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PROGRAMMA DETTAGLIATO ( I° PARTE ) DI

ANALISI MATEMATICA

INGEGNERIA INFORMATICA A.A. 2008 – 2009

PROF. M. G. AMENDOLA

ritenuti essenziali per la prova orale.

Insiemi Elementi

Simbolo di appartenenza e di non appartenenza Uguaglianza fra insiemi

Inclusione

Quantificatore universale e quantificatore esistenziale

Implicazione e doppia implicazione Insieme vuoto e insieme spazio

Rappresentazione tabulare e rappresentazione caratteristica

Insieme dei numeri : naturali ( N ), relativi ( Z ), razionali ( Q ), reali ( R ).

Intersezione Unione Differenza Complementare

Insieme prodotto cartesiano Intorno di un punto

Punto di accumulazione e punto isolato Insieme limitati e illimitati

Insiemi finiti e infiniti Sezione dell’insieme R Elemento di separazione Maggioranti e minoranti

Estremo inferiore ed estremo superiore, e loro proprietà caratteristiche

Massimi e minimi Simbolo di sommatoria Progressioni geometriche Disequazioni di ogni tipo Valore assoluto

Fattoriale

Disposizioni, permutazioni, combinazioni, senza ripetizioni

Coefficiente binomiale Triangolo di Tartaglia Binomio di Newton

Intervalli aperti, chiusi, semiaperti o semichiusi Principio di induzione

Forma trigonometrica e sua rappresentazione Argomento principale

Prodotto e quoziente Formula di Moivre

Radici n-esime e loro rappresentazione Formula di Eulero per w = e

Formule di w = cos z e w = senz e procedimento per ricavarle

Teorema fondamentale dell’algebra Funzioni

Dominio, codominio, immagine Insieme di definizione

Funzione limitata e non

Funzione pari, dispari, periodica Funzione monotona

Funzioni iperboliche

Funzione iniettiva, suriettive, biiettiva Funzione composta

Funzione inversa

Funzioni trigonometriche inverse Successioni

Limite di successione

Successione convergente, divergente, indeterminata

Teorema di unicità del limite, con dimostrazione del solo caso l l =

Successione infinitesima e successione infinita Successione monotona

Teorema di monotonia Successione geometrica Operazioni sui limiti Forme indeterminate

Teorema della permanenza del segno Teorema di confronto

Teorema dei carabinieri Costante di Nepero

Confronto tra infinitesimi e confronto tra infiniti

Ordine di infinitesimo e ordine di infinito

Simbolo di Landau

Regole delle potenze Regole dei logaritmi Numeri complessi

Forma cartesiana e sua rappresentazione Complesso coniugato

Operazioni elementari sui numeri complesso Modulo e norma

Successioni asintotiche Funzioni

Limite di funzione ( 9 casi ) Limite destro e limite sinistro Teorema ponte

Continuità

Punti di non continuità e loro classificazione

Operazioni coi limiti di funzione

Cambiamento di variabile nel calcolo dei limiti Teoremi : Permanenza del segno – Confronto – Carabinieri

Continuità delle funzioni composte Continuità delle funzioni inverse Limiti notevoli:

x x

x x x

senx ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ +

∞

→

→

1 α lim

; lim

0

Funzioni asintotiche

Limiti di funzioni del tipo [ ^{f ( x )} ] ^{g ( x )}

Teorema di esistenza degli zeri, con dimostrazione

Teorema di Weierstrass Teorema dei valori intermedi

Definizione di incremento della variabile Definizione di incremento della funzione Definizione di rapporto incrementale Definizione di derivata in un punto e in un insieme

Retta tangente

Derivazione di alcune funzioni elementari Derivata destra e derivata sinistra

Derivate di ordine successivo al primo

Punti di non derivabilità e loro classificazione Teorema: funzione derivabile, quindi continua, con dimostrazione

Operazioni con le derivate

Derivazione di una funzione composta Derivazione di una funzione inversa

Derivata logaritmica

Massimi e minimi locali e globali

Teorema di Lagrange, con dimostrazione Significato geometrico del Teorema di Lagrange Funzioni crescenti e decrescenti, facendo uso della derivata prima

Teorema di De l’Hospital e suo uso per la risoluzione dei limiti

Definizione di funzione concava e convessa Funzioni concave e convesse, facendo uso della derivata seconda

Definizione di punto di flesso

Polinomio di grado n , di punto iniziale x _o Formula di Taylor

Formula di Mac-Laurin

Resto locale, globale, asintotico Resto di Peano, con dimostrazione Definizione di serie numerica

Successione delle somme parziali di una serie CN di convergenza di una serie

Serie armonica e seria armonica generalizzata Serie geometrica

Calcolo della somma di una serie geometrica convergente

Serie resto (o ridotta)

Serie a termini di segno costante Criterio del confronto

Criterio del confronto asintotico Criterio del rapporto

Criterio della radice

P ARTE AGGIUNTA AL I MODULO

Criterio « 2 ⁿ ».

Serie a termini di segno qualunque Criterio di Leibniz.

Convergenza assoluta.

La convergenza assoluta implica la convergenza semplice, con dimostrazione

Riordinamento dei termini di una serie.

Teorema di riordinamento di una serie

convergente ma non assolutamente convergente.