Potenziali separabili

Lezione 10 - Problemi tridimensionali con

l’equazione di Schr¨

odinger

Unit`

a 10.1 Potenziali separabili

Luca Salasnich

Dipartimento di Fisica e Astronomia “Galileo Galilei”, Universit`a di Padova

Particella 3D in un potenziale separabile (I)

L’equazione di Schr¨odinger stazionaria per una particella che si muove in tre dimensioni `e data da

ˆ H φ(x , y , z) = E φ(x , y , z) , (1) dove ˆ H = −~ 2 2m  ∂2 ∂x2 + ∂2 ∂y2+ ∂2 ∂z2  + U(x , y , z) (2)

`e l’operatore hamiltoniano di questo problema tridimensionale (3D). Assumiamo che il potenziale esterno U(x , y , z) sia separabile, cio`e del tipo

U(x , y , z) = U(1)(x ) + U(2)(y ) + U(3)(z) , (3) dove U(1)_{(x ) `e un potenziale che agisce sulla sola coordinata x , U</sub>(2)<sub>(y ) `e} un potenziale che agisce sulla sola coordinata y , e U(3)_{(z) `e un}

Particella 3D in un potenziale separabile (II)

Il problema in esame `e descritto dalla equazione di Schr¨odinger stazionaria −~ 2 2m  ∂2 ∂x2+ ∂2 ∂y2 + ∂2 ∂z2  φ(x , y , z) +U(1)(x ) + U(2)(y ) + U(3)(z)φ(x , y , z) = E φ(x , y , z) . (4)

Il fatto che il potenziale sia separabile ci suggerisce la seguente fattorizzazione per la funzione d’onda

φ(x , y , z) = φ(1)(x ) φ(2)(y ) φ(3)(z) , (5) dove φ(1)_{(x ) `e un funzione della sola coordinata x , φ</sub>(2)<sub>(y ) `e una funzione} della sola coordinata y , e φ(3)_{(z) `e una funzione della sola coordinata z.}

Particella 3D in un potenziale separabile (III)

Assumiamo anche che

E = E(1)+ E(2)+ E(3), (6)

dove E(1)`e l’energia del moto lungo la coordinata x , E(2)`e l’energia del moto lungo la coordinata y , ed E(3)`e l’energia del moto lungo la coordinata z.

L’equazione di Schr¨odinger diventa φ(2)(y ) φ(3)(z)  −~ 2 2m ∂2 ∂x2 + U (1)_{(x ) − E}(1)  φ(1)(x ) +φ(1)(x ) φ(3)(z)  −~ 2 2m ∂2 ∂y2+ U (2)_{(y ) − E}(2)  φ(2)(y ) +φ(1)(x ) φ(2)(y )  −~ 2 2m ∂2 ∂z2+ U (3)_{(z) − E}(3)  φ(3)(z) = 0 . (7)

Particella 3D in un potenziale separabile (IV)

Abbiamo quindi la somma di tre termini: uno che dipende dalla sola variabile x , uno che dipende solo dalla variabile y , uno che dipende solo dalla variabile z. E la somma deve essere uguale a zero. Per consistenza matematica, ognuno dei tre termini deve essere uguale a zero.

Particella 3D in un potenziale separabile (V)

Quindi si trovano tre equazioni di Schr¨odinger indipendenti  −~ 2 2m ∂2 ∂x2+ U (1)_{(x )}  φ(1)(x ) = E(1)φ(1)(x ) ,  −~ 2 2m ∂2 ∂y2+ U (2)_{(y )}  φ(2)(y ) = E(2)φ(2)(y ) ,  −~ 2 2m ∂2 ∂z2 + U (3)_(z)  φ(3)(z) = E(3)φ(3)(z) . (9)

In conclusione, se il potenziale `e separabile il problema 3D si riconduce a tre problemi 1D.

Applicazione: il potenziale armonico tridimensionale (I)

Consideriamo una particella quantistica sotto l’azione del potenziale armonico tridimensionale U(x , y , z) =1 2mω 2 1x 2₊1 2mω 2 2y 2₊1 2mω 2 3z 2_{. (10)}

Il potenziale `e separabile, infatti

U(x , y , z) = U(1)(x ) + U(2)(y ) + U(3)(z) , (11) dove U(1)(x ) = 1 2mω 2 1x2 (12) U(2)(y ) = 1 2mω 2 2y 2 ₍₁₃₎ U(3)(z) = 1 2mω 2 3z 2_{. (14)}

Applicazione: il potenziale armonico tridimensionale (II)

Sulla base di quanto discusso precedentemente, il problema 3D si riduce a tre problemi 1D indipendenti di una particella in potenziale armonico. Per quanto abbiamo gi`a visto sul problema 1D di una particella in potenziale armonico ne segue che

 −~ 2 2m∇ 2₊1 2mω 2 1x 2₊1 2mω 2 2y 2₊1 2mω 2 3z 2  φn1n2n3(r) = En1n2n3φn1n2n3(r) (15) dove φn1n2n3(r) = φ (1) n1(x ) φ (2) n2(y ) φ (3) n3 (z) (16) ed inoltre En1n2n3 = ~ω1(n1+ 1 2) + ~ω2(n2+ 1 2) + ~ω3(n3+ 1 2) (17)

ricordando la formula di quantizzazione dei livelli energetici

dell’oscillatore armonico 1D. Qui n1, n2, n3sono tre numeri naturali: i tre numeri quantici che caratterizzano i livelli energetici.

Applicazione: il potenziale armonico tridimensionale (III)

Nel caso particolare ω1= ω2= ω3, indicando con ω le tre frequenze uguali si ha  −~ 2 2m∇ 2₊1 2mω 2_(x2_{+ y}2_{+ z}2₎  φn1n2n3(r) = En1n2n3φn1n2n3(r) (18) dove φn1n2n3(r) = φ (1) n1(x ) φ (1) n2(y ) φ (1) n3 (z) (19) ed inoltre En1n2n3 = ~ω(n1+ n2+ n3+ 3 2) . (20)

Anche qui n1, n2, n3 sono i tre numeri quantici che caratterizzano i livelli energetici.

Lo stato fondamentale ha energia E000= 3~ω/2 mentre il primo stato eccitato ha energia E100= E010= E001= 5~ω/2. Il primo stato eccitato risulta essere degenere: ci sono tre funzioni d’onda indipendenti che producono la stessa energia.

Il formalismo di Dirac

In generale, lo stato quantistico stazionario di un problema 3D `e

caratterizzato da tre numeri quantici n1, n2, n3. Paul Dirac ha introdotto il simbolo

|n1n2n3i (21)

detto ”ket di Dirac” per rappresentare questo stato quantistico

stazionario.1 _{Inoltre, nel simbolismo di Dirac, l’equazione di Schr¨odinger} stazionaria viene scritta come segue

ˆ

H|n1n2n3i = En1n2n3|n1n2n3i , (22)

dove ˆH `e l’operatore hamiltoniano del sistema in esame.

Questo simbolismo di Dirac evita di dover scrivere esplicitamente la funzione d’onda φn1n2n3(r) = φn1n2n3(x , y , z).