2. Sia data f : A ⊂ R → R e sia x 0 un punto di accumulazione di A. Supponiamo che

Analisi 1 - Esercizi di base sulla definizione di limite

Per esercitarvi con la definizione di limite (che per molti ` e nuova, altri hanno visto ma non ancora “metabolizzato” e, comunque, molti trovano difficile) pu` o essere utile risolvere per iscritto alcuni semplicissimi esercizi, come i seguenti.

1. Dimostrare, solo utilizzando la definizione di limite (con gli intorni V e U di 11 e 5), e scrivendo nei dettagli ogni passaggio, che

x→5 lim (2x + 1) = 11.

2. Sia data f : A ⊂ R → R e sia x 0 un punto di accumulazione di A. Supponiamo che

x→x lim

f (x) = ` ∈ R. (1)

Sia g(x) := f (x) + α per un qualche α ∈ R. Dimostrare che

x→x lim

g(x) = ` + α. (2)

Si possono studiare separatamente i case x 0 ∈ R ed x ⁰ = ±∞, oppure fare tutto insieme.

[Se non sapete come partire, inizio io. Dobbiamo dimostrare che per ogni V intorno sferico di ` + α si pu` o trovare un intorno sferico U di x ₀ tale che... Come sono fatti questi intorni sferici? In che modo utilizziamo (1)? Pu` o essere utile (e certamente non fa male) scrivere esplicitamente in termini di intorni V e U o di ε e δ cosa vogliono dire (1) e (2).]

3. Sia data f : A ⊂ R → R e sia x 0 un punto di accumulazione di A. Supponiamo che

x→x lim

f (x) = ` ∈ R.

Sia g(x) := M f (x) per un qualche M ∈ R. Dimostrare che

x→x lim

g(x) = M `.

4. [Un po’ pi` u difficile] Dimostrare usando il teorema dei due carabinieri che se f (x) → 0 ⁺ e g(x) ≥ M > 0 definitivamente per x → x ₀ , allora

x→x lim

f (x) ^g(x) = 0.

[Nota 1: Chi risolve correttamente l’esercizio 4 e si offre volontario per risolverlo alla lavagna avr` a un bonus di 1 punto sul voto finale d’esame.]

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