Materiale Analisi Politecnico

(1)

Corso di accompagnamento

(2)

Outline

1 _{Definizioni preliminari}

2 _{Funzioni elementari}

Funzioni polinomiali

Funzioni razionali

Funzioni radice

(3)

Funzione reale di variabile reale

Una

funzione reale di variabile reale

f

: R

_{→ R}

è una regola che associa a un numero

x

_{∈ R}

al più un numero

y

_{∈ R}

.

Punti del piano

Questa regola determina i punti

(

x

0 ,

y

0 )

∈ R × R = R

2 con

y

0 =

f

(

x

0 )

x

y

(4)

Definizioni preliminari

Grafico

Il

grafico

di una funzione

f

(

x

)

è l’insieme

(

x

,

y

)

_{∈ R × R = R}

2 _{tali che y}

₌

_f

₍

_x

₎

dom

(

f

) =

{

x

_{∈ R :}

f è definita

_}

è il

dominio

im

(

f

) =

{

y

_{∈ R : ∃}

x

_∈

dom

(

f

) :

y

=

f

(

x

)

}

è l’

immagine

Iperbole (maggiori dettagli dopo)

f

(

x

) =

1 /

x

dom f

= R

_{\ {}

0 _}

im f

= R

_{\ {}

0 _}

x

y

(5)

Funzioni polinomiali

f

(

x

) =

a

n

x

n

+

a

n

−1

x

n

−1

+ . . . +

a

2 x

2 +

a

1 x

+

a

0 a

0 , . . . ,

a

n

∈ R

dom

(

f

) = R

Casi particolari:

se

n

=

0 funzione costante

se

n

=

1 funzione lineare o affine

se

n

=

2 parabola

(6)

Funzioni elementari

Funzioni costanti

f

(

x

) =

q

,

q

_{∈ R}

dom

(

f

) = R

im

(

f

) =

{

q

_}

Funzioni lineari e affini

f

(

x

) =

mx

+

q

,

m

,

q

_{∈ R}

m

coefficiente angolare

q

termine noto o intercetta

dom

(

f

) = R

im

(

f

) = R

(

m

₆₌

0 )

x

m

=

0 q

x

m

>

0 −

m

q

x

−

m

q

m

<

0 q

(7)

Parabole

f

(

x

) =

ax

2 +

bx

+

c

,

a

,

b

,

c

_{∈ R}

a

₆₌

0 .

∆ =

b

2 ₋

_4ac

_{discriminante}

V

= (

₋

b

2a

;

−∆

4a

)

vertice

Intersezioni con l’asse x

f

(

x

) =

0 ∆ >

0 x

1 /

2 =

−

b

±

√

∆

2a

∆ =

0 x

=

−

b

2a

∆ <

0 _∅

Concavità

a

>

0 concavità verso l’alto

im

(

f

) =

₋

∆

4a

, +

∞

(8)

Parabole

a

>

0 a

<

0 ∆ >

0 replacements

∆ =

0 ∆ <

0

(9)

Funzioni potenza

f

(

x

) =

x

n

_,

_n

_{∈ N}

P

= (

0 ,

0 )

Q

= (

1 ,

1 )

Proprietà

dom

(

f

)

im

(

f

)

simmetrie

n

dispari

R

f

(

₋

x

) =

₋

f

(

x

)

n

pari

R

+

_{∪ {}

0 _}

f

(

−

x

) =

f

(

x

)

x

1

1 −

1 y

x

1

1 −

1 y

(10)

Funzioni elementari

Funzioni razionali

Dati i polinomi

p

(

x

)

e

q

(

x

)

f

(

x

) =

p

(

x

)

q

(

x

)

,

dom(

f

) = R \ {

x

:

q

(

x

) =

0}

Intersezioni con l’asse x

Le intersezioni con l’asse delle ascisse sono

date dai punti in cui si annulla il numeratore

x

∈ R :

p

(

x

) =

0,

x

p

(

x

)

q

(

x

)

p(x) q(x)

p

(

x

)

q

(

x

)

p(x) q(x) + + + − − −

Positività

(11)

Proporzionalità inversa

f

(

x

) =

1 x

n

,

n

∈ N

dom

(

f

) = R

_{\ {}

0 _}

Q

= (

1 ,

1 )

Proprietà

im

(

f

)

simmetrie

n

dispari

R

_{\ {}

0 _}

f

(

₋

x

) =

₋

f

(

x

)

n

pari

R

+

f

(

−

x

) =

f

(

x

)

x

1

1 −

1 y

x

1

1 −

1 y

(12)

Funzioni elementari

Funzioni radice

f

(

x

) =

√

n

x

,

n

_{∈ N}

Proprietà

dom

(

f

)

im

(

f

)

simmetrie

n

dispari

R

f

(

−

x

) =

−

f

(

x

)

n

pari

R

+

_{∪ {}

₀

_}

R

+

_{∪ {}

₀

_}

_nessuna

x

1

1 −

1 y

x

1

1 y

(13)

Traslazione orizzonatale

y

=

f

(

x

) =

_⇒

y

=

f

(

x

₋

p

)

direzione

p

>

0 verso destra

p

<

0 verso sinistra

Traslazione verticale

y

=

f

(

x

) =

_⇒

y

=

f

(

x

) +

q

direzione

q

>

0 verso l’alto

q

<

0 verso il basso

(14)

Simmetrie

Simmetria rispetto all’asse y

y

=

f

(

x

) =

_⇒

y

=

f

(

₋

x

)

Simmetria rispetto all’asse x

y

=

f

(

x

) =

_⇒

y

=

₋

f

(

x

)

Simmetria rispetto all’origine

La simmetria rispetto all’origine si ottiene combinando le due trasformazioni

y

=

f

(

x

) =

_⇒

y

=

₋

f

(

₋

x

)

Se

f

(

₋

x

) =

f

(

x

)

,

f

si dice pari

Se

f

(

₋

x

) =

₋

f

(

x

)

,

f

si dice dispari

(15)

Simmetria rispetto all’asse y

y

=

f

(

x

) =

_⇒

y

=

f

(

₋

x

)

Simmetria rispetto all’asse x

y

=

f

(

x

) =

_⇒

y

=

₋

f

(

x

)

Simmetria rispetto all’origine

La simmetria rispetto all’origine si ottiene combinando le due trasformazioni

y

=

f

(

x

) =

_⇒

y

=

₋

f

(

₋

x

)

Se

f

(

₋

x

) =

f

(

x

)

,

f

si dice pari

Se

f

(

₋

x

) =

₋

f

(

x

)

,

f

si dice dispari

(16)

Simmetrie

Simmetria rispetto all’asse y

y

=

f

(

x

) =

_⇒

y

=

f

(

₋

x

)

Simmetria rispetto all’asse x

y

=

f

(

x

) =

_⇒

y

=

₋

f

(

x

)

Simmetria rispetto all’origine

La simmetria rispetto all’origine si ottiene combinando le due trasformazioni

y

=

f

(

x

) =

_⇒

y

=

₋

f

(

₋

x

)

Se

f

(

₋

x

) =

f

(

x

),

f

si dice pari

Se

f

(

₋

x

) =

₋

f

(

x

),

f

si dice dispari

(17)

x

y

=

_|

x

_|

Valore assoluto

y

=

_|

x

_{| =}

x

se x

_≥

0 −

x

se x

<

0 Proprietà

dom

(

f

)

im

(

f

)

simmetrie

R

+

_{∪ {}

₀

_}

_f

₍

₋

_x

_{) =}

_f

₍

_x

₎

(18)

Grafico di

_|

f

(x

)

_|

x

f

(

x

)

|

f

(

x

)

_{| =}

f

(

x

)

se f

(

x

)

_≥

0 −

f

(

x

)

se f

(

x

) <

0 x

|

f

(

x

)

_|

(19)

x

f

(

x

)

f

(

_|

x

_{|) =}

f

(

x

)

se x

_≥

0 f

(

₋

x

)

se x

<

0 x

f

(

_|

x

_|)