1
Università di Pisa
Dipartimento di Economia e Management
Corso di Laurea Magistrale in Banca, Finanza Aziendale e Mercati
Finanziari
La valutazione delle Opzioni Reali:
metodi ed algoritmi
Relatore
Candidato
Prof. Riccardo Cambini
Tommaso Barbieri
Matr. 569901
2
Abstract
L’incertezza è stata spesso connotata con un’accezione negativa. A riguardo degli investimenti irreversibili deve essere riconosciuto che l’incertezza invece crea opportunità.
La valutazione della componente incerta insita in un progetto non può essere valutata esclusivamente facendo riferimento a strumenti di analisi statici, come il Valore Attuale Netto o, in generale, i metodi che utilizzano i flussi di cassa scontati.
Questi metodi non riescono ad intercettare, e quindi valutare, la flessibilità manageriale con la quale può essere gestito un investimento irreversibile.
L’analisi delle opzioni reali sembrava rappresentare, all’inizio del nuovo millennio, lo strumento opportuno per dare un valore alle interazioni tra irreversibilità, incertezza e la scelta del timing giusto per investire.
Per poter comprendere i fondamentali di questo approccio, che presenta notevoli sfumature di complessità, è necessario dotarsi dei giusti metodi matematici per capire la rappresentazione del valore di un progetto come processo stocastico. È importante inoltre, saper sfruttare i notevoli progressi della computazione elettronica, che permettono, tramite l’utilizzo di software come Matlab e l’implementazione in esso di algoritmi di risoluzione dei problemi complessi, una rappresentazione intuitiva delle potenzialità del metodo delle opzioni reali.
Questa tesi vuole evidenziare le intuizioni e le potenzialità dell’approccio delle opzioni reali e fornire una panoramica di alcune nozioni basilari della valutazione delle opzioni finanziarie, necessarie da acquisire per poter comprendere le complessità delle principali applicazioni di questo approccio del capital budgeting che integra i metodi standard.
3 Indice
1. INTRODUZIONE ...5
2. LE OPZIONI ...7
2.1 Opzioni Finanziarie ...7
2.1.1 Specifiche delle Opzioni...7
2.1.2 Proprietà Fondamentali delle Opzioni ... 10
2.1.3 Dividendi ... 14
2.2 Opzioni Reali... 16
2.2.1 Un nuovo approccio all’investimento sotto incertezza ... 16
2.2.2 Tassonomia delle opzioni reali ... 19
2.2.3 Il concetto sviluppato con un esempio ... 21
2.2.4 Proprietà Fondamentali delle Opzioni di Investire ... 26
2.2.5 Ricerca accademica e applicazione pratica ... 32
2.2.6 Capital Budgeting tradizionale vs nuovo approccio ... 35
3. METODI MATEMATICI PER LA VALUTAZIONE DELLE OPZIONI ... 42
3.1 Modello di valutazione di Black & Scholes & Merton ... 42
3.1.1 Processi Stocastici e natura randomica del mercato ... 42
3.1.2 Processi stocastici per i prezzi delle azioni ... 44
3.1.4 Lemma di Ito ... 51
3.1.5 Soluzione in forma chiusa di Black-Scholes-Merton ... 55
3.1.5 Alternative a Black-Scholes-Merton ... 62
3.2 Modello degli alberi binomiali ... 68
3.2.1 Assenza di arbitraggi e mondo neutrale al rischio ... 68
3.2.2 Random Walk Binomiale ... 75
3.2.3 Alberi Binomiali ... 79
3.2.4 Parametri per costruire un albero binomiale ... 82
4
3.3.1 Processo di soluzione ... 85
3.3.2 Metodi generali di soluzione ... 86
3.3.3 Esempi di opzioni reali semplici ... 87
3.4 Procedure Numeriche ... 93 3.4.1 Metodo Montecarlo ... 93 4. CONCLUSIONI ... 98 5. BIBLIOGRAFIA ... 100 5.1 Libri ... 100 5.2 Articoli... 101
5
1. INTRODUZIONE
In un ambiente economico altamente incerto come quello odierno, in cui a volte il lancio di un prodotto si caratterizza come novità assoluta, le decisioni strategiche dovrebbero essere prese dotandosi di metodi di valutazione coerenti con le particolarità che emergono nell’analisi.
Incertezza, irreversibilità e tempistica sono tre caratteristiche intrinseche di un investimento che fanno sì che non sia possibile evitare la valutazione della flessibilità manageriale insita in un progetto.
Queste tre peculiarità interagiscono tra di loro, creando l’opportunità di intraprendere la valutazione di un progetto considerando la possibilità di effettuare scelte come:
• la postposizione dell’investimento iniziale, in ragione di un’informazione che arriverà nel futuro;
• la riduzione o l’espansione della scala del progetto iniziale, in ragione sempre del mutamento futuro delle condizioni del contesto, sia a livello macroeconomico che a livello microeconomico.
Non risulta possibile valutare questo tipo di interazione solo tramite le metodologie standard del capital budgeting, fondate sull’attualizzazione dei flussi di cassa attesi futuri e che basano la decisione di investire sulla differenza positiva tra i suddetti flussi e l’investimento iniziale. Occorre utilizzare anche uno strumento che sia in grado di valutare progetti che si basano su decisioni necessariamente contingenti, o influenzati dall’incertezza in maniera tale che l’attesa di nuova informazione si rende sensata al fine di evitare perdite oltre misura.
Inoltre, è evidente anche la necessità di rendere il più possibile oggettive le decisioni di investimento.
Mentre i metodi tradizionali si basano sulla ricerca di un tasso di sconto risk-adjusted, che si carica di una forte componente soggettiva, l’approccio delle opzioni reali sembra essere la giusta risposta per vari motivi:
• Allinea le decisioni ai metodi dei mercati finanziari, che utilizzano un’ottica di neutralità al rischio per mantenere più oggettività possibile;
• legano le decisioni di investimento alla valutazione di uno strumento come le opzioni finanziarie, che per sua natura è dedicato allo sfruttamento del potenziale positivo dell’incertezza;
• rendendo la decisione contingente, oltre ad aumentare il valore del potenziale positivo dell’incertezza, limita la perdita causata da un esito sfavorevole.
6 Seppur dotato di una forte carica intuitiva, che rende subito evidente la sua potenzialità, l’approccio delle opzioni reali richiede l’approfondimento di alcune tematiche decisamente complesse, nonché un’attenta analisi dei dettagli che devono essere curati nell’impostazione di applicazioni sofisticate.
Essendo la natura della tesi prettamente compilativa, non è stato possibile impostare un’applicazione sofisticata. Si è dato risalto ad alcuni aspetti basilari della valutazione delle opzioni finanziarie come:
• il contesto e le regole di funzionamento del mercato delle opzioni non esotiche; • la rappresentazione dei prezzi quotati come processi stocastici;
• le principali caratteristiche dell’analisi riguardante il valore di un’opzione fatta da Black e Scholes (da ora in avanti, B&S) e Merton, che ha portato all’ottenimento di una formula chiusa per valutare le opzioni europee;
• l’approccio semplificato di Cox, Ross e Rubestein (da ora in avanti, CRR) per valutare le opzioni, anche americane, tramite gli alberi binomiali;
• il significato di assenza di arbitraggio e principio di neutralità al rischio; • i limiti degli approcci classici e le potenzialità delle estensioni;
• l’implementazione dei metodi matematici, tramite algoritmi scritti nel software Matlab, per avere un riscontro grafico e numerico delle soluzioni, che possa agevolare la comprensione.
7
2. LE OPZIONI
2.1 Opzioni Finanziarie
12.1.1 Specifiche delle Opzioni
Un’opzione è uno strumento finanziario derivato che, a fronte di un pagamento immediato, dà il diritto a chi lo detiene, ma non l’obbligo, di comprare/vendere un asset a una certa data e a un certo prezzo.
Esistono due tipi fondamentali di opzioni, le call e le put:
1) La call dà il diritto di comprare l’asset a una specifica data, chiamata maturità o scadenza, a un determinato prezzo, denominato strike price o prezzo d’esercizio. 2) La put dà il diritto di vendere l’asset a una specifica data e a un determinato prezzo. Un’altra distinzione fondamentale riguarda la possibilità di esercizio dell’opzione:
• se l’esercizio può avvenire solo alla scadenza, allora l’opzione sarà europea;
• se l’esercizio può avvenire in qualsiasi momento prima della scadenza sarà americana.
Tralasciando per un istante il valore temporale del denaro, l’opzione ha un profitto definito come la differenza tra due grandezze con diversa manifestazione temporale:
1) Il ricavo o payoff, che si manifesta al momento dell’eventuale esercizio. 2) Il costo che viene sostenuto al momento dell’acquisto.
Considerando K come lo strike price e 𝑆𝑇 come il valore dell’asset sottostante alla maturità, l payoff di un’opzione europea è definito come:
• 𝑚𝑎𝑥(𝐾 − 𝑆𝑇, 0) per una put; • 𝑚𝑎𝑥(𝑆𝑇 − 𝐾, 0) per una call.
8
Figura 1 - Payoff Call
Figura 2 – Payoff Put
È quindi evidente la natura asimmetrica del payoff dell’opzione; tale natura deriva dal fatto che l’esercizio avverrà solo se è nell’interesse del detentore, non essendoci nessun obbligo. Questo rende diverse le opzioni dai futures.
Le opzioni difatti rispondono in maniera “estrema” alle variazioni del sottostante, con un effetto chiamato di leva. Inoltre, in caso di mancato esercizio la perdita è corrispondente al 100% dell’investimento in opzioni, cioè è pari all’intero premio pagato per l’acquisto.
Le opzioni possono essere detenute “nude” per puro intento speculativo riguardo l’andamento del prezzo del sottostante, oppure possono essere utilizzate come copertura o
9 riduzione del rischio di un altro investimento. Gli asset sottostanti alle opzioni sono le azioni, le valute, i futures e gli indici azionari.
Oltre al detentore, va considerata la controparte in un contratto di opzione; chi vende l’opzione (denominato di solito writer) ha un incasso iniziale, ma è esposto ad una possibile perdita. La sua posizione è totalmente speculare a chi detiene l’opzione.
Figura 3 – Posizioni su opzioni
È utile ricordare alcune specifiche contrattuali delle opzioni:
1) le date di scadenza sono parametrizzate sul mese di scadenza. Ad esempio, una January Call su FCA è una call su azioni FCA con scadenza gennaio.
La scadenza precisa è fissata per le 22:59 del sabato che segue il terzo venerdì del mese, con la scadenza della possibilità di esercitare fissata per le 16:30 del terzo venerdì del mese, con il broker che deve avvertire la borsa dell’esercizio dell’opzione entro le 22:59 del giorno dopo.
Le opzioni vengono trattate su tre cicli, gennaio, febbraio e marzo: • a gennaio sono trattati i mesi di gennaio, aprile, luglio e ottobre. • A febbraio sono trattati febbraio, maggio, agosto e novembre. • A marzo sono trattati marzo, giugno, settembre e dicembre.
2) I prezzi di esercizio delle opzioni sono decisi dalle borse, per quelle su azioni gli strikes sono di solito distanziati da 2,5$, 5$ 𝑜 10$, a seconda che il prezzo sia fino a 25$ maggiore di 25$ o 200$.
10 L’opzione può trovarsi in tre stati:
1) In The Money (ITM), comportando un flusso di cassa positivo se esercitata immediatamente.
2) At The Money (ATM), comportando un flusso di cassa nullo se esercitata immediatamente.
3) Out of The Money (OTM), comportando un flusso di cassa negativo se esercitata immediatamente.
2.1.2 Proprietà Fondamentali delle Opzioni
Sono fondamentalmente sei i fattori che influenzano il prezzo di un’opzione scritta su un’azione:
Variabile Call Europea Put Europea Call Americana Put Americana
Prezzo azione + - + - Prezzo d’esercizio - + - + Vita residua ? ? + + Volatilità + + + + Tasso d’interesse + - + - Dividendi - + - +
Tabella 1 – Fattori influenzanti
1) Essendo il payoff di un’opzione la differenza tra prezzo dell’azione e prezzo d’esercizio è immediato capire le relazioni in tabella, le call aumenteranno di valore se aumenta il prezzo d’azione e viceversa, mentre le put avranno una relazione inversa col prezzo.
2) Per il prezzo d’esercizio vale esattamente il discorso opposto, più è alto e meno valore avranno le call, mentre le put beneficiano di un prezzo d’esercizio che aumenta.
3) Per la vita residua, le americane valgono di più perché più vita residua significa più possibilità di esercizio. Per le europee è incerto l’effetto.
4) Se la performance del titolo può essere molto brillante o molto modesta il possessore di opzioni vede aumentare i propri vantaggi, a prescindere dal diritto posseduto, dato che entrambi i tipi di opzione hanno un downside risk limitato al premio pagato.
11 5) I dividendi fanno diminuire il prezzo delle azioni nel giorno di stacco, pertanto hanno
un effetto positivo per le put e negativo per le call.
Per quanto riguarda i limiti superiori e inferiori delle opzioni, considerando 𝑆𝑡 come il prezzo al tempo t del sottostante, 𝐾 come lo strike price, 𝑟 come il tasso risk-free, T come indice temporale della maturità, 𝑝𝑡 e come prezzo rispettivamente della put e della call europee (per ora assumendo che non ci siano pagamenti di dividendi) ad un qualsiasi tempo t, abbiamo queste relazioni.
( 𝑆𝑡 − 𝐾 𝑒−𝑟 (𝑇−𝑡) )+ ≤ 𝑐𝑡 ≤ 𝑆𝑡 (2.1) ( 𝐾 𝑒−𝑟(𝑇−𝑡) − 𝑆 𝑡 )+ ≤ 𝑝𝑡 ≤ 𝐾 𝑒−𝑟 (𝑇−𝑡) (2.2)
Come già detto, una call, a prescindere che sia americana o europea, dà al possessore il diritto di comprare un’azione a un certo prezzo. Quindi il prezzo dell’opzione non potrà mai superare la quotazione del sottostante, altrimenti evidenti opportunità di arbitraggio potrebbero sorgere.
Di converso, una put al tempo di oggi non potrà mai valere più del prezzo di esercizio, adeguatamente scontato al tasso risk-free.
Per analizzare i limiti inferiori di una call, è necessario immaginare due portafogli alternativi:
1) Nel portafoglio A ci sono una call europea e un importo in denaro pari a 𝐾 𝑒−𝑟(𝑇−𝑡).
2) Nel portafoglio B c’è invece l’azione sottostante l’opzione.
Al tempo T, maturità dell’opzione, la liquidità avrà valore K, mentre l’opzione, se 𝑆𝑇 > 𝐾
verrà esercitata e il valore complessivo del portafoglio A diventerà 𝑆𝑇, altrimenti tale valore si assesterà a K. Quindi il portafoglio vale 𝑚𝑎𝑥(𝐾, 𝑆𝑇).
Il portafoglio B varrà invece sempre 𝑆𝑇, quindi sempre almeno quanto A, ma talvolta varrà meno e quindi vale la relazione (rispetto al tempo 0) 𝑐 + 𝐾 𝑒−𝑟𝑇 ≥ 𝑆
0, da cui 𝑐 ≥ 𝑆 0 −
𝐾 𝑒−𝑟𝑇; dato che però alla peggio la call può finire priva di valore, il valore corrente deve
12 Simile ragionamento può essere fatto per analizzare i limiti inferiori di una call, possono essere esaminati due portafogli alternativi:
1) Nel portafoglio C ci sono una put europea e una (1) azione sottostante l’opzione. 2) Nel portafoglio D c’è invece un importo in denaro pari a 𝐾 𝑒−𝑟(𝑇−𝑡).
Al tempo T, maturità dell’opzione, la liquidità avrà valore K, mentre l’opzione, se 𝑆𝑇 < 𝐾 verrà esercitata e il valore complessivo del portafoglio A diventerà K, altrimenti tale valore si assesterà a 𝑆𝑇. Anche in questo caso il portafoglio C vale 𝑚𝑎𝑥(𝐾, 𝑆𝑇).
Il portafoglio D varrà invece sempre K, quindi sempre almeno quanto C, ma talvolta varrà meno e quindi vale la relazione (rispetto al tempo 0) 𝑝 + 𝑆0 ≥ 𝐾 𝑒−𝑟𝑇da cui 𝑝 ≥ − 𝑆
0 +
𝐾 𝑒−𝑟𝑇; dato che però alla peggio la put può finire priva di valore, il valore corrente deve essere non negativo, in conclusione vale 𝑝 ≥ 𝑚𝑎𝑥( 𝐾 𝑒−𝑟𝑇− 𝑆
0, 0).
È interessante esaminare la particolare relazione che sussiste tra il valore di una call e il valore di una put, aventi lo stesso sottostante. Possiamo sempre immaginare di costruire due portafogli:
1) Nel portafoglio E ci sono una call europea e un importo in denaro pari a 𝐾 𝑒−𝑟(𝑇−𝑡).
2) Nel portafoglio F ci sono una put europea più l’azione sottostante.
Si può facilmente mostrare come questi due portafogli hanno lo stesso valore alla maturità T:
1) 𝐾 se il prezzo 𝑆𝑇 del sottostante alla maturità è inferiore o pari allo strike price.
2) 𝑆𝑇, se il prezzo del sottostante è superiore.
Quindi, per evitare arbitraggi, i due portafogli dovranno avere lo stesso valore anche al tempo 0. È così stabilità la put-call parity:
𝑆 0 + 𝑝 = 𝑐 − 𝐾 𝑒−𝑟𝑇,
(2.3)
risulta quindi possibile dedurre il prezzo di una call dal prezzo di una put con lo stesso prezzo d’esercizio e la stessa scadenza.
13
Tabella 2 – Put-call paritv
Per le opzioni call americane è interessante dimostrare che non è mai ottimale esercitarle prima della scadenza, se sono scritte su un sottostante che non paga dividendi.
Considerando il limite superiore 𝑐 ≥ 𝑆 0 − 𝐾 𝑒−𝑟𝑇 e il fatto che il tasso risk-free è sempre
maggiore di zero, si ottiene 𝑐 > 𝑆 0 – 𝐾. L’esercizio anticipato porterebbe ad un payoff di 𝑆 0 – 𝐾. Quindi non risulta mai ottimale esercitare prima della scadenza l’opzione.
Ci sono un paio di motivazioni più descrittive di questa proprietà:
1) La call avendo una funzione di copertura del rischio, ha un contenuto anche assicurativo. Difatti, protegge chi la detiene dalla discesa del prezzo del sottostante al di sotto del prezzo d’esercizio. Esercitando la call, si perde questa funzione assicurativa.
2) Considerando il valore temporale del denaro, è meglio pagare il più tardi possibile il prezzo d’esercizio.
La call americana avrà gli stessi limiti della corrispondente europea e quindi lo stesso valore.
Invece, una put americana può essere esercitata in maniera ottimale prima della scadenza. Questo perché l’assicurazione contenuta nella put può essere “dimenticata” per realizzare
Tempo 0 Tempo T Portafoglio 𝑆 𝑇 ≤ 𝐾 K < 𝑆 𝑇 A 𝑐 0 𝑆 𝑇 − 𝐾 K e−rT K K Risultato Portafoglio 𝒄 + 𝑲 𝒆−𝒓𝑻 𝑲 𝑺 𝑻 B 𝑝 𝐾 − 𝑆 𝑇 0 𝑆 0 𝑆 𝑇 𝑆 𝑇 Risultato 𝒑+𝑺 𝟎 𝑲 𝑺 𝑻
14 immediatamente il prezzo d’esercizio. L’effetto che si ha è che una put americana ha limiti diversi rispetto alla corrispondente europea:
( 𝐾 − 𝑆𝑡 )+ < 𝑝𝑡 < 𝐾
Le proprietà discusse in precedenza sono state elencate da Merton nel 1973. Il premio Nobel ha sviluppato un elenco riassuntivo delle 13 proprietà razionali delle opzioni, di seguito si elencano le mancanti rispetto a quanto già esposto (prendendo ad esempio le proprietà mancanti solo rispetto ad una call):
1) Un’opzione call non ha valore se il sottostante non ha valore, 𝑐(0, 𝑇, 𝐾) = 0 2) Un’opzione call con un minor prezzo d’esercizio vale almeno quanto
un’opzione scritta sullo stesso sottostante con un K maggiore, cioè 𝑐(𝑆, 𝑡, 𝐾1) ≥ 𝑐(𝑆, 𝑡, 𝐾2) se 𝐾1 ≤ 𝐾2
3) Un’opzione call perpetua, scritta su un asset che non paga dividendi, vale quanto il sottostante, cioè 𝑐(𝑆, ∞, 𝐾) = 𝑆
2.1.3 Dividendi
In genere, le opzioni su azioni hanno una vita residua inferiore all’anno; risulta quindi possibile prevedere con ragionevole certezza i dividendi che verranno pagati all’interno di questo periodo temporale.
Considerando quindi i dividendi, si hanno delle modifiche ai limiti inferiori, alla put-call parity e alla proprietà relativa alle call americane di esercizio ottimale prima della scadenza.
Vengono innanzitutto modificati i portafogli creati in precedenza:
1) Nel portafoglio A, oltre ad una call europea, l’importo in denaro posseduto diventa pari a 𝐷 + 𝐾 𝑒−𝑟(𝑇−𝑡).
2) Nel portafoglio B rimane come prima un’azione. 3) Nel portafoglio C ci sono una put europea e un’azione.
4) Nel portafoglio D l’importo di denaro diventa pari a 𝐷 + 𝐾 𝑒−𝑟(𝑇−𝑡).
Quindi, i limiti inferiori diventeranno:
1) ( 𝑆𝑡 − 𝐷 − 𝐾 𝑒−𝑟
(𝑇−𝑡)
)+, per la call. 2) ( 𝐷 + 𝐾 𝑒−𝑟(𝑇−𝑡) − 𝑆𝑡 )+, per la put.
15 Alla put-call parity verrà aggiunto il valore del dividendo al termine a destra, 𝑆 0 + 𝑝 = 𝑐 + 𝐷 + 𝐾 𝑒−𝑟𝑇.
Inoltre, se il sottostante paga dividendi, diventerà ottimale in un caso esercitare una call americana prima della scadenza, cioè immediatamente prima alla data di stacco dei dividendi.
16
2.2 Opzioni Reali
22.2.1 Un nuovo approccio all’investimento sotto incertezza
L’analisi delle opzioni reali (AOR da qui in avanti) ha come obiettivo attribuire un valore alla flessibilità manageriale, sia operativa che strategica, che è insita in un progetto.
Inquadrando la flessibilità come l’opzione di alterare una strategia pianificata nel futuro, una volta che saranno disponibili nuove informazioni, diventa rilevante riuscire a dare un valore alla possibilità di modificare la linea di condotta programmata.
Le opzioni reali appartengono alle metodologie di valutazione di tipo “dinamico”, nelle quali il processo decisionale si basa su una serie di opzioni che dipendono dall’evoluzione di una o più variabili incerte.
I vantaggi del metodo:
• si considera l’intera dimensione strategica del progetto, evidenziando i legami di interazione che si generano tra le decisioni di oggi e le opportunità future;
• aumenta il grado di oggettività nella stima del rischio. Infatti, piuttosto che basarsi su stime soggettive del management, si cercano di utilizzare dati provenienti dal mercato come proxy della volatilità dei rendimenti del mercato;
• i casi recenti riguardanti le start-up e le internet company testimoniano come con le opzioni reali si può creare un ponte tra le logiche valutative dei trader e dei manager.
È da tempo riconosciuta l’evidenza che i metodi tradizionali di capital budgeting, basati sul Discounted Cash Flow, non siano in grado di catturare in maniera efficace il valore strategico derivante dall’adattamento e dalla revisione di scelte passate, in risposta, ad esempio, a mutamenti improvvisi del mercato o a risultati di fasi intermedie di progetti a più stadi.
Essendo caratterizzato il mercato da incertezza, competizione e continuo cambiamento, l’approccio di pianificare scenari di realizzazione di cash flow futuri senza considerare la possibilità di una revisione degli stessi, o dell’intera strategia alla base dell’investimento, sembra decisamente statico e non calzante con la realtà.
2 Per la scrittura di questo paragrafo si è fatto riferimento a [3], Capitoli 1,2 ; [9] Capitoli 1,2; [10] Capitoli
17 La nascita e lo sviluppo dell’AOR va quindi interpreta proprio come risposta all’insoddisfazione di pratictioners e accademici rispetto alle tradizionali tecniche di Capital Budgeting, quando è necessario dare un valore ad investimenti incerti.
L’autore che coniò il termine Opzioni Reali fu Myers nel 1977, mentre possiamo capire il legame a doppio filo delle OR con la valutazione degli investimenti incerti citando Dixit e Pindyck, autori, nel 1994, del libro seminale per la materia, “Investment Under Uncertainty”: per stressare l’analogia con le opzioni finanziarie, le opportunità di acquistare assets reali sono a volte chiamate “opzioni reali”. Quindi questo libro poteva essere chiamato “L’approccio delle opzioni reali all’investimento”3.
L’AOR vuole essere un tool, più efficace rispetto alle analisi statiche del DCF, per riuscire a valutare correttamente l’incertezza presente in un investimento e soprattutto per riuscire a valutare la componente positiva derivante da questa incertezza.
È noto ai manager, o a chi in generale si occupa di valutazione di investimenti, che:
le opportunità più preziose possono presentarsi accompagnate da un alto grado di incertezza4.
A partire dagli anni 50, ha preso piede il riconoscimento degli errori strategici, quali sotto-investimento o perdita di posizioni competitive dovute ad una sotto-valutazione dei progetti, indotti dall’utilizzo del DCF.
Metodi alternativi come gli alberi decisionali sono stati di conseguenza proposti, fino ad arrivare all’intuizione di utilizzare i metodi afferenti al pricing delle opzioni finanziarie, per valutare investimenti che incorporano opzioni operative o strategiche.
Considerando specialmente le situazioni reali più complesse, in cui c’è interazione fra più opzioni, è molto difficile riuscire a trovare una soluzione in forma chiusa per un modello di AOR ed è quindi necessario utilizzare tecniche numeriche, generalmente distinguibili tra:
1) Approssimazione del processo stocastico sottostante, con metodi simulativi o approccio reticolare.
2) Approssimazione dell’equazione differenziale parziale risultante dal modello, con metodi di integrazione numerica.
3 Capitolo 1, paragrafo 2 [3]. 4 Capitolo 1 [10].
18 Tenendo bene a mente la potenziale complessità dell’AOR, è chiaro che l’approccio delle opzioni reali non è necessario quando si ha un investimento incredibilmente profittevole o assolutamente disastroso.
È utile quando:
• ci sono decisioni contingenti da prendere, come sarà esposto più avanti esiste un intero filone di valutazione delle opzioni che si chiama Contingent Claims Analysis, Analisi dei Contratti Contingenti. È evidente come la CCA è il migliore approccio per lo specifico tema;
• l’incertezza è talmente grande che ha senso aspettare ulteriori informazioni, evitando di fare investimenti irreversibili, oppure ha senso prendere in considerazione la flessibilità. Solo le opzioni reali permettono di valutare la flessibilità;
• il valore è meglio catturato da opzioni future piuttosto che da flusso di cassa corrente; • ci sono aggiornamenti di progetti e rettifiche di strategia in corso d’opera.
Copeland e Antikarov, autori nel 2001 di uno dei libri più seguiti dai pratictioners per applicare l’AOR, cercano di inquadrare l’utilità dell’AOR tramite una matrice Incertezza/Flessibilità/Valore Statico del Progetto:
• tanto più il futuro sarà incerto, tanto più spazio ci sarà per la flessibilità manageriale e tanto più saranno prezioso il valore delle Opzioni Reali;
• tanto più i valori provenienti dalla analisi fatte con metodi DCF sono vicini allo zero, e quindi tanto più è palese l’incertezza riguardo il risultato, e tanto più saranno decisivi i risultati aggiuntivi forniti dalle Opzioni Reali. Progetti con un altissimo valore statico portano ad un valore relativo delle OR molto basso, così come progetti con un valore estremamente negativo non permettono a nessuna fonte di valore opzionale di essere rilevante e “salvare” l’investimento.
Riassumendo, il potenziale dell’AOR è evidente considerando tre aspetti:
1. Le opzioni sono decisioni contingenti ed hanno quindi payoff non lineari, ma variabili in base alle nostre decisioni. A differenza delle decisioni fisse, che hanno payoff lineari perché qualsiasi cosa accada vanno prese, l’opzione dà l’opportunità di prendere una decisione una volta che si sono osservati gli sviluppi della situazione. 2. Le valutazioni sono allineate a quelle dei mercati finanziari, utilizzandone input e
19 3. Gestione attiva degli investimenti strategici, nel senso di passare ai payoff non lineari
come strumento di progettazione.
Questa estensione della teoria delle opzioni finanziarie, verso la valutazione degli investimenti strategici, richiede una diffusione della disciplina (specialmente matematica) dei mercati finanziari nel sistema decisionale riguardante l’investimento strategico interno ad un’azienda.
Le opzioni finanziari sono specificate dettagliatamente nel contratto, le opzioni reali incorporate in investimenti strategici devono essere individuate e i lori dettagli devono essere ben specificati, tramite anche l’utilizzo di unateoria matematica rigorosa, intraprendendo lo studio del fondamentale Lemma di Ito, la chiave della risoluzione delle equazioni differenziali stocastiche.
Esso risulta basilare per comprendere la teoria della valutazione dei derivati, ed anche il celebre modello di Black-Scholes.
2.2.2 Tassonomia delle opzioni reali
La flessibilità manageriale è assimilabile alle opzioni finanziarie, ad esempio: • Opzione di differire:
quando si ha la possibilità di acquistare terreni o risorse naturali, è possibile aspettare n anni per vedere se la variazione del prezzo dell’output giustifichi l’investimento per la costruzione di una fabbrica che sfrutti queste risorse o per lo sfruttamento dei terreni.
Assimilabile ad un’opzione call americana, questa possibilità è importante in tutti i settori che prevedono l’estrazione di risorse naturali, nell’edilizia, nei settori dove si lavora la carta e nell’agricoltura.
Un’analisi di questo genere permette di quantificare i tradeoff tra i maggiori ricavi ottenibili dall’espansione immediata e le perdite evitate aspettando che l’incertezza si risolva.
• Investimenti a più fasi:
considerandoli come una serie di output sequenziali, questi investimenti danno la possibilità di abbandonare il progetto in corso d’opera, se l’informazione che arriva non è favorevole.
20 Valutando ogni fase come un’opzione sul valore del prossimo passo sono assimilabili ad opzioni composte e sono importanti nei settori in cui la Ricerca & Sviluppo è rilevante, ma anche nel settore dei venture capital.
Ogni fase d’investimento genera informazioni migliori sui profitti totali del progetto e delle sue potenzialità, dando un’opzione sull’investimento successivo.
• Opzioni di alterare la dimensione dell’investimento:
ovviamente sia verso l’alto che verso il basso, per questi investimenti c’è la possibilità di espandere/ridurre la scala del progetto a seconda delle condizioni del mercato si dimostrino favorevoli/sfavorevoli.
Importanti in tutti settori con una componente stagionale, come l’abbigliamento o i beni di consumo, sono assimilabili a put/call a seconda che si consideri la contrazione/espansione dell’investimento.
È possibile considerare anche l’opzione di prolungare la durata di un progetto in questa classe di opzioni.
• Opzione di abbandono:
qualora le condizioni del mercato declinino in maniera irreversibile, esiste la possibilità per il management di abbandonare le operazioni correnti e realizzare quanto possibile dalla vendita dei beni strumentali.
Assimilabile ad un’opzione put americana, è importante nei settori capital-intensive, nonché quando si considera il lancio di un prodotto in mercati incerti.
• Opzioni di cambiare (input o output):
in presenza di una domanda mutevole, il management potrebbe cambiare gli output prodotti con gli stessi input, dimostrando quindi flessibilità di prodotto, o viceversa, dimostrando flessibilità di processo.
• Opzioni di espansione:
sono ritrovabili in investimenti che si configurano come prerequisiti per altri progetti collegati, dando la possibilità di una crescita futura.
Sono anch’esse assimilabili ad opzioni composte e importanti nei settori ad alto contenuto strategico, come M&A, operazioni multinazionali o industrie con prodotti a più generazioni.
L’investimento iniziale crea opzioni di crescita, cioè in caso di buoni risultati si crea la possibilità di andare avanti con altri progetti.
21 Il caso più allineato alla realtà è l’interazione, nello stesso progetto, di più opzioni tra quelle sopraelencate.
Va prestata la massima attenzione quindi a determinare il valore combinato, piuttosto che la somma dei valori delle singole opzioni.
È inoltre possibile anche valutare l’interazione delle opzioni reali con le opzioni di flessibilità finanziaria.
Alcune tra le opzioni elencate (come il differimento o l’abbandono) sono naturalmente integrate con il progetto, altre invece (come l’espansione) necessitano di extra-investimenti.
2.2.3 Il concetto sviluppato con un esempio
Un’analisi rigorosa delle Opzioni Reali va fatta considerando le decisioni di investimento come un problema in tempo continuo. In ogni caso, per sviluppare il concetto è molto utile partire con un esempio in tempo discreto e soffermarci sull’impatto che ha l’irreversibilità del costo da sostenere rispetto alla decisione di investire.
Si consideri una società che sta cercando di decidere se costruire una fabbrica per realizzare dispositivi per l’irrigazione automatica. L'investimento è completamente irreversibile: la fabbrica può essere utilizzata solo per fare questi dispositivi, e se il loro mercato evapora, l'azienda non può "disinvestire" e recuperare le sue spese.
Per mantenere le cose il più semplice possibile, assumiamo che la fabbrica possa essere costruita istantaneamente, ad un costo I, e che la produzione sia di un dispositivo all'anno per sempre, senza sostenere alcun costo operativo.
Attualmente il prezzo di un dispositivo è di 200 dollari, ma è già noto che l'anno prossimo il prezzo cambierà. Con probabilità q, salirà a 300 dollari, e con probabilità (1 – q), scenderà a 100 dollari. Il prezzo rimarrà quindi a questo nuovo livello per sempre.
Figura 4 – Prezzo dei dispositivi di irrigazione
Ancora una volta, per mantenere le cose semplici, assumeremo che il rischio per il prezzo futuro dei dispositivi è completamente diversificato (cioè, non è correlato a ciò che accade con l'economia complessiva).
22 Quindi l'azienda dovrebbe scontare i flussi di cassa futuri utilizzando il tasso di interesse privo di rischio, che assumiamo essere r=10%.
Se assumiamo I=1600 e q= 0.5:
1. dati questi valori per I e q, questo è un buon investimento?
2. L'azienda dovrebbe investire ora, o sarebbe meglio aspettare un anno e vedere se il prezzo dei dispositivi sale o scende?
Supponiamo di investire ora. Possiamo calcolare il Valore Attuale Netto di questo investimento in modo standard (il prezzo futuro previsto dei widget è sempre 100*0.5 +300*0.5=200$): 𝑁𝑃𝑉 = − 1600 + ∑ 200 (1.1)𝑡 ∞ 𝑡 = 1 = − 1600 + 2200 = $600 (2.4)
Questa conclusione non è totalmente corretta, dato che così si ignora il costo opportunità di investire ora, piuttosto che aspettare per mantenere aperta la possibilità di non investire se il prezzo cadrà.
Consideriamo quindi di investire se e solo se il prezzo aumenterà, il Valore Attuale Netto diventa: 𝑁𝑃𝑉 = (0.5) [ − 1600 1.1 + ∑ 300 (1.1)𝑡 ] ∞ 𝑡 = 1 = 850 1.1 = $773 (2.5)
così facendo non ci sono costi al tempo0, ma solo al tempo1 se il prezzo salirà a 300$. Il VAN sale di 173$ con la semplice assunzione di aspettare ad investire, in ragione di ottenere un’informazione aggiuntiva, cioè con la comprensione di un’opzione di differimento nella valutazione del valore del progetto.
Ovviamente, se non fosse possibile aspettare la scelta dovrebbe comunque cadere nell’effettuare l’investimento oggi; ad esempio, se dovessimo considerare la competizione con un’altra impresa, potremmo essere costretti ad investire subito per non perdere eventuali vantaggi competitivi, derivanti da un ingresso pioneristico nel mercato.
Potrebbe essere valido investire oggi anche se fosse possibile disinvestire e recuperare l’investimento, qualora dovesse crollare il prezzo dei dispositivi, quindi se fosse presente un’opzione di abbandono.
23 Un altro modo per quantificare la flessibilità è porsi la domanda:
quanto dovrebbe essere alto l’investimento I affinchè sia desiderabile avere flessibilità nell’investimento piuttosto che avere solo la possibilità di investire ora o mai più?
Per dare una risposta al quesito, dobbiamo considerare I come incognita nella formula esaminata in precedenza, con cui veniva calcolato un VAN di 600$.
𝑁𝑃𝑉 = (0.5) [ − 𝐼̅ 1.1 + ∑ 300 (1.1)𝑡 ] ∞ 𝑡 = 1 = $600 (2.6) Risolvendo, otteniamo 𝐼̅ = 1980$; quindi l’opportunità di costruire la fabbrica ora e solo ora ad un costo di 1600$ ha lo stesso valore di costruirla ora o il prossimo anno a 1980$.
È interessante analizzare se la presenza di un mercato dei futures per i dispositivi porti a risultati diversi.
Supponendo che il prezzo futures sia 200$, come il prezzo spot, cambierebbe la nostra decisione di investimento, rispetto al timing?
Per coprirci totalmente dal rischio dovremmo vendere 11 dispositivi allo scoperto nel mercato dei futures, a 200$; in questa maniera:
• se il prezzo sale a 300$, la rendita perpetua diventa del progetto 3300$, ma la perdita sui futures ammonta a 1100$, per un risultato complessivo di 2200$.
• se il prezzo scende a 100$, la rendita perpetua diventa del progetto 1100$, ma il guadagno sui futures ammonta a 1100$, per un risultato complessivo di 2200$.
Il risultato complessivo quindi è sempre uguale a quello considerando nel VAN statico e quindi non c’è particolare guadagno dalla copertura. Operare su un mercato futures non ha conseguenze reali per le decisioni di investimento.
Il nostro investimento è analogo ad un’opzione call: abbiamo il diritto, ma non l’obbligo, di fare un investimento (e quindi pagare il prezzo d’esercizio) per ricevere un progetto (un’azione) il cui valore si muova in maniera stocastica, incerta. Solo se il prezzo dei dispositivi salirà a 300$ l’opzione verrà esercitata, pagando il prezzo d’esercizio (cioè
24 sostenendo il costo di investimento) per ricevere un asset il cui valore corrisponde a 𝑉1 = $3300 = ∑ 300
(1.1)𝑡
∞
0 .
Per proseguire nell’analogia con le opzioni, dobbiamo definire le caratteristiche dell’investimento nei termini tipici dell’analisi dei contratti contingenti:
1) Denotiamo quindi 𝐹0 come il valore ad oggi dell’opportunità di investimento e 𝐹1come il valore dell’opportunità il prossimo anno.
2) Notiamo che 𝐹1è una variabile random, dato che dipende da cosa accadrà al prezzo dei dispositivi. Se il prezzo salirà a 300$, allora 𝐹1 varrà ∑ 300
(1.1)𝑡
∞
0 − 1600 =
$1700, ma se il prezzo scenderà a 100$, 𝐹1 varrà 0.
Conosciamo quindi i valori di 𝐹1, ma dobbiamo trovare il valore di 𝐹0, cioè il valore ad oggi dell’opzione.
Per risolvere questo problema dobbiamo creare un portafoglio che abbia due componenti, l’opportunità di investimento e un certo numero di dispositivi. Dovremo scegliere questo numero in modo tale da rendere il nostro portafoglio risk-free, così che non dipenda dal movimento del prezzo. Così facendo inoltre, si evita la presenza di arbitraggi possibili, solo considerando il rendimento derivante dal possesso del portafoglio come risk-free, possiamo riuscire a dare un valore corrente all’opportunità di investimento.
Considerando specificatamente un portafoglio in cui c’è l’opportunità di investimento ed n dispositivi venduti short. Il valore di questo portafoglio oggi è Φ0 = 𝐹0− 𝑛 𝑃0 = 𝐹0 −
200 n.
Il valore del portafoglio l'anno prossimo è Φ1 = 𝐹1− 𝑛 𝑃1. Questo valore dipende da 𝑃1, infatti se 𝑃1 varrà 300$, allora 𝐹1 = 1700, e il valore del portafoglio sarà
Φ1 = 1700 − 300 𝑛.
Se 𝑃1 risulta essere 100 dollari, l’opportunità di investimento sarà senza valore, 𝐹1 = 0, e quindi il portafoglio varrà Φ1 = −100𝑛.
Ora, scegliamo n in modo che il portafoglio sia privo di rischi, cioè in modo tale che Φ1 sia indipendente da ciò che accade al prezzo. Per fare questo, è sufficiente impostare 1700 − 300 𝑛 = − 100 𝑛, da cui risulta 𝑛 = 8,5. Con questo numero di dispositivi, Φ1 = −850, sia che il prezzo dei widget salga a 300 dollari o scenda a 100 dollari.
25 Ora calcoliamo il rendimento dalla detenzione di questo portafoglio. Il rendimento è dato dalla plusvalenza Φ1 − Φ0 , meno tutti i pagamenti che devono essere effettuati per mantenere la posizione corta sui dispositivi.
Dato che prezzo spot e prezzo futures coincidono, non ci sarà alcun guadagno a mantenere una posizione lunga sui dispositivi, e quindi un investitore razionale chiederà un rendimento almeno pari al tasso risk-free, che abbiamo assunto pari al 10%, per acquistare i dispositivi che noi vogliamo vendere short, quindi questa posizione corta costerà 0.1 ∗ 𝑃0 = 20$
all’anno, considerando la nostra posizione di equilibrio di 8.5 dispositivi venduti short, dovremmo in totale spendere 170$ l’anno. Complessivamente il rendimento della detenzione di questo portafoglio nel corso dell'anno è quindi:
Φ1 − Φ0 − 170 = Φ1 –(F0− 𝑛 P0) − 170 =
= − 850 − F0 + 1700 − 170 = 680 - F0
(2.7)
Poiché questo rendimento è privo di rischi, sappiamo che deve essere uguale il valore iniziale del portafoglio,Φ0 = F0 − 𝑛 P0, moltiplicato per il tasso privo di rischio, 680 − F0 = 0.1 (F0 − 1700).
Il valore risultante da questa semplice equazione è 𝐹0 = 773$, che è esattamente il valore che avevamo ottenuto calcolando il VAN qualora fosse intrapresa la soluzione ottimale di aspettare un anno prima di decidere se investire.
Investendo oggi otteniamo 2200$ − 1600$ = 600$, ma perdiamo anche l’opzione di differimento con un valore pari a 773$, quindi dobbiamo considerare un costo complessivo oggi di 773$ + 1600$ = 2373$ > 2200$. In pratica, il costo di investire oggi è maggiore del guadagno che si otterrà, ed è quindi conveniente mantenere l’opzione di differimento attiva, piuttosto che investire subito.
L’esempio si basa su una delle assunzioni classiche dell’analisi dei contratti contingenti, cioè che esista un mercato per i dispositivi, che permetta di assumere posizioni long o short, per costruire portafogli di replica. Se questa costruzione non fosse possibile e non fosse possibile neanche replicare il rischio relativo all’andamento del prezzo dei dispositivi tramite altri asset perfettamente correlati ai dispositivi, come potrebbe essere possibile calcolare il valore dell’opzione?
26 Si potrebbe calcolare il valore del VAN per ogni strategia d’investimento, per poi scegliere quella che massimizzi il valore del VAN. Questo approccio, alternativo all’analisi dei contratti contingenti, è chiamata programmazione dinamica.
2.2.4 Proprietà Fondamentali delle Opzioni di Investire
Proseguendo l’analogia tra il possessore di un’opzione finanziaria e il possessore di una possibilità discrezionale di investimento, possiamo inquadrare la corrispondenza delle caratteristiche dei due tipi di opzione, nonché le dipendenze dell’opportunità di investimento rispetto a queste peculiarità.
OPZIONE CALL SU UN’AZIONE OPZIONE REALE SU UN PROGETTO Valore corrente dell’azione Valore attuale (lordo) dei flussi di cassa attesi Prezzo d’esercizio Costo di Investimento
Maturità Finestra temporale dell’opportunità
Incertezza del valore dell’azione Incertezza del valore del progetto
Tasso risk-free Tasso risk-free
Tabella 4 – Confronto caratteristiche opzioni finanziarie-opzioni reali
È utile analizzare come variano i valori dell’opzione considerata nel precedente esempio, rispetto a:
• variazioni del costo d’investimento; • variazioni del prezzo iniziale;
• variazioni della probabilità del rialzo di prezzo;
• variazioni dell’entità di un rialzo del prezzo dei dispositivi.
Il prezzo del dispositivo è totalmente correlato al valore dei flussi di cassa attesi, nonché la sua incertezza condiziona totalmente il valore del progetto.
Caso A: Variazioni del costo d’investimento
Se consideriamo di nuovo l’eguaglianza tra due portafogli, affinché vengano prese decisioni che non dipendano dal rischio di prezzo, mantenendo il costo dell’investimento come incognita I, otteniamo:
𝑛 = 16.5 − 0.005 𝐼,
27 l'attuale valore dell'opzione di investimento è quindi dato da:
F0 = 1500 − 0.455 𝐼.
(2.9) In questo modo abbiamo che l’opportunità d’investimento è funzione del costo diretto di
investimento, possiamo quindi chiederci ci sono dei valori di I, tali che è conveniente investire oggi, piuttosto che il prossimo anno?
In pratica, stiamo cercando quei payoff V0 che rendono la scelta di investire oggi più alta
rispetto al costo totale di investimento: costo diretto + opportunità persa di investire.
Il payoff che si riceve investendo oggi è 2200$ e quindi sarà opportuno investire oggi fintanto che
2200 > 𝐼 + 𝐹0, cioè 2200 > 𝐼 + 1500 − 0.455 𝐼.
(2.10) La soluzione per I è 𝐼 < 1284$, il che significa che fintanto che l’investimento ha un costo diretto che non supera quella cifra, sarà conveniente implementarlo oggi. Se 𝐼 = 1284$ , 𝐹0 = $916 = 𝑉0 – 𝐼 e in questo caso il risultato è l’indifferenza tra investire oggi e
aspettare fino al prossimo anno.
Infine, se 𝐼 > 1284$ è conveniente aspettare e investire successivamente.
28 Caso B: Variazioni del prezzo iniziale
Possiamo di nuovo fissare l’investimento iniziale a 1600, per poter verificare gli impatti di variazioni del prezzo iniziale, assumendo che la probabilità di rialzo sia 0.5 e i movimenti di del prezzo siano ±50%.
La risoluzione prevede sempre la costruzione di un portafoglio risk-free, contenente l’opzione e una posizione short sui dispositivi; il valore oggi è Φ0 = 𝐹0− 𝑛 𝑃0, mentre il
valore il prossimo anno dipende da 𝑃1. Il valore dell’investimento invece, è 𝑉1 = 11𝑃1 = ∑ 𝑃1
(1.1)𝑡
∞
0 , e sarà conveniente investire oggi solo se questo valore eccederà il costo 1600$,
quindi 𝐹1 = 𝑚𝑎𝑥(0, 11𝑃1 − 𝐼).
Il valore di Φ1 sarà:
• 16.5 𝑃0 − 1600 − 1,5𝑛𝑃0, dato che 𝐹1 è in-the-money; • 0,5𝑛𝑃0, se il prezzo scende, dato che 𝐹1 ha valore zero.
Mantenendo 𝑃0 come incognita, la n che eguagli questi due valori per Φ1 sarà n = 16.5 − 1600/P0, nello specifico con questa n, Φ1= −8,25𝑃0 + 800.
Ricordando che per mantenere una posizione short occorre pagare 0,1𝑛𝑃0, nel caso ad oggetto il mantenimento costerà 1,65𝑃0 − 160. Quindi Φ1 = 6,60 P0− F0− 640.
Essendo il portafogli risk-free, andrà eguagliato a 0,1Φ0 = 0,1(F0− 1,65𝑃0 + 160) per ottenere il valore dell’opportunità di investimento al tempo0:
F0 = 7,5P0− 727
(2.12) Il prezzo P0 che separa le regioni di investimento ottimale si ottiene notando che 𝐹0 = 0 se
𝑃0 =727
7.5 = 97$
Possiamo trovare anche P0 in modo tale che sia conveniente investire oggi piuttosto che aspettare, cercando nuovamente il valore V0 che ecceda il costo totale dell’investimento F0+ 𝐼. Questo prezzo critico 𝑃0∗ si ottiene 11𝑃0∗ = 1600 + 7,5𝑃0∗− 727, che porta al risultato 𝑃0∗ = 249$. Se il prezzo iniziale eccede questo valore diventerà conveniente investire subito.
29
Figura 5 – Dipendenza del progetto dal prezzo iniziale
Caso C: Variazioni della probabilità di rialzo del prezzo
Finora abbiamo supposto che la probabilità di rialzo sia 0,5. Per determinare come il valore dell'opzione di investire dipende dalla probabilità che il prezzo dei dispositivi aumenti l'anno prossimo, lasceremo che il prezzo iniziale, 𝑃0 sia un valore arbitrario, mentre invece il costo
dell'investimento è fissato a 1600$.
Possiamo quindi seguire gli stessi passaggi di prima per trovare il valore dell'opzione e la regola di investimento ottimale.
La posizione breve nei widget necessaria per costruire il portafoglio risk-free è sempre di 𝑛 = −8.5, dato che questo numero dipende dal valore al tempo 1 del portafoglio, Φ1 , mentre è indipendente da dalle probabilità che il portafoglio assuma tali valori.
Tuttavia, il pagamento richiesto per la posizione breve dipende da 𝑞, perché il guadagno di capitale previsto grazie al possesso di un dispositivo dipende da 𝑞.
Per calcolare questo, assumiamo che 𝔼0(𝑃1) indica il prezzo previsto al tempo corrente dei
dispositivi il prossimo anno, condizionato all’informazione del prezzo che si ha al periodo 0. Quindi risulterà:
𝔼0(P1) = (q + 0.5)P0
(2.13) e il tasso di rendimento atteso su un dispositivo sarà:
[𝔼0(P1) − P0]/P0 = q + 0.5
30 Con questo rendimento possiamo ritrovare a quanto ammonta il pagamento richiesto da chi comprerà la nostra posizione corta sui dispositivi:
[0.1 − (𝑞 − 0.5)]𝑃0 = (0,6 − 𝑞) 𝑃0
(2.15) Se si imposta la condizione di assenza di arbitraggi, considerando 𝑛 = −8.5, è possibile ritrovare il valore dell’opzione:
Φ1− Φ0− (0.6 − q)nP0 = 0.1Φ0
(2.16) I risultati precedenti ci dicono che l’opzione ha valore solo P0 > 97$, se questa condizione è rispettata, il valore sarà:
F0 = 15qP0 − 1455q
(2.17) Si noti che Fo aumenta con l'aumentare di q (sempre se P0 > 97$). Il risultato è in linea con le aspettative, infatti una 𝑞 più alta significa una maggiore probabilità che il prezzo salirà e di conseguenza una maggiore probabilità che l'opzione di investire sarà esercitata.
Una volta ritrovato il valore dell’opzione, possiamo passare a chiederci in che modo la decisione di investire dipende da 𝑞; è utile ricordare che è meglio aspettare piuttosto che investire oggi fino a quando 𝐹0 > 𝑉0 − 𝐼.
In questo caso, 𝑃0+ ∑ (𝑞 + 0.5)∞
1 𝑃0/(1.1)𝑡 = (6 + 10𝑞) 𝑃0, e quindi
15qP0− 1455q > (6 + 10q) P0− 1600.
(2.18) Il prezzo d’equilibrio oltre il quale conviene investire subito è:
P0∗ = 1600 − 1455q > (6 − 5q)
(2.19) La conclusione è quindi che più alta è la probabilità di un incremento del prezzo e più la decisione di investire sarà presa prontamente e, inoltre, una 𝑞 più alta implica che un prezzo relativamente più basso possa essere sufficiente a far sì che il costo di aspettare sia più alto del beneficio. Questo può essere spiegato intuitivamente perché una probabilità più alta di rialzo riduce la possibilità di avere un brutto risultato e di conseguenza riduce il valore di aspettare.
31 Caso D: Variazioni dell’entità di un rialzo del prezzo dei dispositivi
È infine utile vedere cosa succede se il prezzo diventa più volatile, cioè se aumenta la dimensione del rialzo o del ribasso del prezzo in un periodo.
Assumiamo una probabilità 𝑞 sempre di 0.5 e un movimento del prezzo che può essere ±75%, anziché ±50%.
Per trovare 𝐹0, il valore dell’opzione, si costruisce come al solito un portafoglio privo di rischio, composta una posizione lunga su l'opzione di investimento e corta su 𝑛 dispositivi, e si eguaglia il suo rendimento al rendimento senza rischio. Anche in questo caso, il valore attuale del portafoglio è 𝐹𝑜 − 𝑛𝑃0.
Nel periodo 1:
1) Se il prezzo salirà a 1.75𝑃0, il progetto (ricordando che 𝑉1 = 11𝑃0) varrà 𝑉1 =
19.25𝑃0 e il portafoglio a 19.25𝑃0− 1600 − 1.75𝑃0.
2) Se il prezzo scenderà a 0.25𝑃0, il progetto sarà senza valore e il portafoglio avrà un
valore di 0.25𝑛𝑃0. Eguagliando i due valori possibili e risolvendo per 𝑛 troviamo: 𝑛 = 12,83 − 1067/𝑃0
il valore del portafoglio al tempo 1, Φ1, sarà indipendente da 𝑃1: Φ1 = −3.21𝑃0+ 267
Ricordando che la posizione corta richiede un pagamento di 0,1𝑛𝑃0, in questo caso sarà uguale a − 1,28P0− 107, e quindi il rendimento complessivo del portafoglio è:
8,34 𝑃0− 𝐹𝑜 − 693.
Riprendendo la condizione di non arbitraggio eguagliamo questo valore al valore del portafoglio al tempo 0, capitalizzato per il tasso risk-free, 0.1Φ0. il valore dell’opzione è:
F0 = 8.75P0− 727
Se, come ipotizzato finora, P0 è 200$, F0 in questo caso è 1023$, un valore sostanzialmente più grande del valore di 773$, ottenuto quando il prezzo poteva solo salire o scendere del 50 per cento. Perché un aumento dell'incertezza aumenta il valore dell'opzione di investimento? Poiché aumenta il potenziale vantaggio positivo dall'opzione, mentre il payoff in caso di ribasso rimane invariato a 0 (dal momento che non eserciteremo l'opzione se il prezzo scende).
Possiamo anche calcolare il prezzo iniziale critico,𝑃0∗, che giustifica investire ora piuttosto che aspettare. Anche in questo caso, basta equiparare il valore corrente della fabbrica di dispositivi, 𝑉0 = 11𝑃0, al suo costo totale, 1600$ − 𝐹0.
Utilizzando l'equazione F0 = 8.75P0− 727, troviamo che 𝑃0∗ = 388$, ed è anche in questo caso il valore è più grande del valore di 249$ che avevamo trovato quando il prezzo poteva
32 solo salire o scendere del 50 per cento. Poiché il valore dell'opzione è maggiore, il costo opportunità di investire ora piuttosto che aspettare è più elevato e quindi c'è un maggiore incentivo ad aspettare.
2.2.5 Ricerca accademica e applicazione pratica
Considerando che il termine venne coniato nel 1977 da Myers, è da oltre quaranta anni che è iniziato il dibattito sull’utilizzo dell’approccio delle opzioni reali.
La nascita e lo sviluppo di questo paradigma avvennero nello stesso florido periodo della rivoluzione nel pricing delle opzioni finanziarie, che fu innescata dalla soluzione in forma chiusa, di un modello in tempo continuo, fornita da Black, Scholes e Merton (1973) e fu alimentata da altri contributi fondamentali come l’approccio binomiale di Cox, Ross e Rubestein (1979).
Inoltre, altre pietre miliari del pricing delle opzioni finanziarie furono i lavori di Margrabe (1978) sull’opzione di scambiare un asset rischioso con un altro, di Stultz (1982) sull’opzione sul massimo/minimo di due asset rischiosi, nonché il lavoro di Geske (1979) sulla valutazione di opzioni composte.
Negli anni ’80, gli autori che diedero invece linfa alla ricerca accademica, riguardante un’applicazione della disciplina prettamente finanziaria alla valutazione degli investimenti, furono Brennan e Schwartz (1985), McDonald e Siegel (1985,1986), Trigeorgis e Mason (1987), Pindyck (1988), Carr (1988), Paddock (1988), Kutilatilaka (1988), Kester (1984, 1993).
Degli anni ’90 è invece la fissazione dei concetti cardine nei libri di:
• Trigeorgis, che pubblicò “Real Options” nel 1996;
• Dixit e Pindyck (D&P), che pubblicarono “Investment Under Uncertainity” nel 1994.
Questi due libri, altamente citati, costituiscono la base teorica rigorosa per intraprendere un approccio delle opzioni reali che consideri la teoria matematica avanzata, caratteristica della disciplina finanziaria.
Inoltre, Trigeorgis in quest’opera passa in rassegna tutti i contributi più importanti degli anni ’80, mentre l’opera di D&P è estremamente utile per provare ad immagazzinare i concetti matematici necessari a svolgere ottimizzazione dinamica quando c’è incertezza.
33 È chiaro quindi, che l’approccio delle opzioni reali prevede un approfondimento di una teoria matematica rigorosa, che non risulta essere banale per nulla e anzi ha “spaventato” in maniera importante i pratictioners. Essendo però, un approccio che vuole essere funzionale all’applicazione pratica, in quanto riguarda un filone di ricerca, come la valutazione degli investimenti, che ha un necessario bisogno di traduzione pratica dei concetti teorici, sorge un trade-off tra semplicità di applicazione e mantenimento di rigorosità non banale. Difatti, nel 2001 Copeland e Antikarov pubblicarono un libro, che ebbe un’ampia visibilità e un impatto molto positivo rispetto alla diffusione, tra i pratictioners, dell’approccio delle OR, partendo con questa premessa:
“sulla teoria delle opzioni reali sono stati scritti molti libri eccellenti e centinaia di articoli accademici innovativi. Eppure, si sente ancora il bisogno di una guida pratica, di un libro che si possa prendere dallo scaffale e consultare per capire come si possa applicare concretamente quella teoria ai problemi di decisione che s’incontrano nella pratica quotidiana5”.
In queste righe introduttive è evidente come venga segnalato un certo disallineamento tra i concetti esplicati nei paper accademici e la possibilità di diffonderli, e conseguentemente utilizzarli, tra i responsabili del processo decisionale in azienda.
Il principale ostacolo sembrerebbe essere l’approfondimento del Calcolo Integrale Stocastico. Questo strumento matematico è fondamentale per essere in grado di risolvere le equazioni differenziali stocastiche, che si assumono, nei modelli a tempo continuo, rappresentare gli andamenti dei prezzi quotati degli asset e che quindi possono essere utilizzate come proxy per l’andamento delle variabili primarie di un investimento. Sono quindi, componenti cruciali dell’equazione differenziale parziale che, se ben costruita, può rappresentare il valore dell’opportunità di investimento.
Ricordando quindi che le tecniche numeriche che vengono utilizzate per la valutazione delle opzioni sono generalmente distinguibili tra:
• approssimazione del processo stocastico sottostante, con metodi simulativi o approccio reticolare;
• approssimazione dell’equazione differenziale parziale risultante dal modello, con metodi di integrazione numerica.
34 Risulta, per le ragioni di Copeland e Antikarov, sicuramente più utile rimanere ad un livello di formalità non esagerato, essendoci, nella loro opera, un focus sull’approccio reticolare, nonché un’assunzione cruciale riguardante la proxy delle variabili primarie di un investimento:
“l’aspetto frustrante dell’approccio basato sul titolo gemello, è costituito dal fatto che è impossibile trovare un titolo quotato i cui rendimenti, in ogni stato e nell’intera vita del progetto, siano perfettamente correlati a quelli del progetto. [..] Adotteremo quindi l’assunto che il valore attuale dei flussi di cassa del progetto senza flessibilità (ossia il van tradizionale) sia il miglior stimatore non distorto del valore di mercato che il progetto avrebbe se fosse uno strumento negoziato6”.
Ad un livello accademico invece, il problema di trovare il processo stocastico che meglio sia calibrato rispetto all’andamento di un titolo quotato che possa fungere da proxy per le variabili primarie, è stato affrontato complicando la rigorosità della formulazione del problema.
Sono quindi stati diffusi, ad esempio, modelli a tre fattori stocastici per valutare investimenti in risorse naturali.
Inoltre, la ricerca accademica si è anche focalizzata sull’utilizzo di tecniche numeriche avanzate, che permettano di valutare le opzioni reali rilassando alcune delle ipotesi semplificatrici dei modelli più diffusi; sono stati quindi utilizzati:
1) Espansioni dei canonici alberi binomiali, quali alberi trinomiali e quadrinomiali, nonché trasformazioni per valutare opzioni multidimensionali.
2) Simulazioni montecarlo avanzate, come l’approccio Least Square.
Risulta quindi chiaro che esiste il rischio che il modello di valutazione per le opzioni reali diventi troppo complesso e quindi destinato solo all’utilizzo in ambito accademico. D'altronde, sarebbe fondamentale un compromesso tra rigorosità nell’impostazione del problema e dotazione di strumenti matematici per l’impostazione, dato che l’utilizzo di questo approccio sembra fondamentale per mantenere il passo con l’evoluzione dell’ambiente competitivo nell’ambito della valutazione degli investimenti.
Gli strumenti classici del capital budgeting, basati sul Discounted Cash Flow, non sembravano essere più adatti al contesto competitivo già a partire da fine anni ’70, è quindi naturale pensare che al giorno d’oggi siano decisamente obsoleti, se considerati come unica misura da utilizzare nel processo decisionale riguardante le scelte d’investimento.
35
2.2.6 Capital Budgeting tradizionale vs nuovo approccio
Il principale discrimine tra i metodi tradizionali e l’approccio delle opzioni reali sta nel tasso di sconto che si utilizza; il grande potenziale delle OR sta nell’utilizzare un tasso risk-free, in considerazione di una valutazione, mutuata dalla disciplina finanziaria, neutrale al rischio. Citando Trigeorgis (1996):
il capital budgeting riguarda l’allocazione di risorse in investimenti di lungo periodo. A fronte di un sacrificio immediato di risorse (necessarie per investire nell’immediato) si ottengono risorse nei periodi futuri. Il trade-off tra disponibilità di risorse oggi e disponibilità nel futuro è il cuore delle scelte che un individuo, o un’impresa, deve, direttamente o indirettamente, compiere ogni giorno7.
Gli obiettivi finanziari sono diversi a seconda dell’agente che si sta considerando8:
• per un individuo è massimizzare la propria utilità nel corso del tempo dati dei possibili pattern per il consumo;
• per un’impresa è essere il tramite per massimizzare l’utilità dei proprietari;
• se esistono anche dei proprietari residuali, c’è anche l’obiettivo di massimizzare l’utilità di questo gruppo di agenti, chiamati stockholders. Questo obiettivo è praticamente impossibile, considerando che in questo gruppo possono esserci livelli disomogenei di:
▪ livello di benessere corrente;
▪ Preferenze relative al trade-off consumo corrente VS consumo futuro; ▪ Differenti attitudini al rischio.
Per evitare problemi relativi a questa disomogeneità, si considera l’obiettivo di massimizzare l’utilità di tutti i proprietari dell’impresa, cioè tutti i possessori di quote azionarie, e quindi di massimizzare il valore di mercato di queste quote. Questo valore deriva dai dividendi che verranno erogati durante la vita dell’impresa, nonché dal valore di liquidazione finale che si ottiene vendendo la propria quota; entrambi i valori dipendono strettamente dai cash flow
7 Capitolo 2 [9].
8 Inoltre, sarebbero da considerare anche gli interessi di tutta un’altra serie di agenti, quali i creditori
dell’impresa, i lavoratori dell’impresa, la comunità locale dove opera l’impresa e in generale l’ambiente socio-economico. Infine, esiste un problema di agenzia quando la proprietà è separata dal controllo, cioè c’è il rischio che il comportamento dei manager sia condizionato al raggiungimento della massimizzazione della propria utilità e non di quella degli stockholders, con il raggiungimento di una posizione solo sub-ottimale.
36 che l’impresa sarà in grado di generare. È importante sottolineare come solo i cash flow, e non i profitti operativi, sono utili a raggiungere gli obiettivi di massimizzazione.
Nello specifico, il valore, il timing e la rischiosità di questi cash flow determineranno il valore di mercato [delle azioni] dell’impresa.
Il metodo del Net Present Value (Valore Attuale Netto) è considerato il metodo principe, tra quelli tradizionali che non considerano la flessibilità insita in un investimento, ai fini di una valutazione consistente con l’obiettivo di massimizzazione dei cash flow:
▪ si definiscono i flussi di cassa prospettici;
▪ si definisce un opportuno tasso di sconto per avere un valore corrente dei flussi di cassa. Il tasso sarà quello risk-free se c’è certezza riguardo il valore dei cash flow, mentre sarà aggiustato al rischio se c’è incertezza;
▪ si sottrae al valore corrente dei cash flow l’ammontare I, relativo all’investimento da compiere per ottenere i flussi di cassa;
▪ se la sottrazione dà un valore maggiore di zero si procede all’investimento.
In termini matematici, ipotizzando che c’è certezza sul valore dei cash flow e che quindi 𝑟 è il tasso risk-free: 𝑉𝐴𝑁 = ∑ 𝐶𝐹𝑡 (1+𝑟)𝑡 𝑡 𝑡=1 − 𝐼. (2.30)
Ovviamente, nel mondo reale, è praticamente impossibile pensare di assumere una qualsiasi decisione di business senza considerare il rischio derivante dall’incertezza dei risultati.
Con l’incertezza, una variabile al tempo futuro è caratterizzata non da un valore singolo, bensì da una distribuzione di probabilità dei possibili risultati. La dispersione, intesa come variabilità, dei possibili risultati può essere considerata una misura di quanto sia rischiosa la variabile incerta.
37 Con l’incertezza, il valore dei cash flow futuri sarà stimato sulla base delle previsioni delle variabili primarie, quali:
• costo del lavoro e dei materiali; • prezzi e quantità dei prodotti venduti; • durata del progetto;
• grandezza e crescita del mercato competitivo e quota di mercato posseduta; • aliquota fiscale e tasso d’inflazione previsto;
• assunzioni riguardo la competizione.
L’incertezza che riguarda le variabili primarie aumenterà tanto più la loro manifestazione sarà lontana nel futuro e condizionerà le scelte di investimento, dato che l’investitore medio preferisce, a parità delle altre condizioni, un rischio inferiore e quindi richiederà un rendimento maggiore se il rischio aumenta.
Se in caso di certezza del valore dei cash flow questi venivano scontati al tasso risk-free, dato che questo veniva considerato come un investimento equivalente, per considerare l’incertezza dovremmo confrontare degli investimenti appartenenti alla stessa categoria di rischio. Si dovrà, in pratica, ritrovare il tasso di rendimento richiesto dagli investitori di un’impresa (il cui capitale, per ora, è composto da solo equity) operante esclusivamente nello stesso tipo di business che riguarda il progetto che stiamo valutando.
Anziché considerare solo un tasso (risk-free, r, di solito allineato col tasso di rendimento dei titoli di stato) che sconti i cash flow in relazione al valore temporale del denaro, dovremmo aggiungere una quota relativa al risk-premium, 𝑝∗, così che complessivamente il tasso di
sconto risulti aggiustato al rischio: 𝑘 = 𝑟 + 𝑝∗. I flussi di cassa sono scontati ora al
costo-opportunità del capitale e il Van diventa:
𝑉𝐴𝑁 = ∑ 𝐶𝐹𝑡 (1 + 𝑘)𝑡 𝑡 𝑡=1 − 𝐼 (2.31)
Ovviamente, oltre a richiedere omogeneità nel business, gli investimenti dovranno essere comparabili anche rispetto alla natura dell’investimento: un progetto che introduce un nuovo prodotto sarà sicuramente più rischioso di un progetto che basa gli introiti su clausole contrattuali. Sarà quindi necessario considerare la compatibilità rispetto ad un livello medio
