PUNTI DI ACCUMULAZIONE

PUNTI DI ACCUMULAZIONE

Intorno di un punto

Si chiama intorno completo, o semplicemente intorno, di un punto x0 qualunque

intervallo aperto che contenga x0 ; normalmente gli estremi di un intorno si indicano con

x

 

x



x



 



𝒙_𝟎 − 𝜹_𝟏 𝒙_𝟎 + 𝜹_𝟐

Intorno circolare

Si chiama intorno circolare, un intorno per il quale





^{=  }

x

Retta reale

x

𝒙_𝟎 − 𝜹 𝒙_𝟎 + 𝜹

 

Punti particolari di un insieme di numeri reali

Punto di accumulazione

Un punto

x

E

x

cadono infiniti punti di E

[Non è detto che gli infiniti punti dell’insieme E debbano appartenere sia alla parte destra dell’intorno e sia alla parte sinistra. Ad esempio, nell’insieme

E:[3;5[

x

= 5

Altra definizione di punto di accumulazione

quando in ogni intorno di x

cade almeno un punto di E diverso da x

.

5

x 𝟓 − 𝜹



3

PUNTI INTERNI, PUNTI ESTERNI E PUNTI DI FRONTIERA DI UN INSIEME E



1.

Un punto x

si dice punto interno all'insieme E se esiste un intorno di x

interamente contenuto in E.

2.

Un punto x

si dice punto esterno a E se esiste un intorno di x

che non contiene nessun punto di E.

3.

Un punto x

si dice punto di frontiera per E se un qualsiasi

intorno di x

contiene almeno un punto di E e almeno un punto

che non sta in E.

4.

Un punto x

di E si dice punto isolato per E se esiste un intorno di x

che non contiene nessun punto di E, ad eccezione di x

.

Insiemi aperti e chiusi

1. Si chiama frontiera di E l'insieme formato dai punti di frontiera di E.

2. Un insieme E si dice aperto se non contiene nessun punto della sua frontiera.

3. Un insieme E si dice chiuso se contiene tutti i punti della sua frontiera.

4. Si dimostra che un insieme chiuso contiene tutti i suoi punti di accumulazione, e viceversa, se un insieme contiene tutti i suoi punti di accumulazione è chiuso.