Esercizi di
DILATAZIONE TERMICA DEI SOLIDI
LA DILATAZIONE TERMICA LINEARE E’ IL CAMBIAMENTO, CON LA TEMPERATURA, DI OGNI DIMENSIONE LINEARE DI UN SOLIDO
T
l
l
=
Δ
TRACCIA
LA TOUR EIFFEL E’ UNA IMPONENTE STRUTTURA IN TRALICCIO DI FERRO.
SAPENDO CHE LA TORRE E’ ALTA 301.0 m ALLA TEMPERATURA DI 220
C, CALCOLARE LA SUA ALTEZZA SE LA TEMPERATURA SI RAFFREDDA FINO A 00 C
SOLUZIONE
OGNI DIMENSIONE DI UN SOLIDO SUBISCE LA DILATAZIONE TERMICA LINEARE CARATTERISTICA (PER L’ISOTROPIA DEL CORPO) DELLO STESSO COEFFICIENTE
α
. QUINDI NELNOSTRO CASO LA TORRE SUBIRA’ UNA VARIAZIONE DI
VOLUME MA A NOI NON INTERESSA PERCHE’ LA TRACCIA CI HA CHIESTO SOLO LA VARIAZIONE IN ALTEZZA
l
f
= l
0
+ l
0
α
(
T
f
− T
0
)
= l
0
"
#
1+
α
(
T
f
− T
0
)
$
%
T
l
l
=
Δ
Δ
α
POSSO SOSTITUIRE DIRETTAMENTE I VALORI NUMERICI
OSSERVAZIONE:NELLE EQUAZIONI IN CUI APPARE T SI DEVE SEMPRE UTILIZZARE LA TEMPERATURA ESPRESSA IN KELVIN. SOLO QUANDO ABBIAMO DIFFERENZE DI TEMPERATURE
SOLUZIONE
l
f
= l
0
+ l
0
α
(
T
f
− T
0
)
= l
0
"
#
1+
α
(
T
f
− T
0
)
$
%
SOLUZIONE
l
f
= 301.000 m 1+12 ⋅10
#$
−6
K
−1
(
0 − 22
)
K
%&= 300.208m.
LA TORRE SI RIMPICCIOLISCE LEGGERMENTE NON DIVENTA UN SOUVENIRS
QUANTITA
’
DI CALORE
SE PIU’ CORPI MESSI IN CONTATTO
RAGGIUNGONO L’EQUILIBRIO TERMICO, LA
SOMMA DELLE QUANTITA’ DI CALORE
SCAMBIATE DAI VARI CORPI E’ NULLA
∑
=
=
n
i
i
Q
1
0
Q
i
=
m
i
c
i
(
T
e
−
T
i
)
DURANTE IL CAMBIAMENTO DI STATO DI UNA SOSTANZA LATEMPERATURA RESTA COSTANTE. SPERIMENTALMENTE SI
VERIFICA CHE LA QUANTITA’ DI CALORE CEDUTA O ASSORBITA DAL CORPO NEL CAMBIAMENTO DI STATO VALE:
λ
m
Q =
TRACCIA
UNA MASSA DI GHIACCIO ALLA TEMPERATURA T = 00C VIENE
POSTA IN UN RECIPIENTE CONTENENTE UNA MASSA m1 = 0.8 Kg DI T1=300C.
LA TEMPERATURA RAGGIUNTA ALL’EQUILIBRIO TERMICO E’ Te = 200C.
SI CALCOLI LA MASSA DEL GHIACCIO SAPENDO CHE IL CALORE LATENTE DI FUSIONE è Λf = 80 kcal/Kg.
Un po’ di valori numerici
Calore specifico dell’acqua c = 1 cal/g C° = 1 cal/g K
Poi ricordiamo 1 Cal = 4.186 Joule, dunque:
Calore specifico dell’acqua c = 4.186 J/g K = 4186 J/Kg K = 1000 cal/Kg K
SOLUZIONE
IL GHIACCIO SI SCIOGLIERA’ COMPLETAMENTE ALLA FINE DEL
PROCESSO PERCHE’ LA TEMPERATURA DI EQUILIBRIO E’ MAGGIORE DI 00C.
IL GHIACCIO PER FONDERSI ASSORBIRA’ UNA QUANTITA’ DI CALORE
E L’ACQUA FORMATASI (CON LA STESSA MASSA DEL GHIACCIO) PER PORTARSI ALLA TEMPERATURA DI EQUILIBRIO ASSORBE UNA QUANTITA’ DI CALORE
f GHIACCIO
m
Q
2=
λ
Q
3=
m
GHIACc
acq(
T
e−
T
0)
LA QUANTITA’ DI CALORE TOTALE ASSORBITA VIENE INTERAMENTE CEDUTA DALLA MASSA m1 DI ACQUA
)
(
11
1
m
c
T
T
SOLUZIONE
0
3
2
1
1
+
+
=
=
∑
=
Q
Q
Q
Q
n
i
i
MI RICORDO CHE0
)
(
)
(
1 01
c
acqT
e−
T
+
m
GHIACc
acqT
e−
T
+
m
GHIACCIO f=
m
λ
IN QUESTA EQUAZIONE L’UNICA INCOGNITA E’ LA MASSA. LA RICAVIAMO, FACCIAMO IL SOLITO
CONTROLLO DIMENSIONALE
Kg
Kg
T
T
c
T
T
c
m
m
GHIAC acq e0
.
08
80
20
10
8
.
0
)
(
)
(
1 1=
+
=
+
−
−
⋅
−
=
λ
TRACCIA
Consideriamo le masse precedenti (M_acqua = 800 gr e M_ghiaccio = 80 gr) con TA=30 0C e T
G = -5 0C.
Calcolare la temperatura di equilibrio. SOLUZIONE: Possibilità:
Tequil > 0 0C
Tequil < 0 0C
Soluzione
DEFINIZIONI
Ricordiamo dalla meccanica il principio di conservazione
dell’energia, ricordiamo anche la presenza di forze dissipative
quali l’attrito.
Uno dei principali argomenti della termodinamica riguarda
proprio il bilancio energetico complessivo di un processo fisico.
In particolare la termodinamica studia le trasformazioni e
passaggi di energia da un sistema ad un altro e da una forma
all’altra.
Sistema termodinamico
:
definita quantità di materia e/o energia che occupa una regione
dello spazio.
Ambiente
: sistema con cui il sistema può interagire.
Universo
: sistema + ambiente.
Sistema aperto
: scambio di energia e materia.
Sistema chiuso
: scambio di energia.
Sistema isolato
: nessuno scambio di energia o materia.
Stato di un sistema
: lo stato di un sistema termodinamico può
essere descritto da un numero finito di grandezze fisiche
numerabili dette variabili di stato quali
volume-pressione-temperatura-massa…...
Concetto fondamentale: la temperatura. Varia tra 0 e
∞
.
Alcune proprietà dei corpi sono dipendenti dalla temperatura
e possono essere utilizzate per misurarla.
Equilibrio termico
.
Principio zero della termodinamica: se un corpo A e un corpo
B sono in equilibrio termico con un terzo corpo T, allora A e B
sono in equilibrio termico tra loro.
Sistema adiabatico
.
Un sistema è detto adiabatico se è circondato da pareti adiabatiche.
Ossia da una parete che posta fra due sistemi NON li porta
all’equilibrio termico.
Misura della temperatura
Punto triplo dell
’
acqua
.
Scala Kelvin
: va da 0 K a ∞, fissando la temperatura del
punto triplo dell’acqua a T = 273.16 K e il Kelvin pari a
1/(273.16) della differenza di temperatura tra lo zero assoluto
e il punto triplo dell’acqua.
Termometro a gas a volume costante: dispositivo di
riferimento che usa la pressione come grandezza
termometrica.
Primo principio della termodinamica
L
Q
E
=
−
Δ
Quando un sistema compie una trasformazione da uno stato i a uno stato
f, si osserva sperimentalmente che il calore e il lavoro scambiati
dipendono dal percorso.
Si nota però, sempre sperimentalmente, che la quantità Q-L è la stessa
qualunque sia il percorso seguito.
Essa deve quindi rappresentare il cambiamento di una proprietà
intrinseca del sistema: l’energia interna.
Primo principio della termodinamica:
in qualunque trasformazione, la variazione di energia interna è pari
alla differenza tra il calore e il lavoro scambiati e non dipende dal
percorso ma solo dallo stato iniziale e finale:
Segni di calore e lavoro
0
>
L
Lavoro compiuto DAL sistema
0
<
L
Lavoro compiuto dall’ambiente SUL sistema
0
>
Q
Calore assorbito DAL sistema
0
<
Trasformazioni termodinamiche
0
=
Q
Trasformazione adiabatica
Trasformazione reversibile
Una trasformazione è tale se essa avviene attraverso stadi di
equilibrio e in assenza di qualunque forza dissipativa
Trasformazione irreversibile
Una trasformazione è tale se essa avviene attraverso stadi di
non equilibrio o avvenga in presenza di forze dissipativeo
Gas ideali
Un gas è un particolare fluido caratterizzato da non avere forma e
volume propri e tale da essere facilmente compresso.
Legge di Boyle
Isoterme del gas ideale.
costante
=
pV
p
V
3T
2T
1T
1
2
3
T
T
T
>
>
Gas ideali
Legge di Gay Lussac
Isocore del gas ideale.
costante
=
T
p
p
V
Legge di Gay Lussac
Isobare del gas ideale.
costante
=
T
V
Trasformazioni notevoli
Trasformazione adiabatica
Q
= 0
⇒
Δ
E
=
−
L
Trasformazione isocora
Trasformazione isobara
Trasformazione isoterma
Q
E
L
= 0
⇒
Δ
=
(
)
L
E
Q
V
V
p
L
f
i
+
Δ
=
⇒
−
=
L
Q
E
=
⇒
=
Δ
0
L
Q
E
0
Moli e numero di Avogadro, Gas ideali
Mole: numero di atomi contenuti in 12 g di
12C
Numero di Avogadro: numero di atomi (o molecole) in una
mole
Gas reali e gas ideali.
Equazione di stato dei gas ideali.
n = numero di moli del gas
nRT
pV =
-1
23
mol
10
02
.
6
⋅
=
A
N
Macchine termiche
(
1 2)
0
0
(
1 2)
0
Q
Q
W
W
Q
U
W
Q
Q
W
Q
U
−
=
⇒
=
−
=
Δ
⇒
=
−
−
=
−
=
Δ
Una macchina termica è un dispositivo che trasforma calore in
lavoro.
Contiene una sostanza che, in maniera ciclica, assorbe una
quantità di calore Q
1, cede una quantità di calore Q
2e compie
un lavoro W.
Rendimento di una macchina termica:
Il funzionamento è ciclico, quindi per il 1° principio
1
Q
W
=
η
Q
Q −
Macchine termiche
Schema di una generica
macchina termica:
Schema di una generica
macchina frigorifera:
UN MOTORE TERMICO FA COMPIERE AD UNA MOLE DI GAS IDEALE MONOATOMICO LA SEGUENTE
TRASFORMAZIONE: AB ISOCORA (TA=300 K, TB=600K,PA=1 ATM), DI UNA TRASFORMAZIONE
ADIABATICA REVERSIBILE BC (TC=455 K) , UNA
TRASFORMAZIONE ISOCORA REVERSIBILE CA. CALCOLARE TUTTE LE COORDINATE
TERMODINAMICHE, I LAVORI E I CALORI SCAMBIATI NELLE SINGOLE TRASFORMAZIONI E NELL’INTERO CICLO.
SOLUZIONE
DISEGNAMO LE SINGOLE TRASFORMAZIONI NEL PIANO DI CLAPEYRON
V p
C A
SOLUZIONE
PER OGNI TRASFORMAZIONE DEVO CALCOLARE LAVORO CALORE E VARIAZIONE DI ENERGIA. PER FAR QUESTO PER OGNI TRASFORMAZIONE DEVO CONOSCERE TUTTE LE
COORDINATE TERMODINAMICHE (p,V,T) DELLO STATO FINALE ED INIZIALE TRASFORMAZIONE AB ISOCORA
A( p
A= 1atm,V
A= ?,T
A= 300K )
B( p
B= ?,V
B= ?,T
B= 600K )
3 50
.
025
10
300
314
.
8
m
p
nRT
V
nRT
V
p
A A A A A A≅
⋅
=
=
⇒
=
IN B NON CONOSCO PRESSIONE E VOLUME,MENTRE IN A
DALL’EQUAZIONE DI STATO DEI GAS PERFETTI RICAVO L’UNICA INCOGNITA IL VOLUME
COSA SO E COSA DEVO DETERMINARE
SOLUZIONE
PER LO STADIO B L’UNICA INCOGNITA E’ LA PRESSIONE, DATO CHE IL VOLUME RESTA COSTANTE, CHE POTREI RICAVARE DALL’EQUAZIONE DI STATO MA E’ PIU’
SEMPLICE UTILIZZARE LE EQUAZIONI DI Gay Lussac
B B A A
T
p
T
p
T
p
=
⇒
= costante
Pa
K
K
Pa
T
T
p
p
A B A B 5 52
10
300
600
10
⋅
=
⋅
=
=
)
600
,
025
.
0
,
10
2
(
)
300
,
025
.
0
,
10
(
3 5 3 5K
T
m
V
Pa
p
B
K
T
m
V
Pa
p
A
B B B A A A=
=
⋅
=
=
=
=
AB
AB
AB
E
Q
L
= 0
⇒
Δ
=
SOLUZIONE
TRASFORMAZIONE AB ISOCORA(
T
T
)
(
)
J
R
n
T
nc
Q
E
AB AB V B A8
.
314
600
300
3741
2
3
2
3
≅
−
⋅
⋅
=
−
⋅
=
Δ
=
=
Δ
TRASFORMAZIONE BC ADIABATICA
SOLUZIONE
)
455
?,
?,
(
)
600
,
025
.
0
,
10
2
(
5 3K
T
V
p
C
K
T
m
V
Pa
p
B
C C C B B B=
=
=
=
=
⋅
=
DEL PUNTO C CONOSCO SOLO LA TEMPERATURA MA POICHE’ SO CHE L’ULTIMA TRASFORMAZIONE SARA’ A PRESSIONE
COSTANTE L’UNICA INCOGNITA E’ IL VOLUME CHE COME SEMPRE RICAVO DALL’EQUAZIONE DI STATO
3 5
0
.
038
10
455
314
.
8
m
p
nRT
V
nRT
V
p
A C C C C C≅
⋅
=
=
⇒
=
)
455
,
038
.
0
,
10
(
)
600
,
025
.
0
,
10
2
(
3 5 3 5K
T
m
V
Pa
p
C
K
T
m
V
Pa
p
B
B B B=
=
=
=
=
⋅
=
TRASFORMAZIONE AB ADIABATICA
SOLUZIONE
BC
BC
BC
E
L
Q
= 0
⇒
Δ
=
−
(
)
(
)
J
E
L
J
K
K
J
T
T
R
n
T
nc
E
BC BC B C V BC1808
1808
600
455
314
.
8
2
3
2
3
=
Δ
−
=
−
=
−
⋅
=
−
⋅
=
Δ
=
Δ
SOLUZIONE
TRASFORMAZIONE CA ISOBARA
PER L’ULTIMA TRASFORMAZIONE, NEI PASSI PRECEDENTI, HO GIA TROVATO TUTTI I VALORI PER LE COORDINATE TERMODINAMICHE
)
300
,
025
.
0
,
10
(
)
455
,
037
.
0
,
10
(
3 5 3 5K
T
m
V
Pa
p
p
A
K
T
m
V
Pa
p
p
C
A A D A C C A C=
=
=
=
=
=
=
=
SOLUZIONE
TRASFORMAZIONE CA ISOBARA(
)
(
)
(
T
T
)
J
R
n
T
nc
Q
J
T
T
nR
T
nR
L
J
T
T
R
n
T
nc
E
C
A
P
CA
C
A
CA
C
A
V
CA
3221
2
5
1288
1933
2
3
−
≅
−
=
Δ
=
−
≅
−
=
Δ
=
−
≅
−
=
Δ
=
Δ
SOLUZIONE
CICLOJ
J
J
Q
Q
Q
Q
J
J
J
L
L
L
L
J
J
J
E
E
E
E
CA BC AB CICLO CA BC AB CICLO CA BC AB CICLO520
3221
0
3741
520
1288
1808
0
0
1933
1808
3741
=
−
+
≅
+
+
=
=
−
+
≅
+
+
=
=
−
−
≅
Δ
+
Δ
+
Δ
=
Δ
14
.
0
3741
520
≅
=
=
J
J
Q
L
ASS
ciclo
η
n = 3 moli di un gas biatomico ideale sono soggette al
seguente ciclo: una trasformazione adiabatica reversibile AB
(TA = 400 K, VA = 0.5 m3, VB = 0.8 m3), di una
trasformazione isocora reversibile BC (pC=0.9·104 Pa), una
trasformazione isoterma reversibile CD e di una
trasformazione isobara reversibile DA. Calcolare tutte le
coordinate termodinamiche, I lavori ed I calori scambiati nelle singole trasformazioni e nell’intero ciclo.
SOLUZIONE
DOPO AVER LETTO ATTENTAMENTE LA TRACCIA, DISEGNAMO LE SINGOLE TRASFORMAZIONI NEL PIANO DI CLAPEYRON
V p A B C D
SOLUZIONE
PER OGNI TRASFORMAZIONE DEVO CALCOLARE LAVORO CALORE E VARIAZIONE DI ENERGIA. PER FAR QUESTO PER OGNI TRASFORMAZIONE DEVO CONOSCERE TUTTE LE
COORDINATE TERMODINAMICHE (p,V,T) DELLO STATO FINALE ED INIZIALE TRASFORMAZIONE AB ADIABATICA
?)
,
8
.
0
?,
(
)
400
,
5
.
0
?,
(
3 3=
=
=
=
=
=
B B B A A AT
m
V
p
B
K
T
m
V
p
A
Pa
V
nRT
p
nRT
V
p
A A A A A A 410
2
5
.
0
400
314
.
8
3
⋅
≅
⋅
⋅
=
=
⇒
=
DALL’EQUAZIONE DI STATO DEI GAS PERFETTI RICAVO L’UNICA INCOGNITA DELLO STATO A
COSA SO E COSA DEVO DETERMINARE
TRASFORMAZIONE AB ADIABATICA
SOLUZIONE
RICORDIAMO CHE PER UN GAS BIATOMICO:
4
.
1
5
7
2
5
2
7
=
=
=
=
R
R
c
c
v pγ
γ γ B B A AV
p
V
p
=
IN QUESTA EQUAZIONE L’UNICA INCOGNITA E’ pB
Pa
Pa
V
V
p
V
V
p
p
B A A B A A B 4 4 . 1 41
.
03
10
8
.
0
5
.
0
10
2
⎟
=
⋅
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
=
γ γ γ?)
,
8
.
0
,
10
03
.
1
(
)
400
,
5
.
0
,
10
2
(
3 4 3 4=
=
⋅
=
=
=
⋅
=
B B B A A AT
m
V
Pa
p
B
K
T
m
V
Pa
p
A
DALL’EQUAZIONE DI STATO DEI GAS PERFETTI RICAVO L’UNICA INCOGNITA DELLO STATO B
K
nR
V
p
T
nRT
V
p
B B B B B B331
314
.
8
3
8
.
0
10
03
.
1
4≅
⋅
⋅
⋅
=
=
⇒
=
)
331
,
8
.
0
,
10
03
.
1
(
)
400
,
5
.
0
,
10
2
(
3 4 3 4K
T
m
V
Pa
p
B
K
T
m
V
Pa
p
A
B B B A A A=
=
⋅
=
=
=
⋅
=
TRASFORMAZIONE AB ADIABATICA
SOLUZIONE
AB
AB
AB
E
L
Q
= 0
⇒
Δ
=
−
(
)
(
)
J
E
L
J
K
K
J
T
T
R
n
T
nc
E
AB AB A B V AB5
.
4302
4305
400
331
314
.
8
2
5
3
2
5
=
Δ
−
=
−
=
−
⋅
⋅
=
−
⋅
=
Δ
=
Δ
SOLUZIONE
TRASFORMAZIONE BC ISOCORA?)
?,
,
10
9
.
0
(
)
331
,
8
.
0
,
10
03
.
1
(
4 3 4=
=
⋅
=
=
=
⋅
=
C C C B B BT
V
Pa
p
C
K
T
m
V
Pa
p
B
OSSERVO CHE SE LA TRASFORMAZIONE BC AVVIENE A VOLUME COSTANTE DELLE VARIABILI TERMODINAMICHE AL PUNTO C NON CONOSCO SOLO LA TEMPERATURA CHE POSSO RICAVARE CON L’EQUAZIONE DI STATO DEI GAS PERFETTI
K
nR
V
p
T
nRT
V
p
C C C C C C289
314
.
8
3
8
.
0
10
9
.
0
4≅
⋅
⋅
⋅
=
=
⇒
=
)
289
,
8
.
0
,
10
9
.
0
(
)
331
,
8
.
0
,
10
03
.
1
(
3 4 3 4K
T
m
V
Pa
p
C
K
T
m
V
Pa
p
B
C C C B B B=
=
⋅
=
=
=
⋅
=
BC
BC
BC
E
Q
L
= 0
⇒
Δ
=
SOLUZIONE
TRASFORMAZIONE BC ISOCORA(
T
T
)
(
)
J
R
n
T
nc
Q
E
BC BC V C B8
.
314
289
331
2618
.
9
2
5
3
2
5
−
=
−
⋅
⋅
⋅
=
−
⋅
=
Δ
=
=
Δ
SOLUZIONE
TRASFORMAZIONE CD ISOTERMA
OSSERVO CHE SE LA TRASFORMAZIONE CD AVVIENE A TEMPERATURA COSTANTE DELLE VARIABILI TERMODINAMICHE AL PUNTO D CONOSCO SOLO LA TEMPERATURA. INOLTRE, POICHE’ LA TRASFORMAZIONE
FINALE CHE MI RIPORTERA’ IN A SARA’ A PRESSIONE COSTANTE LA PRESSIONE IN D SARA’ LA STESSA CHE IN A, QUINDI L’UNICA
INCOGNITA E’ IL VOLUME CHE POSSO RICAVARE DALL’EQUAZIONE DI STATO DEI GAS PERFETTI
3 4
0
.
36
10
2
289
314
.
8
3
m
p
nRT
V
nRT
V
p
D D D D D D=
⋅
⋅
⋅
=
=
⇒
=
?)
?,
?,
(
)
289
,
8
.
0
,
10
9
.
0
(
4 3=
=
=
=
=
⋅
=
D D D C C CT
V
p
D
K
T
m
V
Pa
p
C
)
289
,
36
.
0
,
10
2
(
)
289
,
8
.
0
,
10
9
.
0
(
3 4 3 4K
T
m
V
Pa
p
p
D
K
T
m
V
Pa
p
C
D D D D C C C=
=
⋅
=
=
=
=
⋅
=
CD
CD
CD
Q
L
E
=
⇒
=
Δ
0
SOLUZIONE
TRASFORMAZIONE CD ISOTERMAJ
V
V
nRT
L
Q
C D CD CD CD5733
8
.
0
36
.
0
ln
289
314
.
8
3
ln
=
⋅
⋅
⋅
=
−
=
=
SOLUZIONE
TRASFORMAZIONE DA ISOBARA
PER L’ULTIMA TRASFORMAZIONE, NEI PASSI PRECEDENTI, HO
GIA’TROVATO TUTTI I VALORI PER LE COORDINATE TERMODINAMICHE
