Misura del momento d’inerzia di un volano
Si suppone che il momento degli attriti del volano sia costante in modulo, dipenda cioè dal verso della velocità angolare, ma non dalla sua intensità. Questa ipotesi è verificata se il moto risulta in modo sperimentale uniformemente accelerato.
Si può analizzare il moto misurandolo in due fasi successive (una di salita e una di discesa del pesetto). Invertendo l’ordine delle fasi si ottengono equazioni del moto diverse. Consideriamo il caso in cui avvenga prima la salita e poi la discesa. In questo caso il moto del volano si inverte quando la massa appesa, raggiunge la sua massima quota. Il volano passa quindi da un moto orario a un moto antiorario (salita e discesa del pesetto) che presentano momenti d’attrito opposti in verso, ma di uguale intensità.
In questi due tratti del moto ci sono accelerazioni e tensioni del filo differenti.
Le equazioni del moto del volano in discesa ed in salita sono
€
salita : moto orario TsR + MATT = Iαs= Ias R mg −Ts= mas
discesa : moto antiorario TdR − MATT = Iαd = Iad R mg −Td = mad
da cui risolvendo il sistema il momento d’inerzia del volano è
€
I =2mgR2
ad + as− mR2≈ 2mgR2 ad+ as e l’errore sul momento d’inerzia è
€
σI = ∂I
∂adσa
d
2
+ ∂I
∂asσa
s
2
+ ∂I
∂amσa
m
2
+ ∂I
∂aRσa
R
2
= 2mgR2
ad+ as
( )2
2
σa2d + 2mgR2 ad+ as
( )2
2
σa2s + 2gR2 ad+ asσm
2
+ 4mgR ad + asσR
2
= 2mgR2 ad + as
( )
σa
d
2 +σa
s
2
ad + as
( )2 +
σm2 m2 +4σR2
R2 = I σa
d
2 +σa
s
2
ad+ as
( )2 +
σm2 m2 +4σR2
R2 Il momento d’attrito utilizzando la prima equazione invece è
€
MATT = I + mR( 2)aRs− mgR ≈ RI as− mgR
con errore
€
σMATT = ∂MATT
∂as σas
2
+ ∂MATT
∂I σI
2
+ ∂MATT
∂m σm
2
+ ∂MATT
∂R σR
2
= I2
R2σa2s + as2
R2σI2+ g2R2σm2 + I2as2 R4 + m2g2
σR2
Le equazioni del moto del volano nel caso si analizzino prima la discesa e poi la salita (per cui la velocità angolare e il momento d’attrito non cambiano direzione, ma si inverte il momento della forza peso) sono
€
mgR − MATT = I + mR( 2)αd = I + mR( 2)aRd discesa
−mgR − MATT = I + mR( 2)αs= − I + mR( 2)aRs salita
fornendo esattamente lo stesso risultato. In questo caso nell’istante in cui il pesetto inverte la direzione di moto, si esercita sull’asse un piccolo impulso che può causare una oscillazione anche importante.
Mar 3, 2010
50
€
m = 35± 0.5g R = 1.9 ± 0.02cm
