Cenni di topologia di
ℝ
1. Sottoinsiemi dei numeri reali
Studieremo le proprietà dei sottoinsiemi dei numeri reali, E ⊆ ℝ , che hanno ad esempio la forma:
Definizione: Sia E un sottoinsieme di ℝ , cioè E ⊆ℝ, allora diremo maggiorante di E un qualunque numero M
tale che
∀x
∈
E risultix ≤
M
.Definizione: Se esiste almeno un maggiorante di E diremo che E è limitato superiormente
Definizione: Sia E un sottoinsieme di ℝ , cioè E ⊆ℝ , allora diremo minorante di E un qualunque numero m tale
che x∀ ∈E risulti
x ≥
m
.Definizione: Se esiste almeno un minorante di E diremo che E è limitato inferiormente
Definizione: Sia E un sottoinsieme di ℝ , cioè E ⊆ℝ, allora diremo che E è limitato se è sia limitato
superiormente che limitato inferiormente.
Definizione: Sia E un sottoinsieme di ℝ . Il più piccolo dei maggioranti di E lo chiameremo massimo di E se
appartiene ad E; altrimenti lo chiameremo estremo superiore di E
(
3,2)
(3, 5) E = − ∪ 3 − 2 3 5{
}
[1,2] 5; 6; 8 E = ∪ 1 2 5 6 8{ }
1 ( , 1) (2, 3) [4, ) 2 E = −∞ − ∪ ∪ ∪ +∞ 1 − 12 2 3 4 x∈E ME
x ∈
m
E
Definizione: Sia E un sottoinsieme di ℝ . Il più grande dei minoranti di E lo chiameremo minimo di E se appartiene
ad E; altrimenti lo chiameremo estremo inferiore di E
Esempio 1
Trovare gli estremi inferiore e superiore degli insiemi: E1 = −
{
2;1;2}
∪(3; 6),E2 = −( 4; 3) (5; 7]∪ ,3 ( ; 3] (5; )
E = −∞ ∪ +∞ e dire se ammettono massimo o minimo.
L’insieme dei minoranti di E1 è (−∞ − , l’insieme dei maggioranti [6;; 2] +∞ quindi: )
( )
1min E = −2,
( )
1sup E =6, non ammette massimo
l’insieme dei minoranti di E2 è (−∞ −; 4], l’insieme dei maggioranti [7;+∞) quindi:
( )
1inf E = −4, non ammette minimo
( )
2max E =7
mentre E3 è illimitato.
Esempio 2
Trovare gli estremi inferiore e superiore dell’insieme E =
{
x−3 <2}
e dire se ammette massimo o minimo.Riscriviamo la condizione data risolvendo la disequazione:
2 x 3 2 − < − <
1<x <5
risulta quindi inf( )E =1, sup( )E =5. L’insieme non ammette né massimo né minimo.
Esempio 3
Trovare gli estremi inferiore e superiore dell’insieme
{
n 1, 0}
nE x n
n −
= = ∈ ℕ e dire se ammette massimo o minimo.
E
Massimo
E
superiore
Estremo
minimo
E
E
inferiore
Estremo
1 1 1 1 n n n n n n − = − = −
essendo n intero positivo la quantità 1
n è sempre positiva e minore di 1, e la x diviene sempre più grande al
crescere di n , tendendo ad 1 senza raggiungerlo mai. Quindi si ha sup( )E =1 , e non ammette massimo, mentre se n=1 l’insieme assume il suo valore più piccolo, min( )E =0 .
Esempio 4
Trovare gli estremi inferiore e superiore dell’insieme
{
2 1, 0}
3n
E x n
n +
= = ∈ ℕ e dire se ammette massimo o minimo.
Vediamo qualche elemento:
{
1, , ,5 7}
6 9 E = … . Riscriviamo la condizione: 2 1 2 1 2 1 3 3 3 3 3 n n x n n n n + = = + = +Essendo n>0, risulta sempre 1 1
3n <3, quindi
2 1 1 3 3
x≤ + =
valore che viene assunto per n =1 cui max( )E =1. Viceversa i numeri dell’insieme si ottengono sommando a 2
3la quantità positiva 1
3n , che diventa arbitrariamente piccola al crescere di n . Si ha dunque 2 3 x> , valore che non viene mai assunto e quindi inf( ) 2
3 E = . Esempio 5 Studiare il sottoinsieme diℝ: 2 0 1 , n E x n n + = = ∈ ℕ .
Possiamo riscrivere il generico elemento nella forma:
2 1 2 1 1 n n n x n n n n n + = = + = +
Come si vede risulta sempre xn ≥ , ad esempio 2 1
1
1 2
1
x = + = , 2 2 1 5
2 2
x = + = ecc. Nel caso generale è
vero che n 1 2
n
+ ≥ in quanto se n = si ha 1 n 1 2
n
+ = , mentre se n> l’espressione è pari ad un numero 1 maggiore di 2 sommata ad un altro addendo positivo 1
n . Se ne deduce che min( )E = . Per quanto 2
riguarda la ricerca dell’eventuale massimo dell’insieme osserviamo che comunque si scelga un numero k è sempre possibile trovare un xn > . Basta che si scelga nk = ed avremo k
1
n
x k k
k
= + > . Ne concludiamo che E risulta illimitato superiormente perché i suoi elementi possono essere grandi quanto si desidera, da cui sup( )E = +∞
2. Intorno e punto di accumulazione
Definizione: siano a ∈ ℝ e b ∈ ℝ . Diremo intervallo aperto il sottoinsieme
]
a
,
b
[
di ℝ tale chea<x< bDefinizione: siano a ∈ ℝ e b ∈ ℝ . Diremo intervallo chiuso il sottoinsieme
[
a
,
b
]
di ℝ tale chea ≤x ≤ bDefinizione: sia x0 ∈ ℝ . Diremo intorno di x0, I x( )0 ogni intervallo aperto contente
x
0.Seδ1∈ ℝ e +0 δ2 ∈ ℝ avremo pertanto:+0 I x( )0 =]x0−δ1,x0 +δ2[
Inoltre se δ1=δ2 ≡ l’intorno si dirà sferico o anche simmetrico: δ I x( )0 =
{
x∈R: |x−x0|<δ}
Si definiscono anche l’ intorno destro: I x( )0 =] ,x x0 0+δ[; l’ intorno sinistroI x( )0 =]x0−δ,x0[.
Definizione: diciamo intorno di
+∞
un qualunque insieme della forma( ,
a
+∞
)
, intorno di−∞
qualunque insieme della forma(
−∞
, )
b
, intorno di∞
qualunque insieme tipo(
−∞
, )
a
∪
( ,
b
+∞
)
. Definizione: Sia E un sottoinsieme di ℝ . Si dice chex
0 è punto di accumulazione per E se in ogni intorno di0
x
cade almeno un elemento di E diverso da
x
0.Si noti che i punti di frontiera di un intervallo sono punti di accumulazione per esso, pertanto diremo anche che un intervallo è chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
Notare:
1) se cade almeno un punto di E in un intorno di un punto di accumulazione allora ce ne cadono infiniti
2) non è detto che il punto di accumulazione appartenga ad E. esempi ne sono tutti gli intervalli aperti, l’insieme dei reali pari ai naturali
1
n
conn
∈ ℕ
0 dove zero è un punto di accumulazione ma nonlo è nessun numero dell’ insieme.
3) Se esiste almeno un intorno del punto che non contiene altri elementi di E il punto si dice isolato
a
b
a
b
0 1 x −δ 0 x x0+δ2 0 x −δ 0 x x0 +δsono punti di accumulazione
non è punto di accumulazione
Esempio 6
Trovare i punti di accumulazione dell’insieme E
{
x 5 1;n 0}
n= = + ∈ℕ
, l’estremo superiore e quello inferiore e dire
se ammette massimo e minimo.
Si tratta di un insieme dove tutti gli elementi sono numeri razionali. n= ⇒1 x=6 11 2 2 n = ⇒x= 16 3 3 n= ⇒x = 21 4 4 26 5 5 n x n x = ⇒ = = ⇒ = …
Comunque si scelgano due elementi di E, nell’ intervallo fra di loro non sono compresi altri elementi dell’insieme quindi si può trovare sempre per ogni punto un intorno che non contiene altri punti di E. Ne concludiamo che nessun elemento dell’insieme è punto di accumulazione. Invece è punto di accumulazione
5
x = perché qualunque δ si scelga come raggio dell’intervallo di centro 5 esiste sempre un valore di n
abbastanza grande per cui risulti 1
n δ < .
Per lo stesso motivo si ha che inf( )E =5, l’insieme non ammette minimo, ed inoltre max( )E =6.
Esempio 7 Studiare il sottoinsieme diℝ:
{
}
0 2 1 , E x n n = = ∈ ℕ .Scriviamo prima qualche elemento di E:
{
1, , ,1 1 1 , 1 , 1 12}
4 9 16 25 36 n… . La frazione
2
1
n ha sempre
denominatore maggiore del numeratore quindi l’insieme dato è limitato superiormente da 1. Dato che
1
x = appartiene all’insieme avremo max( )E =1. Inoltre gli elementi di E sono sempre positivi, pertanto
inf( )E =0. Notare che x =0 non è minimo dell’insieme dato che non vi appartiene. D’altra parte x =0 è punto di accumulazione per E, dato che comunque si fissi un intorno centrato in x=0, al suo interno cadono infiniti altri punti dell’insieme. Se ad esempio δ è il raggio di un qualunque intorno centrato in
0
x = , basterà individuare quel valore 12
n δ < cioè per n 1 δ >
(significa che bisogna prendere la parte
intera del numero fra parentesi quadre) ed avremo che da quel numero in poi tutti gli altri elementi cadranno
entro l’intorno di raggio δ . Da ultimo osserviamo che tutti gli altri elementi di E sono punti isolati.
526 6 5 214 163 112 0 1 4 1 36 251 161 19
Esempio 8 Studiare il sottoinsieme diℝ:
{
5 2, 0}
4 n E x n n + = = ∈ℕ .Riscriviamo il generico elemento: 5 2 5 2 5 1
4 4 4 4 2
n n
n n n n
+
= + = + .
Dato che risulta sempre 1 1
2n ≤2 a causa del minor denominatore, abbiamo:
5 1 5 1 7 4 2 4 2 4 n x n = + ≤ + = . Allora poiché 7 4 ∈E ed 7 4 n x ≤ abbiamo max( ) 7 4
E = . Viceversa i numeri dell’insieme si ottengono sommando a 5
4 la quantità positiva 1
2n, che diventa arbitrariamente piccola al crescere di n . Si ha dunque 5
4
x> , valore che non viene mai assunto e quindi inf( ) 5 4
E = . Inoltre questo è l’unico punto al quale ci si possa avvicinare a piacimento, cioè di accumulazione: tutti gli altri elementi dell’insieme sono punti isolati. Rappresentiamone qualche elemento per capire:
{
7 12 17 11 27 4 37, , , , , , ...}
4 8 12 8 20 3 28 E = Esempio 9 Studiare il sottoinsieme diℝ: , 0 1 n n E x n n = = ∈ + ℕ
Si tratta di un insieme limitato superiormente dato che il denominatore è sempre maggiore del numeratore. Sommando e sottraendo 1 al numeratore si ottiene:
1 1 1 1 1 1 1 n n n n n + − = = − + + + .
Si vede bene che il generico elemento così riscritto cresce al crescere di n , dato che si tratta di sottrarre ad 1 la quantità sempre più piccola 1
1
n+ . Quindi è sempre xn < e questo valore non viene mai raggiunto (lo si 1 avrebbe se 1
1
n+ fosse zero, il che è approssimativamente vero per valori di n infinitamente grandi). Inoltre, il fato che xn cresca con n comporta 1
1 2
n
x ≥x = . Ne segue min( ) 1 2
E = e sup( )E = . I punti di E sono 1 tutti isolati mentre l’unico punto di accumulazione risulta x = (non appartenete all’insieme). 1
Rappresentiamone qualche elemento per capire:
