il min `e pari a 0, e si raggiunge sui lati di [ABC

Calcolo 2 per Chimici, I Appello Sess. EA/Inv, 21/01/2014 1 Scrivere la serie di McLaurin della funzione

(1 + x) log(1 + x)

e determinare il raggio di convergenza ρ (tener conto che la serie inizia dal termine di grado 2 ed `e preceduta da un polinomio di primo grado).

R: x +P∞

k=2(−1)^k_k(k−1)^xk , sia calcolando le derivate che usando il noto sviluppo di log(1 + x); ρ = 1.

2 Studiare la funzione

f (x, y) = xy(9 − x − y)

determinandone max e min assoluti nel dominio triangolare D = [ABC, con A = (0, 0), B = (9, 0), C = (0, 9)

R: Risulta immediatamente che f `e = 0 sui lati di [ABC, e positiva nell’interno, dove ∇f = (0, 0) solo sul punto (3, 3) (essendoci un solo punto critico `e il punto di max assoluto, per la conclusione non serve quindi che D²f (3, 3) < 0), con f (3, 3) = 27; il min `e pari a 0, e si raggiunge sui lati di [ABC.

3 Determinare la soluzione, con il suo dominio d’esistenza D, del seguente problema ai valori iniziali:

y⁰ = x²

cos y; y(0) = 0

e verificare esplicitamente la correttezza della soluzione.

R:

y(x) = arcsinx³

3 ; D = (−√³ 3,√³

3)

4 Valutare l’integrale doppio Z Z

T

1

(1 + x + y)²dxdy

dove T = [ABC, con A = (0, 0), B = (1, 0), C = (0, 1) Per controllo, effettuarne il calcolo anche con il cambiamento di variabili

u = (x + y)/2, v = (x − y)/2 .

R: ln 2 − 1/2 =RR

T⁰ 1

(1+2u)²2dudv, con T⁰ triangolo del piano uv, di vertici (0, 0), (1/2, ±1/2).

1

2

5 Mediante una formula di Green valutare l’integrale di linea I

γ

(x − y³)dx + (x³+ y³)dy

dove γ = ∂D₊, con D = ((x, y) : x ≥ 0, y ≥ 0, x² + y² ≤ 1.

R: ³₈π, applicando Stokes ed usando coordinate polari per l’integrale doppio.