Compito scritto 27 gen 2017

Università degli Studi dell’Aquila - Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Civile e Ambientale Fisica Generale II - Prova scritta d’esame del 27 gennaio 2017 ore 15:00

Nome e Cognome: ………..……. No. di matricola:….…....…… CFU………… Si ricorda che le soluzioni dei problemi del compito vanno consegnate usando un UNICO foglio protocollo.

Problema 1

Una carica puntiforme q si trova al centro di una sfera cava conduttrice di raggio interno R e spessore a.

Calcolare nel caso (a) di conduttore isolato e nel caso (b) di conduttore messo a terra (cioè collegato ad un conduttore a potenziale fissato V0 = 0):

1. Il campo elettrico E in tutto lo spazio; (punti 2) 2. Il potenziale elettrico V in tutto lo spazio; (punti 3)

3. La densità di carica sulle superfici interna ed esterna; (punti 2)

4. La pressione esercitata dal campo elettrico sulle superfici interna ed esterna. (punti 3)

Problema 2

Del circuito riportato in figura sono note le resistenze R₁=10Ω, 2

R = Ω3 , R4= Ω2 e le forze elettromotrici f1=4 V e f2=2V.

1. Scegliendo i versi delle correnti I1 , I2 e I3 come in figura,

determinare l’espressione della resistenza R α₃

_{( )}

2. Considerando solo α >0, determinare il minimo valore di α per il quale la richiesta

1 2

I = αI è possibile. (4 punti)

3. Scegliendo α =4, determinare la potenza totale dissipata per effetto Joule nelle resistenze. (2 punti)

Problema 3

Una spira quadrata di lato L, resistenza R e massa m è posta su un piano verticale che contiene anche un filo indefinito percorso da corrente i. La spira, partendo dalla posizione y=0, cade sottoposta alla forza di gravità. Trascurando le forze magnetiche sulla spira calcolare:

1. la forza elettromotrice indotta nella spira all’istante t1 (4

punti)

2. il verso ed il valore della corrente indotta nella spira al tempo ! =   !_! (2 punti). Considerando ora tutte le forze agenti sulla spira:

3. calcolare modulo direzione di ciascuna forza nella posizione y(t1)

4. discutere il moto della spira per tempi lunghi (! ≫ 2!/!) Dati: L= 5 cm, i= 5 A, !! = 0.05s, R=10Ω, m= 0.1Kg

Soluzioni Problema 1 1) Caso (a) ! < !        ! =_{! !}! !!! ! < ! < ! + !      ! = 0 ! > ! + !      ! = ! !!!!!! Caso (b) ! < !        ! =_{! !}! !!! ! < ! < ! + !      ! = 0 ! > ! + !      ! = 0 2) Caso (a) ! < !      ! = − _4!!! !!!!" − 0!" − ! !!!   _4!!! !!!!" ! ! !!! ! = ! 4!!_! 1 ! + !− 1 !+ 1 ! ! < ! < ! + !      ! = − ! 4!!_!!!!" − 0!" ! !!!   !!! ! = ! 4!!_! 1 ! + ! ! > ! + !      ! = − ! 4!!_!!!!"   ! ! = ! 4!!_! 1 ! Caso (b) ! < !      ! = − 0!" − 0!" − ! !!!   ! 4!!_!!!!" ! ! !!! ! = ! 4!!_! 1 !− 1 ! ! < ! < ! + !      ! = − 0!" − ! 0!" !!!   !!! ! = 0 ! > ! + !      ! = − !0!"   ! = 0 3) Caso (a)  !_!" = −_!!!!_!        !_!" = _{!! !!!}! _! Caso (b) !_!" = −_!!!!_!        !_!" = 0 4) ! =!_!!" Problema 2

Indicando con I₁ la corrente che attraversa f₁ (positiva se scorre dal polo negativo a quello positivo del generatore f₁), I₂ la corrente che attraversa f₂ (positiva se scorre dal polo negativo a quello positivo del generatore f2) e con I3 la corrente che

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 3 4 1 3 2 1 ₂ 1 3 2 3 4 3 1 2 3 3 1 1 3 2 1 1 3 3 1 2 ₂ 1 3 2 3 4 3 4 2 2 3 3 2 2 4 1 1 2 3 2 1 3 2 3 4 3 R R R f R f I R R R R R R I I I 0 R f R R f R I R I f I R R R R R R R R I R I f R R f R f I R R R R R R ⎧ + + − = ⎪ + + + − ⎪ ⎧ + − = _⎪ − + + ⎪ ⎪ + = ⇒ = ⎨ ⎨ + + + − ⎪ _{+ + =} ⎪ ⎩ ⎪ _{+ +} ⎪ ₌ ⎪ + + + − ⎩ Richiedendo che I₁= αI₂ si ottiene:

( ) ( )( ) 1 2 2 4 1 3 1 2 R f R R f R f f 1 α − + = − + α

Essendo R₃ definita positiva deve accadere che:

(

)

in quanto f₁>f₂ nel nostro esercizio. Scegliendo α =4 si ottiene:

( ) ( ) 1 2 2 4 1 3 1 2 4R f R R f R 6 5 f f − + = = Ω −

Le correnti che attraversano le resistenze sono:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 3 4 1 3 2 1 ₂ 1 3 2 3 4 3 3 1 1 3 2 2 ₂ 1 3 2 3 4 3 2 4 1 1 2 3 2 1 3 2 3 4 3 R R R f R f 8 I A 35 R R R R R R R f R R f 2 I A 35 R R R R R R R R f R f 2 I A 7 R R R R R R ⎧ + + − = = ⎪ + + + − ⎪ ⎪ _{− + +} ⎪ = = ⎨ + + + − ⎪ ⎪ _{+ +} ⎪ _{= =} ⎪ + + + − ⎩

La potenza totale dissipata per effetto Joule è:

(

)

1) La  spira  si  muove  con  legge  oraria  y(t)  =  ½  gt2_{;  il  flusso  concatenato  con  la}   spira  dipende  dall’istante  t  nel  quale  si  misura:  ! ! =   !!  !

!! ! ! !! !(!) !"# ! =  !!  ! !! !  !"( ! ! !!

! ! )  con  y(t)    =    ½  gt2    quindi  la  forza  elettromotrice  indotta  

sarà:    V t = −    !!  ! !" !!! !!!_!!!    e     V(!!)  =  1.6!"   2) ! =  !_! =    !!  ! !"# !!!

3) La  spira  è  sottoposta  alla  forza  di  gravità  ed  alla  forza  magnetica  che  agisce   sui  lati  orizzontali:  

! =   !_!+ !_!!+ !_!! = !"!_!− ILB y t !_!+  ILB y t + L !_!  

con:  Fp  =  0.98N,  !! = ILB y !! = 7.0  10!!"!,  !! = ILB y !! + ! = 1.3  10!!"!,  

che  giustifica  l’approssimazione  fatta  in  precedenza.  

4) Se  consideriamo  la  situazione  t  >>  t0      con  !! =   (!!_!)  ,  le  forze  magnetiche  

sui  due  lati  orizzontali  si  compensano  e  la  spira  si  muove  verticalmente   verso  il  basso  con  moto  uniformemente  accelerato  e  accelerazione  g.