Calcolo 2 per Chimici, I Appello Sess. EA/Inv, 21/01/2014 1 Scrivere la serie di McLaurin della funzione
(1 + x) log(1 + x)
e determinare il raggio di convergenza ρ (tener conto che la serie inizia dal termine di grado 2 ed `e preceduta da un polinomio di primo grado).
R: x +P∞
k=2(−1)kk(k−1)xk , sia calcolando le derivate che usando il noto sviluppo di log(1 + x); ρ = 1.
2 Studiare la funzione
f (x, y) = xy(9 − x − y)
determinandone max e min assoluti nel dominio triangolare D = [ABC, con A = (0, 0), B = (9, 0), C = (0, 9)
R: Risulta immediatamente che f `e = 0 sui lati di [ABC, e positiva nell’interno, dove ∇f = (0, 0) solo sul punto (3, 3) (essendoci un solo punto critico `e il punto di max assoluto, per la conclusione non serve quindi che D2f (3, 3) < 0), con f (3, 3) = 27; il min `e pari a 0, e si raggiunge sui lati di [ABC.
3 Determinare la soluzione, con il suo dominio d’esistenza D, del seguente problema ai valori iniziali:
y0 = x2
cos y; y(0) = 0
e verificare esplicitamente la correttezza della soluzione.
R:
y(x) = arcsinx3
3 ; D = (−√3 3,√3
3)
4 Valutare l’integrale doppio Z Z
T
1
(1 + x + y)2dxdy
dove T = [ABC, con A = (0, 0), B = (1, 0), C = (0, 1) Per controllo, effettuarne il calcolo anche con il cambiamento di variabili
u = (x + y)/2, v = (x − y)/2 .
R: ln 2 − 1/2 =RR
T0 1
(1+2u)22dudv, con T0 triangolo del piano uv, di vertici (0, 0), (1/2, ±1/2).
1
2
5 Mediante una formula di Green valutare l’integrale di linea I
γ
(x − y3)dx + (x3+ y3)dy
dove γ = ∂D+, con D = ((x, y) : x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y2 ≤ 1.
R: 38π, applicando Stokes ed usando coordinate polari per l’integrale doppio.