cinematica_1d_esercizi_medicina

Fisica Medica - CINEMATICA 1D 1

Cinematica 1-dimensionale

Fisica con elementi di matematica - CINEMATICA 1D 2

MOTO UNIFORME

a = 0, v = cost, x = x

+vt

3

Moto Uniformemente Accelerato

Moto Uniformemente Accelerato

a = cost.

v = v

+at

x

=

x

+

v

t+at

_/2

v

_{- v}

_2a(x-x

₎

4

Qualche consiglio per evitare problemi…

•  Capire che tipo di problema avete davanti:

moto rettilineo, circolare, se ci sono forze di

attrito, se il moto è accelerato o no…

questo vi

permette di capire quali formule dovete usare ;-)

• Rispondete alle domande

UNA ALLA VOLTA

…

Le risposte vanno date in un ordine preciso…

• Dividete quindi il problema in pezzi in base

all’ordine delle domande

5

•  Una lista con i dati iniziali

• 

Portare le unità di misura nel sistema MKS (se

non è espressamente chiesto il contrario)

•  Fare un bel disegno esplicativo (non artistico);

indicare punti iniziali e finali (se ci sono),

le

direzioni e i versi delle velocità, accelerazioni e

forze…

• se necessario, fate un nuovo disegno per ogni

nuovo pezzo del problema…

• Nel disegno fate attenzione ai versi di velocità,

accelerazioni e forze…

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•  Poniamo di dover studiare il moto di

un’automobile che si muove di moto rettilineo.

•

Cominceremo col definire un verso per il moto

(ad esempio da sinistra verso destra).

• Indicheremo ad esempio il punto iniziale (

),

• o magari la velocità iniziale (

), la velocità finale

eccetera eccetera…

• In definitiva, cercheremo di indicare

ciò che

sappiamo

, ciò che accade nel moto e

ciò che

vogliamo scoprire

X₀

Fisica con elementi di matematica -

CINEMATICA 1D 7

• Se vogliamo aggiungere un’accelerazione dovremo capire se

è diretta in verso positivo (da sinistra a destra) o negativo (da

destra a sinistra)…

• Ciò determina se il segno dell’accelerazione nelle equazioni

è + o – (vedremo degli esempi con l’accelerazione di gravità)

• Lo stesso vale per forze, altre velocità ecc

X₀

V₀

Accelerazione > 0 Accelerazione < 0

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Esercizio (traccia)

n  Un’automobile viaggia su una strada piana e rettilinea alla velocità

costante di 72 km/h.

n  Ad un certo istante una seconda auto parte da ferma da un punto a 125

metri dietro la prima auto con un’accelerazione costante di 2 m/s2.

1.  L’istante e la posizione il cui la seconda auto raggiunge la prima

2.  L’istante e la posizione il cui le velocità sono le stesse

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Esercizio (soluzione)

n  Strada piana e rettilinea à moto rettilineo

n  Dati iniziali:

Auto 1:

vel. iniz. v₀₁=72 km/h costante, pos. iniz. x₀₁=125 m

Auto 2:

vel. iniz. v₀₂= 0, pos. iniz. x₀₂= 0 acc. a₀=2 m/s2 _costante

n  Facciamo un disegno per chiarirci le idee….

x₀₂ =0 m x₀₁ = 125 m Auto 2 Auto 1

10

Esercizio (soluzione)

n  Strada piana e rettilinea à moto rettilineo

n  Dati iniziali:

Auto 1:

vel. iniz. v₀₁=72 km/h = 72/3.6 m/s = 20 m/s, pos. iniz. x₀₁=125 m

Auto 2:

vel. iniz. v₀₂=0, pos. iniz. x₀₂=0 acc. a₀=2 m/s2 _costante

n  Facciamo un disegno per chiarirci le idee….

x₀₂ =0 m x₀₁ = 125 m Auto 2 Auto 1

Fisica con elementi di matematica -

CINEMATICA 1D 11

n  Le velocità e l’accelerazione sono nel verso positivo dell’asse

n  Leggi orarie: 1.  v₁=costante, x₁(t)= x₀₁+v₁*t 2.  v₂(t)= v₀₂+a₀*t = a₀*t 3.  x₂(t)= x₀₂+v₀₂*t + a₀*(t)2/2 = a₀*(t)2/2 x₀₂ =0 m x₀₁ = 125 m Auto 2 Auto 1 v₀₂ v₀₁= cost

Fisica con elementi di matematica -

CINEMATICA 1D 12

Qual è la condizione per cui le macchine si incontrano?

Devono stare ad un determinato istante di tempo nella medesima posizione rispetto all’origine degli assi:

x

(t)= x

(t)

x

+v

*t

= a

*(t)

_/2

a

*(t)

_{/2 - v}

*t

- x

= 0

Risolviamo un’equazione di secondo grado in t

Avremo 2 soluzioni:

t

= -5 s

t

=

25 s

La posizione in cui si incontrano sarà:

13

Esercizio

H

L

H

L

14

Esercizio

v

= v

v

= a

*t

t

= 20/2 s

= 10 s

x

(t

) = x

+ v

* t

= 125 + 20*10 = 325 m

x

(t

)

= a

*(t

)

_{/2 = 100 m}

15

Esercizio

H

L

H

ê

L

Fisica con elementi di matematica -

CINEMATICA 1D 16

Qual è la velocità della seconda macchina quando raggiunge la prima?

La seconda auto raggiunge la prima dopo t = 25 s. Quindi:

v₂(25) = a₀*t = 50 m/s

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Esercizio (Traccia)

Un uomo di 70.0 kg salta da una finestra nella rete dei vigili

del fuoco tesa a 11.0 m più in basso.

18

Esercizio (soluzione)

Moto in caduta libera dell’uomo per 11.0 m, con velocità

iniziale pari a zero;

Importante: MOTO IN CADUTA LIBERA SIGNIFICA

CHE C’E

’

_{ACCELERAZIONE DI GRAVITA}

’

_{g = 9.8 m/s}

_,

19

SOLUZIONE

20

SOLUZIONE

Caduta libera: Moto rettilineo unif. accelerato

y = y₀ + v₀t + at2 _{/ 2= h}

0 – g*t2 / 2à

h_{0 g}

21

SOLUZIONE

Caduta libera: Moto rettilineo unif. Accelerato

Per conoscere la velocità a terra devo conoscere il tempo che il corpo impiega per arrivare nella posizione 0

Condizione: y(t) = 0

h₀ – g*t2_{/2 = 0}

22

SOLUZIONE

v = - gt = - 9,8*

1.5 = - 14.7 m/

s

23

Esercizio (traccia)

n  Un treno transita alle 15,28 nella stazione A alla velocità v_A = 60

km/h e deve raggiungere la stazione B distante s = 20 km da A alle 15,43

1.  Quale accelerazione deve dare il macchinista per poter

raggiungere B in perfetto orario?

2.  Con quale velocità v₂ passerà il treno nella stazione B?

3.  Se in B il macchinista trova il segnale rosso di arresto, in quanto

tempo può far fermare il treno applicando una decelerazione di modulo 3 m/s2_?

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Esercizio (soluzione)

n  Dati iniziali:

Istante iniziale t₁ = 15 h 28 min, istante finale t₂ = 15 h 43 min Δt = 15 min = 900 s velocità. iniz. v_A= 60 km/h = 16.7 m/s distanza fra A e B s = 20 km = 20000 m 0 20 km A B v_A v_B a x

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Nel moto uniformemente accelerato abbiamo:

x (t) = v_A*t + a *(t)2_/2

(la posizione iniziale è la stazione A ed è posta = 0)

In questo caso considerando che il treno impiega Δt = 900 s per andare da A a B otteniamo

x (Δt) = v_A *Δt + a *(Δt)2_{/2 à s = v}

A *Δt + a *(Δt)2/2

a = 2 *(x – v_A *Δt)/Δt2 _{= 2 *(20000 – 16.7*900)/(900)}2 _m/s2 _{= 0.0123 m/s}2

Quale accelerazione deve dare il macchinista per poter raggiungere B in perfetto orario?

26

Esercizio (soluzione)

Nel moto uniformemente accelerato abbiamo:

v

= v

+ a*(Δt)

= 27.77 m/s

Con quale velocità v₂ passerà il treno nella stazione B?

0 20 km

A B

v_A v_B

27

n  Se in B il macchinista trova il segnale rosso di arresto, in quanto tempo può

far fermare il treno applicando una decelerazione in modulo di 3 m/s2_?

|d| = 3 m/s2 A B d v_B 0 C

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Siccome sappiamo che alla fine la sua velocità sarà pari a 0 (il treno si ferma!!!) possiamo scrivere

0 = v₂ - d*t t = v₂/d = 27.77/3 s = 9.26 s A B d v_B 0 C

29

Esercizio (traccia)

n  Un prestigiatore si esibisce in una stanza il cui soffitto si trova a

2.70 m al di sopra delle sue mani. Egli lancia una palla verticalmente verso l’alto in modo che essa raggiunga esattamente il soffitto prima di fermarsi. Calcolare:

1.  La velocità iniziale con cui viene lanciata la palla.

30

Esercizio (soluzione)

n  Dati iniziali:

Altezza soffitto h = 2.7 m

g

Pongo l’origine degli assi (e quindi la quota 0 di y) all’altezza delle mani del prestigiatore

v0

0 h

31

Esercizio (soluzione)

Consideriamo le equazioni del moto rettilineo unif. accelerato

applicate al nostro caso:

h = v

*t – g*t

_/2

0 = v

– g*t

Velocità iniziale con cui viene lanciata la palla?

v0

0 h

Abbiamo 2 equazioni in 2 incognite, risolviamo il sistema:

32

Esercizio (soluzione)

n 

Dalla seconda otteniamo t = v

/g ; sostituita nella prima

otteniamo:

h = v

(v

/g ) - g*(v

/g )

_{/2 = v}

/g - v

/(2g) = v

/(2g)

e quindi:

v

_{= 2 g*h = 2 x (9.8) x 2.7 = 52.92 (m/s)}

da cui v

= 7.27 m/s

33

Esercizio (soluzione)

Ora possiamo rispondere anche alla seconda domanda

riutilizzando la formula trovata prima:

n 

t = v

/g = 7.27/9.8 = 0.74 s

34

Esercizio (traccia)

•  In una gara di corsa sui 100 m, un atleta taglia il traguardo con un

tempo di 10.2 sec. Il corridore raggiunge la sua velocità massima dopo 2 sec, con una accelerazione costante. Una volta raggiunta la velocità massima, la mantiene sino all’arrivo.

Calcolare:

•  l’accelerazione;

35

Esercizio (soluzione)

1 = 2 s

36

Esercizio (soluzione)

a

0 m 100 m

Possiamo dividere il problema in due fasi:

• L’atleta raggiunge la velocità massima da fermo (moto uniformemente accelerato per t₁ = 2 s)

• L’atleta continua la corsa con velocità costante (moto rettilineo uniforme per t₂ = 10.2 -2 = 8.2 s)

37

Esercizio (soluzione)

•  Nella prima fase abbiamo x = a*t2/2, v = a*t (parte dall’origine e da fermo)

Dopo t₁ = 2 s (alla fine del tratto rettilineo unif. accelerato) avrà compiuto uno spazio x₁ = 2*a

e avrà raggiunto la velocità di v₁ = 2*a

•  Nella seconda fase l’atleta si muoverà di moto rettilineo unif. per t₃ = 8.2 s partendo da x₁ e mantenendo costante la velocità v₁ :

x = x₁ + v₁ * t₃

•  Considerando x = 100 m otteniamo:

2*a+ 2*a *(8.2) = 100 m

a = 5.44 m/s

38

Esercizio (soluzione)

Velocità massima = ?

39

Un aereo atterra ad una velocità v₀ = 100 m/s e per per fermarsi può decelerare al massimo di 5 m/s2 _{in modulo.}

1.  Dall’istante in cui l’aereo tocca terra qual è l’intervallo minimo necessario per fermarsi?

2.  L’aereo può atterrare su una pista di 800 m?

40

Dati:

v₀ = 100 m/s |a| = 5 m/s2

Considero come origine il punto in cui l’aero atterra

Soluzione

v₀

0

41

Moto rettilineo unif. accelerato

Condizione affinché l’aero si fermi è che la velocità finale sia zero

v = v₀ – a*t = 0

Soluzione

42

Per sapere se l’aero atterra in 800 m calcoliamo lo spazio necessario all’aero per fermarsi e lo confrontiamo con 800 m

Il moto come sappiamo e rettilineo unif. accelerato uso la formula:

v_f2 _{– v}

02 = 2*a*(xf – x0)

Chiamando (x_f – x₀) = Δx Otteniamo:

Δx = 1000 m > 800 m

Quindi l’aero non riuscirà ad atterrare su una pista di 800 m

Soluzione