Universit`a di Pisa - Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale Fisica Generale II e Elettronica Appello 6 - 27/01/2017 Soluzioni

(1)

Universit` a di Pisa - Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale

Fisica Generale II e Elettronica Appello 6 - 27/01/2017

Soluzioni

PROBLEMA 1

1) Il campo elettrico ` e radiale. Si ha per r < R ₀ , E _r = 0,

per R 0 < r < 2R 0 , E r (r) = _4π ¹

0

Q r

²

, per 2R 0 < r < ⁵ ₂ R 0 , E r = 0, per ⁵ ₂ R ₀ < r < 4R ₀ , E _r (r) = _4π ¹

0

Q r

²

, per 4R ₀ < r < 5R ₀ , E _r = 0,

per r > 5R 0 , E r (r) = _4π ¹

0

Q r

²

. Il potenziale elettrostatico ` e

per r < R ₀ , V (r) = _4π ¹

0

17Q 20R

0

, per R 0 < r < 2R 0 , V (r) = _4π ¹

0

( ^Q _r − _2R ^Q

0

+ _20R ^7Q

0

), per 2R ₀ < r < ⁵ ₂ R ₀ , V (r) = _4π ¹

0

7Q 20R

0

, per ⁵ ₂ R ₀ < r < 4R ₀ , V (r) = _4π ¹

0

( ^Q _r − _4R ^Q

0

+ _5R ^Q

0

), per 4R 0 < r < 5R 0 , V (r) = _4π ¹

0

Q 5R

0

, per r > 5R 0 , V (r) = _4π ¹

0

Q r . 2) σ(R ₀ ) = _4πR ^Q

2

0

, σ(2R ₀ ) = − _4π(2R ^Q

0

)

²

, σ( ⁵ ₂ R ₀ ) = ^Q

4π(

⁵₂

R

0

)

²

, σ(4R ₀ ) = − _4π(4R ^Q

0

)

²

, σ(5R ₀ ) = _4π(5R ^Q

0

)

²

, 3) Per il condensatore interno si ha ∆V i = _4π ¹

0

Q

2R

0

e, di conseguenza, capacit` a C i = 4π 0 (2R 0 ). Per il condensatore esterno si ha ∆V _e = _4π ¹

0

3Q

20R

0

e, di conseguenza, capacit` a C _e = 4π ₀ ( ²⁰ ₃ R ₀ ). Si ha ∆V _tot =

1 4π

0

13Q

20R

0

e, di conseguenza, C _tot = C _e = 4π ₀ ( ²⁰ ₁₃ R ₀ ). Questi valori della capacit` a verificano la relazione

1 C

tot

= _C ¹

i

+ _C ¹

e

per la capacit` a di due condensatori in serie.

4) Il campo elettrico ` e radiale. Si ha per r < R 0 , E r = 0,

per R ₀ < r < 2R ₀ , E _r (r) = _4π ¹

0

Q r

²

, per r > 2R ₀ , E _r = 0.

Il potenziale elettrostatico ` e per r < R 0 , V (r) = _4π ¹

0

Q 2R

0

, per R ₀ < r < 2R ₀ , V (r) = _4π ¹

0

( ^Q _r − _2R ^Q

0

), per r > 2R 0 , V (r) = 0.

La variazione di energia elettrostatica ∆U ` e dovuta alla variazione del campo elettrico nelle regioni con

5 2 R ₀ < r < 4R ₀ , e per r > 5R ₀ , nelle quali il campo elettrico si annulla. ∆U = − ₂

⁰

( _4π ^Q

0

) ² 4π( _5R ¹

0

− _4R ¹

0

+ _5R ²

0

).

5) σ(R ₀ ) = _4πR ^Q

2 0

, σ(2R ₀ ) = − _4π(2R ^Q

0

)

²

, σ( ⁵ ₂ R ₀ ) = 0, σ(4R ₀ ) = 0, σ(5R ₀ ) = 0, PROBLEMA 2

1) Nei due conduttori paralleli si ha la stessa densit` a di corrente J = _πR ^I

2

, nei due conduttori la corrente ` e

(2)

diretta in versi opposti.

2) Il campo magnetico generato dal conduttore ”1” ha solo componente azimutale rispetto ad un sistema di riferimento cilindrico con asse z coincidente con l’asse del conduttore ”1”, si ha

per r ≤ R, ~ B ₁ (r) = ^µ _2π

⁰

_R ^I

2

r~ e _φ

₁

, per r > R, ~ B 1 (r) = ^µ _2π

⁰

^I _r ~ e φ

1

.

Il campo magnetico generato dal conduttore ”2” ha solo componente azimutale rispetto ad un sistema di riferimento cilindrico con asse z coincidente con l’asse del conduttore ”2”. Dato che il verso della corrente nel conduttore ”2” ` e opposto al verso della corrente nel conduttore ”1”, si ha

per r ≤ R, ~ B 2 (r) = − _2π ^µ

⁰

_R ^I

2

r~ e _φ

₂

, per r > R, ~ B ₂ (r) = − _2π ^µ

⁰

^I _r ~ e _φ

₂

.

Il campo magnetico complessivo ` e la somma vettoriale dei due campi magnetici.

3) I soli punti appartenenti alla retta congiungente i centri dei conduttori nei quali il campo magnetico ` e nullo si possono trovare solamente all’interno dei conduttori stessi, nella regione esterna. Si indica con r la distanza dal punto medio del segmento che congiunge il centro dei due conduttori. Dall’equazione

µ

0

2π I ¹

(r+

^d₂

) − ^µ _2π

⁰

_R ^I

₂

(r − ^d ₂ ) = 0, si ottiene r = ±(R ² + ^d ₄

²

)

¹²

.

4) Il campo magnetico sul segmento congiungente il centro dei due conduttori ha solamente componente ortogonale al segmento, di intensit` a pari a B(x) = ^µ _2π

⁰

^I ( ¹ _x + _d−x ¹ ), nella quale x ` e la distanza dal centro di uno dei due conduttori. Presa una sezione rettangolare di lato pari alla distanza tra le superfici dei due conduttori, e altezza a, il flusso del campo magnetico attraverso questa sezione ` e φ(B) = ^µ

⁰

_π ^Ia ln( ^d−R _R ).

5) La induttanza per unit` a di lunghezza della linea bifilare ` e data da L = ^φ(B) _aI , si ottiene L = ^µ _π

⁰

ln( ^d−R _R ).

Nel limite R << d l’induttanza ` e data da L = ^µ _π

⁰

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Universit` a di Pisa - Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale

Fisica Generale II e Elettronica Appello 6 - 27/01/2017

Soluzioni

PROBLEMA 1

1) Il campo elettrico ` e radiale. Si ha per r < R 0 , E r = 0,

per R 0 < r < 2R 0 , E r (r) = 4π 1

Q r

, per 2R 0 < r < 5 2 R 0 , E r = 0, per 5 2 R 0 < r < 4R 0 , E r (r) = 4π 1

Q r

, per 4R 0 < r < 5R 0 , E r = 0,

per r > 5R 0 , E r (r) = 4π 1

Q r

. Il potenziale elettrostatico ` e

per r < R 0 , V (r) = 4π 1

17Q 20R

, per R 0 < r < 2R 0 , V (r) = 4π 1

( Q r − 2R Q

+ 20R 7Q

), per 2R 0 < r < 5 2 R 0 , V (r) = 4π 1

7Q 20R

, per 5 2 R 0 < r < 4R 0 , V (r) = 4π 1

( Q r − 4R Q

+ 5R Q

), per 4R 0 < r < 5R 0 , V (r) = 4π 1

Q 5R

, per r > 5R 0 , V (r) = 4π 1

Q r . 2) σ(R 0 ) = 4πR Q

, σ(2R 0 ) = − 4π(2R Q

)

, σ( 5 2 R 0 ) = Q

4π(

R

)

, σ(4R 0 ) = − 4π(4R Q

)

, σ(5R 0 ) = 4π(5R Q

)

, 3) Per il condensatore interno si ha ∆V i = 4π 1

Q

2R

e, di conseguenza, capacit` a C i = 4π 0 (2R 0 ). Per il condensatore esterno si ha ∆V e = 4π 1

3Q

20R

e, di conseguenza, capacit` a C e = 4π 0 ( 20 3 R 0 ). Si ha ∆V tot =

1 4π

13Q

20R

e, di conseguenza, C tot = C e = 4π 0 ( 20 13 R 0 ). Questi valori della capacit` a verificano la relazione

1 C

= C 1

+ C 1

per la capacit` a di due condensatori in serie.

4) Il campo elettrico ` e radiale. Si ha per r < R 0 , E r = 0,

per R 0 < r < 2R 0 , E r (r) = 4π 1

Q r

, per r > 2R 0 , E r = 0.

Il potenziale elettrostatico ` e per r < R 0 , V (r) = 4π 1

Q 2R

, per R 0 < r < 2R 0 , V (r) = 4π 1

( Q r − 2R Q

), per r > 2R 0 , V (r) = 0.

La variazione di energia elettrostatica ∆U ` e dovuta alla variazione del campo elettrico nelle regioni con

5

2 R 0 < r < 4R 0 , e per r > 5R 0 , nelle quali il campo elettrico si annulla. ∆U = −  2

( 4π Q

) 2 4π( 5R 1

− 4R 1

+ 5R 2

).

5) σ(R 0 ) = 4πR Q

, σ(2R 0 ) = − 4π(2R Q

)

, σ( 5 2 R 0 ) = 0, σ(4R 0 ) = 0, σ(5R 0 ) = 0, PROBLEMA 2

1) Nei due conduttori paralleli si ha la stessa densit` a di corrente J = πR I

, nei due conduttori la corrente ` e

diretta in versi opposti.

2) Il campo magnetico generato dal conduttore ”1” ha solo componente azimutale rispetto ad un sistema di riferimento cilindrico con asse z coincidente con l’asse del conduttore ”1”, si ha

per r ≤ R, ~ B 1 (r) = µ 2π

R I

1) Il campo elettrico ` e radiale. Si ha per r < R ₀ , E _r = 0,

per R 0 < r < 2R 0 , E r (r) = _4π ¹

, per 2R 0 < r < ⁵ ₂ R 0 , E r = 0, per ⁵ ₂ R ₀ < r < 4R ₀ , E _r (r) = _4π ¹

, per 4R ₀ < r < 5R ₀ , E _r = 0,

per r > 5R 0 , E r (r) = _4π ¹

per r < R ₀ , V (r) = _4π ¹

, per R 0 < r < 2R 0 , V (r) = _4π ¹

( ^Q _r − _2R ^Q

+ _20R ^7Q

), per 2R ₀ < r < ⁵ ₂ R ₀ , V (r) = _4π ¹

, per ⁵ ₂ R ₀ < r < 4R ₀ , V (r) = _4π ¹

( ^Q _r − _4R ^Q

+ _5R ^Q

), per 4R 0 < r < 5R 0 , V (r) = _4π ¹

, per r > 5R 0 , V (r) = _4π ¹

Q r . 2) σ(R ₀ ) = _4πR ^Q

, σ(2R ₀ ) = − _4π(2R ^Q

, σ( ⁵ ₂ R ₀ ) = ^Q

, σ(4R ₀ ) = − _4π(4R ^Q

, σ(5R ₀ ) = _4π(5R ^Q

, 3) Per il condensatore interno si ha ∆V i = _4π ¹

e, di conseguenza, capacit` a C i = 4π 0 (2R 0 ). Per il condensatore esterno si ha ∆V _e = _4π ¹

e, di conseguenza, capacit` a C _e = 4π ₀ ( ²⁰ ₃ R ₀ ). Si ha ∆V _tot =

1 4π

e, di conseguenza, C _tot = C _e = 4π ₀ ( ²⁰ ₁₃ R ₀ ). Questi valori della capacit` a verificano la relazione

= _C ¹

+ _C ¹

per R ₀ < r < 2R ₀ , E _r (r) = _4π ¹

, per r > 2R ₀ , E _r = 0.

Il potenziale elettrostatico ` e per r < R 0 , V (r) = _4π ¹

, per R ₀ < r < 2R ₀ , V (r) = _4π ¹

( ^Q _r − _2R ^Q

2 R ₀ < r < 4R ₀ , e per r > 5R ₀ , nelle quali il campo elettrico si annulla. ∆U = − ₂

( _4π ^Q

) ² 4π( _5R ¹

− _4R ¹

+ _5R ²

5) σ(R ₀ ) = _4πR ^Q

, σ(2R ₀ ) = − _4π(2R ^Q

, σ( ⁵ ₂ R ₀ ) = 0, σ(4R ₀ ) = 0, σ(5R ₀ ) = 0, PROBLEMA 2

1) Nei due conduttori paralleli si ha la stessa densit` a di corrente J = _πR ^I

per r ≤ R, ~ B ₁ (r) = ^µ _2π

_R ^I

r~ e _φ

, per r > R, ~ B 1 (r) = ^µ _2π

^I _r ~ e φ

per r ≤ R, ~ B 2 (r) = − _2π ^µ

_R ^I

r~ e _φ

, per r > R, ~ B ₂ (r) = − _2π ^µ

^I _r ~ e _φ

2π I ¹

) − ^µ _2π

_R ^I

(r − ^d ₂ ) = 0, si ottiene r = ±(R ² + ^d ₄

4) Il campo magnetico sul segmento congiungente il centro dei due conduttori ha solamente componente ortogonale al segmento, di intensit` a pari a B(x) = ^µ _2π

^I ( ¹ _x + _d−x ¹ ), nella quale x ` e la distanza dal centro di uno dei due conduttori. Presa una sezione rettangolare di lato pari alla distanza tra le superfici dei due conduttori, e altezza a, il flusso del campo magnetico attraverso questa sezione ` e φ(B) = ^µ

_π ^Ia ln( ^d−R _R ).

5) La induttanza per unit` a di lunghezza della linea bifilare ` e data da L = ^φ(B) _aI , si ottiene L = ^µ _π

ln( ^d−R _R ).

Nel limite R << d l’induttanza ` e data da L = ^µ _π

ln _R ^d .