8. Integrali curvilinei di prima specie (di densità)

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Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1

Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it

Integrali curvilinei di prima specie (integrali di densit`a) 6 Dicembre 2016

Indice

1 Integrali di linea di prima specie 2

1.1 Elemento di lunghezza di una curva parametrizzata. . . 2

1.2 Definizione di integrale curvilineo non-orientato . . . 2

2 Alcune interpretazioni dell’integrale curvilineo 3 2.1 Interpretazione fondamentale: l’integrale di una densit`a di massa `e la massa totale . . 3

2.2 La lunghezza di una curva . . . 4

2.3 Baricentri di linee. . . 4

2.4 Carica totale su un filo . . . 4

2.5 Area di una superficie . . . 5

3 Invarianza di un integrale di linea di prima specie per riparametrizzazione 5 3.1 Formula del cambio di variabile nell’integrale . . . 5

3.2 Invarianza per riparametrizzazione . . . 6

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1 Integrali di linea di prima specie

1.1 Elemento di lunghezza di una curva parametrizzata

Una curva parametrizzata nello spazio R3_`_{e una funzione}

[a, b]−→ RC 3 _{t 7−→ C(t) = (x(t), y(t), z(t)),} _{t ∈ [a, b]}

Dunque, C assegna a ogni istante t ∈ [a, b] un punto C(t) nello spazio R3_.

Supponiamo che C sia di classe C1, cioè che le sue componenti x(t), y(t), z(t) siano derivabili, con derivata continua, sull’intervallo [a, b]. Il vettore C0(t) = (x0(t), y0(t), z0(t)) è il vettore tangente o vettore velocità istantanea della curva C in t.

Il sostegno di una curva C `e l’immagine Im C della funzione C, cio`e l’insieme di tutti i punti C(t), al variare di t in [a, b]:

Sostegno di C = Im C = {C(t) ∈ R3, t ∈ [a, b]}

Il modulo (o la lunghezza) di un vettore v = (v1, v2, v3) in R3`e, per definizione,

|v| =qv2

1+ v22+ v23

In particolare, se C0(t) = (x0(t), y0(t), z0(t)), abbiamo

|C0(t)| =px0_(t)2_{+ y}0_(t)2_{+ z}0_(t)2

L’elemento di lunghezza della curva C `e

ds = |C0(t)| dt =px0_(t)2_{+ y}0_(t)2_{+ z}0_(t)2_dt

Noi non daremo una definizione rigorosa dei simboli ds o dt, anche se ciò si potrebbe fare. Ma sarà utile dare loro un nome, perché sono espressioni che compariranno sotto il segno di integrale.

Una curva parametrizzata C si dice semplice se `e iniettiva.

1.2 Definizione di integrale curvilineo non-orientato

Sia ora f = f (x, y, z) una funzione reale continua definita (almeno) sul sostegno della curva C, ossia una funzione il cui dominio includa il sostegno della curva C. (In generale f sar`a una funzione definita su un aperto U di R3 _{contenente il sostegno della curva).}

Definizione 1.1 L’integrale di linea (o curvilineo) di prima specie di f lungo la curva C `e Z C f ds = Z b a f (C(t)) |C0(t)| dt (1.1) = Z b a f (x(t), y(t), z(t))px0_(t)2_{+ y}0_(t)2_{+ z}0_(t)2_dt _(1.2)

Dunque, l’integrale curvilineo di prima specie R

Cf (x, y, z) ds si ottiene formalmente:

1) sostituendo al posto di x, y, z rispettivamente x(t), y(t), z(t);

2) sostituendo al posto dell’elemento di lunghezza ds della curva C l’espressione p

x0_(t)2_{+ y}0_(t)2_{+ z}0_(t)2_dt

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Esempio 1.2 Sia C l’arco di curva (elica cilindrica) di equazioni parametriche C(t) =    x = cos t y = sin t 0 ≤ t ≤ 2π z = t Calcolare Z C z ds. Soluzione. Qui f (x, y, z) = z e ds =px0_(t)2_{+ y}0_(t)2_{+ z}0_(t)2_{dt =}p_{(− sin t)}2_{+ (cos t)}2_{+ 1}2_{dt =}√_{2 dt} Dunque Z C z ds = 2π Z 0 t√2 dt = 2√2 π2

2 Alcune interpretazioni dell’integrale curvilineo

Vediamo ora alcune importanti interpretazioni dell’integrale di linea di prima specie. Negli esempi seguenti, prenderemo in considerazione una curva parametrizzata semplice e il suo sostegno (che si può pensare, in termini fisici, come un filo). Dimostreremo più avanti che il risultato a cui si arriva calcolando l’integrale di linea di prima specie non dipende da come si parametrizza il filo, né da quale orientazione si fissi su di esso. (Invarianza dell’integrale di linea di prima specie rispetto alle riparametrizzazioni).

2.1 Interpretazione fondamentale: l’integrale di una densit`

a di massa `

e la

massa totale

Sia C una curva parametrizzata semplice. L’integrale di linea di prima specieR

Cf (x, y, z) ds Z C f ds = Z b a f (C(t)) |C0(t)| dt (2.1) = Z b a f (x(t), y(t), z(t))px0_(t)2_{+ y}0_(t)2_{+ z}0_(t)2_dt _(2.2) `

e un limite di somme del tipo

n

X

i=1

f (P_i∗) ∆si

dove ∆si`e la lunghezza di un piccolo archetto della curva C e Pi∗`e un punto scelto (in modo arbitrario)

su di esso. Non importa quale punto P_i∗ si scelga, perch´e il segmentino di lunghezza ∆si`e cos`ı piccolo

che, su di esso, la funzione f si può pensare costante. Pensiamo che il sostegno della curva C sia l’idealizzazione di un filo e che la funzione f rappresenti una densità lineare di massa. Questo significa che la massa ∆mi di un piccolo archetto di lunghezza ∆si è data da

∆mi= f (Pi∗) ∆si (2.3)

Allora l’integrale

Z

C

f (x, y, z) ds (2.4)

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2.2 La lunghezza di una curva

La lunghezza di una curva si può vedere come un integrale di linea di prima specie: precisamente, è la massa totale quando la densità di massa è la funzione costante uguale a 1.

Definizione 2.1 Sia

una curva parametrizzata di classe C1_{. La lunghezza di C `}_e

Z C ds = Z b a |C0_{(t)| dt} _(2.5) = Z b a p x0_(t)2_{+ y}0_(t)2_{+ z}0_(t)2_dt _(2.6)

Si noti che la definizione ha senso anche se la curva C non è semplice (cioè non è iniettiva). Ad esempio, C può essere la curva C(t) = (cos t, sin t), con t ∈ [0, 4π]. Questa curva C non è semplice (è la circonferenza percorsa due volte) e la sua lunghezza è 4π (due volte la lunghezza della circonferenza).

2.3 Baricentri di linee

Sia [a, b] −→ RC 3_{, t 7−→ C(t) = (x(t), y(t), z(t)), una curva parametrizzata semplice.} _Pensiamo

al sostegno di C come a una linea materiale nello spazio, ossia come alla idealizzazione di un filo. Supponiamo che la densit`a lineare di massa del filo sia espressa da una funzione λ = λ(x, y, z). Definizione 2.2 Il baricentro, o centro di massa, G della linea C `e il punto le cui coordinate sono date da xG= R C x λ(x, y, z) ds R C λ(x, y, z) ds , yG= R C y λ(x, y, z) ds R C λ(x, y, z) ds , zG= R C z λ(x, y, z) ds R C λ(x, y, z) ds (2.7)

Se la densit`a di massa λ `e costante, il baricentro si chiama anche centroide. In questo caso, semplificando il fattore costante λ al numeratore e al denominatore delle formule (2.7) e ricordando che R

C

ds = L `e la lunghezza della curva C, ricaviamo per le coordinate del centroide le seguenti espressioni: xG= 1 L Z C x ds yG = 1 L Z C y ds zG= 1 L Z C z ds (2.8)

2.4 Carica totale su un filo

Supponiamo che su un filo siano presenti cariche elettriche e sia λ la densità lineare di carica sul filo. Allora la quantità di carica ∆Q presente su un piccolo tratto di filo di lunghezza (positiva) ∆s è

∆Q = λ(P ) ∆s

dove P `e un qualunque punto sul tratto di filo. Allora, se il filo `e sostegno di una curva parametrizzata C, l’integrale R

C

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2.5 Area di una superficie

Se C `e una curva nel piano (x, y) e f (x, y) > 0 per ogni punto (x, y) sul sostegno della curva, possiamo intepretare l’integraleR

C

f ds come l’area della superficie la cui base `e il sostegno di C e la cui altezza, sul punto (x, y) della curva, `e f (x, y).

Figura 1: L’integraleR

C

f ds `e l’area della figura tratteggiata, al di sopra dela curva C.

3 Invarianza di un integrale di linea di prima specie per

ripa-rametrizzazione

Ora enunciamo e dimostriamo in modo rigoroso il fatto che l’integrale di linea di prima specie lungo una curva non cambia se si riparametrizza la curva, anche magari cambiandone l’orientazione. Questo `

e ovvio, se si pensa al significato di tale integrale come massa totale, o come lunghezza, o come carica totale.

Cominciamo con il ricordare la formula del cambio di variabile nell’integrale.

3.1 Formula del cambio di variabile nell’integrale

Torniamo a studiare il cambio di variabili in un integrale definito (di Riemann). (Il teorema seguente `

e gi`a stato dimostrato; ne riportiamo qui l’enunciato per comodit`a).

Teorema 3.1 (Cambio di variabili negli integrali definiti) Sia [a, b]−→ R una funzione conti-f nua sull’intervallo [a, b] (a < b) e sia [α, β]−→ [a, b] una funzione biunivoca con derivata continua suϕ un intervallo [α, β] (α < β). Allora: Z ϕ(β) ϕ(α) f (x)dx = Z β α f (ϕ(t))ϕ0(t)dt (3.1)

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1) Se ϕ `e crescente (cio`e ϕ0(t) ≥ 0, ϕ(α) = a e ϕ(β) = b), si ha: Z b a f (x)dx = Z β α f (ϕ(t))ϕ0(t)dt (ϕ(α) = a, ϕ(β) = b) (3.2)

2) Se ϕ `e decrescente (cio`e ϕ0(t) ≤ 0, ϕ(α) = b e ϕ(β) = a), ricordando che Ra

b f (x)dx = −Rb af (x)dx, si ha: Z b a f (x)dx = − Z β α f (ϕ(t))ϕ0(t)dt (ϕ(α) = b, ϕ(β) = a) (3.3)

Si vede allora subito che i due casi (ϕ crescente o decrescente) si possono riassumere, oltre che nella forma (3.1), anche nel modo seguente:

Rb

a f (x)dx =

Rβ

α f (ϕ(t)) |ϕ

0_{(t)| dt} _(3.4)

Infatti, quando ϕ0(t) ≥ 0 si ha |ϕ0(t)| = ϕ0(t) e quindi la (3.4) si riduce alla (3.2), mentre se ϕ0(t) ≤ 0 si ha |ϕ0(t)| = −ϕ0(t), e si ottiene la (3.3).

3.2 Invarianza per riparametrizzazione

Sia

una curva parametrizzata (di classe C1) e sia f una funzione definita sul sostegno di C. Ricordiamo che l’integrale di linea di prima specie di f lungo C `e dato da

Z C f ds = Z b a f (C(t)) |C0(t)| dt (3.5) = Z b a f (x(t), y(t), z(t))px0_(t)2_{+ y}0_(t)2_{+ z}0_(t)2_dt _(3.6)

Ora riparametrizziamo la curva C. Questo significa che consideriamo un cambio di parametro

[α, β]−→ [a, b]ϕ (3.7)

dove ϕ `e una funzione biunivoca di classe C1_{. Se chiamiamo t il parametro su [a, b] e τ (si legge ‘tau’)}

il parametro su [α, β], scriveremo

t = ϕ(τ ), o pi`u semplicemente t = t(τ ) (3.8)

La curva [α, β]−→ Rγ 3 _{che si ottiene come composizione di ϕ e C}

γ = C ◦ ϕ, γ(τ ) = C(ϕ(τ )) (3.9)

si chiama riparametrizzazione di C mediante ϕ:

[a, b] [α, β] ϕ R3 C γ = C ◦ ϕ

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Diremo che la curva γ = C ◦ ϕ e la curva C sono equivalenti.

Se ϕ0(τ ) > 0 (per ogni τ ∈ [α, β]) si dice che C e γ hanno la stessa orientazione. Se invece ϕ0(τ ) < 0, si dice che hanno orientazioni opposte.

Teorema 3.2 (Invarianza dell’intergale curvilineo rispetto al cambio di parametrizzazione) Siano C e γ due curve parametrizzate equivalenti (non importa se con la stessa orientazione oppure no): [a, b] [α, β] ϕ R3 C γ = C ◦ ϕ

Sia f una funzione continua sul loro (comune) sostegno. Allora Z C f ds = Z γ f ds (3.10)

Dimostrazione. Per la regola di derivazione della funzione composta, abbiamo γ0(τ ) = d dτ [C(ϕ(τ )] = C 0_{(ϕ(τ )) ϕ}0_{(τ )} _(3.11) Si ha allora: R γ f ds = Rβ α f (γ(τ )) |γ

0_{(τ )| dτ} _{Per definizione di integrale curvilineo.}

= Rβ

α f (C(ϕ(τ ))) |C

0_{(ϕ(τ ))| |ϕ}0_{(τ )| dτ} _{Per la (}_3.11_).

= Rb

af (C(t)) |(C

0_{(t)| dt} _{Per la formula (}_3.4_{) (Cambio di variabili: t = ϕ(τ )).}

= R

C

f ds Per definizione di integrale curvilineo.

Q.E.D.

In particolare, dal teorema di invarianza dell’intergale curvilineo rispetto al cambio di parametriz-zazione segue che:

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4 Esercizi

Esercizio 4.1 Calcolare la lunghezza della circonferenza di raggio R. Soluzione. Una parametrizzazione della circonferenza di raggio R `e

γ(t) = (x(t), y(t)) = (R cos t, R sin t), t ∈ [0, 2π] Il vettore tangente `e γ0(t) = (−R sin t, R cos t), il cui modulo `e

|γ0(t)| =pR2_sin2_{t + R}2_cos2_{t = R}

Quindi la lunghezza della circonferenza `e data da: Z 2π 0 |γ0(t)| dt = Z 2π 0 R dt = 2πR

Esercizio 4.2 Calcolare la lunghezza della curva parametrizzata γ(t) = (e2t_{, 2e}t_{, t), t ∈ [0, 1]. Qual `}_e

la massa totale del sostegno della curva, se la sua densità lineare di massa è costante e uguale a δ? Soluzione. La lunghezza della curva è

Z γ ds = Z 1 0 |γ0(t)| dt = Z 1 0 p 4e4t_{+ 4e}2t_{+ 1 dt =} Z 1 0 (2e2t+ 1) dt =e2t_{+ t}1 0= e 2

Se la densità lineare di massa δ è costante, la massa totale è data dall’integrale Z γ δ ds = δ Z γ ds = δ · Lunghezza = δ e2

Esercizio 4.3 Calcolare la lunghezza dell’elica cilindrica

γ(t) = (a cos t, a sin t, bt), t ∈ [0, 2π] (4.1)

y z

xa

0

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Soluzione. Il vettore tangente `e

γ0(t) = (−a sin t, a cos t, b) e il suo modulo `e

|γ0(t)| =pa2_sin2_{t + a}2_cos2_{t + b}2₌p_a2_{+ b}2

Allora la lunghezza dell’elica `e data dall’integrale Z 2π 0 |γ0(t)| dt = Z 2π 0 p a2_{+ b}2_{dt = 2π}p_a2_{+ b}2

Diamo un’interpretazione geometrica. Tagliamo il cilindro (sul quale si avvolge l’elica) lungo la direttrice passante per il punto (a, 0, 0), e sviluppiamo il cilindro su un piano. L’elica diventa la diagonale di un triangolo rettangolo (perché la terza componente z(t) = bt dipende lineamente da t) i cui cateti sono la circonferenza rettificata - di lunghezza 2πa - e l’altezza dell’elica, che è uguale a 2πb. Dunque la sua lunghezza è

p (2πa)2_{+ (2πb)}2_{= 2π}p_a2_{+ b}2 2πa 2πb 2π √_a2+ b2

Figura 3: La lunghezza dell’elica `e la diagonale del rettangolo di dimensioni 2πa e 2πb.

Esercizio 4.4 Calcolare la lunghezza della curva che `e grafico della funzione y =√x3_, _{x ∈ [0, 1]}

Soluzione. Il grafico può essere visto come il sostegno della curva parametrizzata x(t) = t, y(t) = √ t3_, _{t ∈ [0, 1]} Il vettore tangente è 1,3 2 √ t la cui lunghezza è r 1 + 9 4t La lunghezza del grafico è

Z 1 0 r 1 + 9 4t dt = 4 9 · 2 3 1 +9 4t 3/21 0 = 8 27 (13 4 ) 3/2_{− 1} = 13 √ 13 − 8 27

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Esercizio 4.5 Calcolare la lunghezza della cicloide: γ(t) = (R(t − sin t), R(1 − cos t)), t ∈ [0, 2π] (4.2) x y 1 5 1 2 2π 0 γ(t) = (t − sin t, 1 − cos t)

Figura 4: La cicloide `e la curva descritta da un punto di una circonferenza di raggio R (in figura R = 1) quando la circonferenza rotola, senza strisciare, sull’asse delle x.

Soluzione. Si ha:

|γ0(t)| = q

R2_{(1 − cos t)}2_{+ R}2_sin2_{t = R}√₂√_{1 − cos t}

Ricordando la formula di bisezione r 1 − cos t 2 = sin t 2 t ∈ [0, 2π] abbiamo: Lunghezza = Z 2π 0 R√2√1 − cos t dt = 2R Z 2π 0 sin t 2 dt = 2R −2 cost 2 2π 0 = 8R

Esercizio 4.6 Calcolare l’integrale (curvilineo di prima specie) R

C(3x − y + z) ds, dove C `e la curva

parametrizzata C(t) = (3t, 4t − 1, t + 5), con t ∈ [0, 2].

Soluzione. La curva parametrizzata `e un segmento di retta, il cui elemento di linea ds `e uguale a ds =px0_(t)2_{+ y}0_(t)2_{+ z}0_(t)2_{dt =}p₃2_{+ 4}2_{+ 1}2_{dt =}√_{26 dt}

La funzione f (x, y, z) = 3x − y + z, ristretta lungo la curva C, `e

f (x(t), y(t), z(t)) = (3(3t) − (4t − 1) + (t + 5)), t ∈ [0, 2] Quindi l’integrale da calcolare `e

Z C (3x − y + z) ds = Z 2 0 (3(3t) − (4t − 1) + (t + 5))p32_{+ 4}2_{+ 1}2_{dt =} Z 2 0 (6t + 6)√26 = 24√26

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Esercizio 4.7 Trovare le coordinate del baricentro della semicirconferenza γ di equazioni parametri-che:

x(t) = R cos t, y(t) = R sin t, t ∈ [0, π] (4.3)

pensata come un filo di densit`a lineare costante.

Soluzione. Per motivi di simmetria, il baricentro si deve trovare sull’asse delle y. Le sue coordinate (x, y) sono date, per definizione, da:

x = 1 L Z γ x ds, y = 1 L Z γ y ds

dove L `e la lunghezza della curva. Nel nostro caso L = πR e ds = R dt. Quindi: x = 1 πR Z π 0 R cos t R dt = R π Z π 0 cos t dt = 0 y = 1 πR Z π 0 R sin t R dt = R π Z π 0 sin t dt = 2 πR

Esercizio 4.8 Si consideri la curva r, nello spazio tridimensionale R3_{, di equazioni parametriche:}

r(t) = t2i + 2 cos t j + 2 sin t k, t ∈ [0, π].

Si dimostri che la curva è semplice (cioè iniettiva). Si calcoli la massa totale del filo costituito dall’immagine della curva r, nell’ipotesi che la densità lineare di massa sia

δ(x, y, z) =√x.

Soluzione. Per dimostrare che la curva `e iniettiva, basta osservare che la sua prima componente x(t) = t2 _`_{e una funzione iniettiva sull’intervallo [0, π].}

Si ha

˙r(t) = 2t i − 2 sin t j + 2 cos t k, t ∈ [0, π], e quindi:

| ˙r(t)| =p4t2_{+ 4 = 2}p_t2_{+ 1,} _{t ∈ [0, π].}

La funzione δ(x, y, z) =√x, ristretta alla curva r(t) = (t2, 2 cos t, 2 sin t), `e data da:

δ(x(t), y(t), z(t)) =px(t) = √

t2_{= |t| = t}

(|t| = t perch´e t ∈ [0, π]). Quindi la massa totale `e data dal seguente integrale curvilineo: Z π 0 δ(r(t)) | ˙r(t)| dt = Z π 0 p x(t) 2pt2_{+ 1 dt =} Z π 0 2tpt2_{+ 1 dt} = 2 3 h t2+ 13/2i π 0 = 2 3 h π2+ 13/2− 1i