coincida con l’asse z di un sistema di coordinate cilindriche (r, , zϕ ). Il cilindro centrale non è conduttore e quindi esso genera un campo elettrico che non dipende dalla presenza della buccia. Per la simmetria cilindrica evidente del sistema il campo elettrico Ec in tutto lo spazio sarà del tipo:
( ) c=E rc ˆr
E u
ovvero radiale e a simmetria cilindrica. Applicando il teorema di Gauss ad una generica superficie cilindrica coassiale al sistema di raggio r e lunghezza L si ottiene:
( ) 0 2 0 2 in 0 0 2 0 r 0 r R 2 R R r 3R 2 r E r R 3 R 3R r 4R 2 r r R r 4R 2 r ρ ⎧ < < ⎪ ε ⎪ ⎪ ρ < < ⎪ ε ⎪⎪ = ⎨ ρ σ ⎪ + < < ⎪ ε ε ⎪ ⎪ ρ > ⎪ ε ⎪⎩
L’equilibrio elettrostatico è ora garantito se il campo elettrico è nullo all’interno della buccia. All’equilibrio dunque:
( ) 2 in in in 0 0 0 R 3 R 1 R R 1 E r 0 3R r 4R 0 3 R 2 r r 2 r 6 ρ σ ⎛ρ ⎞ = < < ⇒ = + = ⎜ + σ ⎟ ⇒ σ = − ρ ε ε ε ⎝ ⎠ Da qui: out 3 in 1 R 4 8 σ = − σ = ρ
Il campo elettrico totale è dunque:
( ) 0 2 0 2 0 r 0 r R 2 R R r 3R 2 r E r 0 3R r 4R R r 4R 2 r ρ ⎧ < < ⎪ ε ⎪ ⎪ ρ < < ⎪⎪ ε = ⎨ ⎪ < < ⎪ ⎪ ρ > ⎪ ε ⎪⎩
Sia ora r la posizione di un arbitrario punto dello spazio. Consideriamo, come punto
arbitrario dell’asse del sistema, l’origine del sistema di coordinate cilindriche che abbiamo utilizzato. La differenza di ponteziale tra r e l’origine è:
( ) ( ) ( ) ( ) r 0 0 V V V 0 d dr ' E r ' Δ = − = −
∫
⋅ = −∫
r r r l E Dunque: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r 2 0 0 0 R r r 2 2 2 0 0 0 0 R R 3R r 2 0 0 3R 4R r 2 0 0 4R 0 r R V dr ' r ' r 2 4 R R R r R r 3R V dr 'E r ' dr 'E r ' dr ' 1 2 log 4 2 r 4 R R 3R r 4R V dr 'E r ' dr 'E r ' 1 2 log 3 4 R r 4R V dr 'E r ' dr 'E r ' 1 2 l 4 ρ ρ < < Δ = − = − ε ε ρ ρ ρ ⎡ ⎛ ⎞⎤ < < Δ = − − = − − = − ⎢ + ⎜ ⎟⎥ ε ε ε ⎣ ⎝ ⎠⎦ ρ < < Δ = − − = − + ε ρ > Δ = − − = − + ε∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
r r r r ( ) r 2 2 0 0 4R R R 3r og 3 dr ' 1 2 log 2 r 4 4R ρ ρ ⎡ ⎛ ⎞⎤ − = − ⎢ + ⎜ ⎟⎥ ε ε ⎣ ⎝ ⎠⎦∫
Un operatore esterno agisce sulla carica Q con una forza data da: fext = −QE
cioè uguale ed opposta a quella elettrica. Il lavoro fatto dall’operatore esterno è dunque: ( ) ext 0 0 W d Q d Q V ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⋅ = ⎜− ⋅ ⎟= Δ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
∫
∫
r r l f l E rNel caso del problema: ( ) 2
0 R W Q V R Q 4 ρ = Δ = − ε Problema 2
a) I due dielettrici all’interno del condensatore piano formano 2 condensatori in serie; la capacità equivalente è data da: ! = !!!!
!!!! =
!!!!!!!!
!(!!!!!)= 241!" b) La corrente che esce dal generatore con T1 chiuso è: !! = ! !
!!!! = 0.50! c) Appena chiuso T2, la corrente si ripartisce tra i rami R2 e C-‐R3 quindi:
!! = !(!!+ !!)
!! !! + !! + !!!! = 0.68!
d) Appena si riapre T1 il condensatore si scarica su R2 ed R3. Quindi la corrente che scorre nel ramo è data da: ! ! = !"!" = !"! !!!!!! = !!
! ! !!!
con τ = C(R2+R3) = 12ns e Q0 la carica massima del condensatore: !! = ! ! ! !!!!!! Il tempo cercato sarà quindi ottenuto da: I(t) = !!
Problema 3
a) Il campo magnetico in A è diretto lungo l’asse z (il verso è positivo se uscente dal piano):
!! 0 = − !!!! 2!4!+ !!!! 2!3!− !!!! 2!2!= !! 2! −3!!+ 4!!− 6!! 12! = −5 10!!!
b) !!! = !!!" ×!! dove !! 0 = −!!!!!!!! +!!!"!!! = 5 10!!! diretto lungo z
La forza per unità di lunghezza è:
!! = !!!! 0 ! = 0.1
! !!
c) La corrente i2 è variabile nel tempo e quindi induce una !. !. !. = −!!! !" = − ! !" !!!" = − ! !" !!!! !!"! !" = − ! !" !!!!! !! !" !! !! = !!!"!!! ! ! !!" !! !! !"2 ! =!. !. !. (0) !!(0) = !. !. !. (0) !!! = 1.5 !
d) Se la f.e.m. indotta va come e-‐t/τ , anche la corrente indotta ha la stessa dipendenza: !! = !!!!!!! e quindi: ! = !!!!! ! ! ! ! !" = !!!! = 5.5 10!!!
