un repository di funzioni di vari tipi

REPOSITORY GRAFICI DI FUNZIONI

Marco Monaci

1_{Liceo Scientifico G. Marconi (5F)}

Introduzione

In questa nota riportiamo alcuni grafici di funzioni, con allegato un brevissimo studio per ciascuna di esse. Lo scopo di questa dispensa è più che altro quello di

svilup-pare l’occhio, in modo da imparare a disegnare al meglio

i grafici. Infatti le caratteristiche fondamentali dei gra-fici sono grosso modo sempre le stesse, sono sempre

variazioni sul tema; quindi più grafici si vedono, più si

diventa bravi a disegnarli.

Nota sui grafici. I punti di intersezione con l’asse

x e y sono indicati con un piccolo pallino nero, i massimi e i minimi (ovvero gli zeri della derivata prima) sono indicati con dei rombi rossi ed infine i flessi sono indicati con una stellina blu.

Funzioni polinomiali

Le funzioni polinomiali sono quelle più facili da studia-re, in quanto il dominio è ∀x ∈ R. Anche lo studio del segno non comporta particolari problemi. L’unica cosa che può essere un po’ rognosa è la ricerca delle inter-sezioni, che coincidono con le radici del polinomio: se tale polinomio ha un grado molto elevato (superiore al quarto grado) può rendersi necessaria, anche più di una volta, la scomposizione di Ruffini. Inoltre le funzioni polinomiali:

• non hanno punti di discontinuità; • non hanno asintoti;

• non hanno cuspidi, flessi verticali, punti angolosi; • se sono dispari allora in x = 0 hanno un flesso; • se sono pari allora x = 0 è un massimo o un minimo

relativo.

2.1 Funzione: f (x) = x

_{− 2x}

_{− 13x}

_{+ 14x + 24}

gra-do, quindi è necessario applicare almeno due volte Ruf-fini, in modo da abbassare il grado fino ad ottenere una forma del tipo (x − x1)(x − x2)(ax2+ bx + c), in quanto

ogni volta che applichiamo Ruffini abbassiamo il grado di uno. Con x1 e con x2 abbiamo indicato due delle

quattro radici del polinomio.

Una volta fattorizzato è quindi facile trovare le inter-sezioni in quanto rappresentano proprio le radici del polinomio. Notare inoltre che in questo particolare caso le intersezioni con l’asse x sono 4, esattamente quanto il grado del polinomio. Questo chiaramente non è sem-pre vero, in quanto se il termine noto è troppo grande la funzione vive totalmente al di sopra dell’asse x, per esempio.

In Figura 1 possiamo vedere il grafico della funzione discussa. Notare come i massimi e i minimi siano 3, in quanto derivando abbassiamo di uno il grado del poli-nomio. Inoltre i flessi sono solo 2, in quanto derivando due volte un polinomio di quarto grado otteniamo un polinomio di secondo grado, che ha per l’appunto due soluzioni al massimo. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

Figura 1:Grafico della funzione f (x) = x4_{− 2x}3_{− 13x}2_{+ 14x + 24}

2.2 Funzione: f (x) = −x

_{+ 5x}

_{− 8x + 4}

Figura 2:Grafico della funzione f (x) = −x3_{+ 5x}2_{− 8x + 4}

Questa funzione, essendo di terzo grado, presenta due massimi/minimi e un solo flesso, per il ragionamento che abbiamo fatto con la funzione precedente. Notare come in questo particolare caso due zeri della funzione

siano coincidenti, ovvero per x = 2. Essendo coincidenti,

il grafico della funzione è tangente all’asse x proprio nel punto x = 2. Nel grafico, per motivi di spazio, non è riportata l’intersezione del grafico con l’asse y.

Nota sui limiti per ∞ e per −∞ delle funzioni poli-nomiali. Nel caso di funzioni con grado massimo pari, i limiti tendono entrambi a infinito. Nel caso in cui il grado massimo sia dispari, allora il limite per x → ∞ tende a ∞, mentre per x → −∞ tende a

−∞.

2.3 Funzione: f (x) = −x

_{− 2x + 1}

Figura 3:Grafico della funzione f (x) = −x3_{− 2x + 1} Questa funzione è iniettiva, in quanto ad ogni valore di ycorrisponde uno e un solo valore di x. Questo significa che il grafico interseca l’asse delle x in un solo punto, mentre non è possibile trovare un massimo o un minimo relativo. E’ invece possibile trovare un flesso a tangente obliqua, dove cambia la concavità della funzione.

Funzioni razionali fratte

Le funzioni razionali fratte sono leggermente più ostiche delle funzioni polinomiali, in quanto bisogna principal-mente stare attenti al denominatore. In generale una funzione razionale fratta può essere espressa come:

f (x) = A(x) B(x)

Dove A(x) e B(x) sono dei polinomi di un determinato grado. Possiamo elencare le seguenti proprietà:

• Hanno come dominio tutto R, ad eccezione dei valori che rendono nullo il denominatore, ovvero B(x). In altre parole è definita dovunque tranne in corrispondenza delle radici d B(x);

• E’ possibile (ma non è sempre detto!) che abbiano asintoti verticali in corrispondenza dei valori che annullano B(x);

• Hanno zeri (ovvero intersecano l’asse x) in corri-spondenza dei valori che annullano il numeratore, ovvero A(x);

• Se il numeratore e il denominatore hanno lo stesso grado, la funzione presenta un asintoto orizzontale di equazione y = a

b, dove con a e con b indichiamo

rispettivamente i coefficienti del grado massimo del numeratore e del denominatore;

• Se il numeratore ha grado inferiore al denominatore allora hanno come asintoto orizzontale l’asse delle x;

• Se il grado del numeratore è maggiore di 1 rispetto al grado del denominatore allora la funzione presenta un asintoto obliquo;

• Se il grado del numeratore è in generale più gran-de gran-del grado gran-del gran-denominatore (differenza gran-dei gra-di maggiore gra-di 1) allora la funzione non presenta asintoti obliqui.

3.1 Funzione: f (x) =

Figura 4:Grafico della funzionef (x) = x2−8

2x−1. L’asintoto obliquo è

disegnato con una linea tratteggiata.

Seguiamo pedissequamente l’elenco puntato esposto poco sopra. Effettivamente notiamo che il dominio è proprio tutto R, tranne nel punto x = 1

2, che essendo

soluzione del denominatore fa scoppiare la funzione producendo un asintoto verticale. Se inoltre azzeriamo il numeratore otteniamo come soluzioni x = ±2√2, che sono proprio le intersezioni con l’asse delle x.

Il grado del numeratore è maggiore di 1 rispetto al grado del denominatore: questa cosa puzza di asintoto obliquo, che possiamo confermare osservando il grafico. Facendo il rapporto fra i coefficienti di grado massi-mo del numeratore (a = 1) e del denominatore (b = 2) otteniamo proprio il coefficiente angolare dell’asintoto obliquo, che è per l’appunto 1/2. In particolare si può calcolare l’equazione dell’asintoto obliquo, che risulta essere y = 1₂x + 1₄.

3.2 Funzione: f (x) =

x−1

Usiamo questa funzione per trattare un argomento che non viene toccato nel percorso di studi delle scuole superiori.

Osserviamo il grado del numeratore e del denomina-tore: la funzione non presenterà di certo un asintoto obliquo, in quanto il grado del numeratore è 3, mentre

il grado del denominatore è 1, quindi la differenza fra i gradi è 2 e quindi non ci sono le condizioni per un asintoto obliquo. Tuttavia la differenza dei gradi ci può far pensare ad un asintoto di grado superiore, ovvero un asintoto parabolico.

Possiamo generalizzare la condizione per un asintoto

paraboliconel seguente modo:

       limx→∞f (x)_x2 = a limx→∞ h_{f (x)} x − ax i = b limx→∞f (x) − ax2− bx = c

Dove a, b, c sono i coefficienti dell’asintoto parabolico.

-4 -2 0 2 4 6 8 -30 -20 -10 0 10 20 30

Figura 5:Grafico della funzione f (x) =x3−5x_x−12−2x+10. E’ presente, come ci aspettiamo, un asintoto verticale per x = 1. Tuttavia è presente anche un asintoto parabolico di equazione g(x) =

x2_{− 4x − 6.}

Questa cosa dell’asintoto curvilineo può essere chia-ramente generalizzata a qualunque grado. Infatti se per esempio il numeratore ha grado 4 e il denominatore ha grado 1 sarà presente un asintoto cubico.

3.3 Funzione: f (x) =

Basta guardare male questa funzione per capire imme-diatamente che sarà presente un asintoto orizzontale con equazione y = 1; è sufficiente infatti fare il rap-porto fra i coefficienti di grado massimo per trovare l’equazione.

Figura 6:Grafico della funzione f (x) = x_x22−4₊₄. Notare come sia

presente un asintoto orizzontale per y = 1.

Notare inoltre come questa funzione non presenti asin-toti verticali in quanto il denominatore è sempre posi-tivo, ovvero non ha soluzioni. Il minimo della funzione coincide con l’intersezione con l’asse delle y.

3.4 Funzione: f (x) =

x2₋₉

Questa è la classicissima funzione razionale fratta che presenta un denominatore che si può annullare, ovvero in corrispondenza delle soluzioni. In questo caso quindi ci aspettiamo due asintoti verticali per x = ±3, in quanto sono soluzioni del denominatore. Ci aspettiamo inoltre un asintoto orizzontale per y = 1, in quanto i gradi del numeratore e del denominatore sono uguali e il rapporto fra i coefficienti di grado massimo vale 1.

Qualche commento sulle derivate prime e seconde. In questo caso la derivata prima sarà crescente fino a x = 0, ciò significa che l’asintoto verticale per x = −3 non modifica la crescenza della funzione. Infatti nonostante in questo punto la funzione abbia una discontinuità, non viene interrotto l’andamento. Guardiamo bene la funzione, essa è crescente fino a x = −3, ma anche dopo lo è, fino a x = 0. Stesso discorso deve essere applicato per l’altro asintoto verticale.

Per quanto riguarda la derivata seconda abbiamo che fino a x = −3 la funzione presenta una concavità rivolta verso l’alto, mentre per −3 < x < 3 la concavità è rivolta verso il basso. Per x > 3 abbiamo una concavità rivolta verso l’alto.

L’intersezione della funzione con l’asse y è data dall’unica soluzione dell’equazione 0 = x_x22+1₋₉.

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Figura 7:Grafico della funzione f (x) =x_x22+1−9.

3.5 Funzione:f (x) =

Ora occhio alla maligna e barbara perfidia di questa funzione. Infatti uno potrebbe pensare all’esistenza di almeno due asintoti verticali, in quanto il denominatore è di secondo grado, e quindi può avere due soluzioni. Tuttavia questo non è vero, in quanto la frazione può essere fattorizzata come segue, per esempio utilizzando Ruffini:

f (x) = (x − 1)(x

2_{− 4x + 2)}

(x − 1)(x + 4)

Ovvero possiamo semplificare il fattore x − 1! Ciò significa che l’eventuale asintoto verticale per x = 1 non

esiste, ma al suo posto è presente una discontinuità di

terza specie. In altre parole la funzione è irriconoscibile da una funzione continua tranne che per il puntolino in x = 1, dove fa una sorta di piccolo salto. Vedere in Figura 8.

Occhio quindi alle papabili fattorizzazioni del nume-ratore e del denominatore. Infatti se il numenume-ratore e il denominatore posseggono una stessa identica radice, allora in quel punto non è presente un asin-toto verticale, ma semplicemente una discontinuità di terza specie, dove la funzione non è definita.

Poi chiaramente come tutte le frazioni con il nume-ratore superiore di un grado rispetto al denominatore presenta un asintoto obliquo. Nel caso della funzione in esame l’asintoto obliquo ha equazione y = x − 8.

Funzioni irrazionali

Le funzioni irrazionali sono tendenzialmente più difficili delle funzioni razionali, in quanto presentano maggiori problematiche per quanto riguarda per esempio il campo di esistenza. Vediamo qualche consiglio per studiare al meglio le funzioni irrazionali.

• Se l’indice della radice è pari la funzione non sarà

definita dove il radicando è negativo: infatti non

esi--15 -10 -5 0 5 10 15 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10

Figura 8:Grafico della funzione f (x) =x3−5x_x2+3x−42+6x−2. Notare come

la funzione non sembri presentare particolari problemi per il punto x = 1, che abbiamo indicato con un pallino vuoto. Lì semplicemente la funzione non è definita e presenta una discontinuità di terza specie. Tale perfidia era presente nella funzione relativa al primo quesito della simulazione della seconda prova di aprile 2019.

stono radici pari di un numero negativo. Se invece l’indice è dispari la funzione è definita in tutto R, sal-vo altre condizioni più stringenti date dal radicando (per esempio una frazione);

• Per vedere se ci sono asintoti obliqui o parabolici

dividere il grado massimo per l’indice della ra-dice: se il risultato esce 1, allora è presente un

asintoto obliquo; se il risultato esce 2 sarà presente un asintoto parabolico e così via. Se invece esce un numero non intero allora non sono presenti asintoti; • Occhio ai punti di non derivabilità: le radici sono perfide, quindi possono anche non presentare asin-toti. I punti non derivabili possono essere dei flessi a tangente verticale, dei punti angolosi o delle cuspi-di. Verificare se sono dei punti angolosi o dei flessi calcolando il limite destro e sinistro al punto critico. Ricordiamo che il punto angoloso si ha quando le derivate destre e sinistre esistono ma sono diverse; la cuspide (come in questo caso) ha derivate uguali ma infinite, e la funzione mantiene lo stesso segno (ovvero rimane positiva o negativa sia a destra che a sinistra del punto angoloso); il flesso a tangente verticale ha derivata infinita ma la concavità cam-bia (cosa che non accade in una cuspide), ovvero abbiamo concavità diverse a sinistra e a destra del punto di flesso considerato.

4.1 Funzione: f (x) =

px

(1 − x)

Essendo questa una radice di indice dispari, essa è definita per tutto R. Per quanto riguarda le intersezioni si può vedere che abbiamo uno zero in x = 0 e in x = 1. Osservando l’indice della radice e il grado massimo del radicando (che è un terzo grado camuffato da una fattorizzazione) possiamo dire che la funzione avrà da qualche parte un asintoto obliquo, cosa che poi nello studio di funzione si verifica, trovando come equazione per l’asintoto g(x) = −x +1

Figura 9:Grafico della funzione f (x) = _px3 2_{(1 − x). E’ presente}

l’asintoto obliquo di equazione g(x) = −x + 1₃. Notare

inoltre come nel punto x = 0 ci sia una cuspide, che si può trovare facendo la derivata.

In Figura 9 è riportato il grafico della funzione. Effet-tuando la derivata prima notiamo che il denominatore di tale derivata si annulla in x = 0 e in x = 1; questi sono due punti di discontinuità. Calcolando il limite destro e il limite sinistro dei punti di non derivabilità si scopre che per x = 0 abbiamo una cuspide, mentre per x = 1abbiamo un flesso a tangente verticale.

4.2 Funzione: f (x) =

√

x

_{+ x}

_{− 2}

Figura 10:Gafico della funzione f (x) =√x4_{+ x}2_{− 2. E’ presente}

un asintoto parabolico di equazione g(x) = x2₊1

2. La

funzione fra −1 e 1 non è definita.

Questa funzione presenta una zona dove non è proprio definita, ovvero dove il radicando è negativo. Con lo studio del segno del radicando si vede che è negativo per −1 < x < 1, dove quindi non è definita la funzione. Tuttavia in x = ±1 la funzione tocca l’asse delle x, e quindi questi due punti sono zeri della funzione. Con lo studio della derivata seconda (piuttosto ostica) si

scopre che sono presenti anche due flessi, riportati nel grafico in Figura 10. Inoltre tale funzione presenta un asintoto parabolico, in quanto abbiamo che il grado del radicando è 4, ma l’indice della radice è 2, quindi il grado "rimanente" è 2, che indica un andamento parabolico. L’equazione dell’asintoto curvilineo è g(x) = x2₊1

2.

Funzioni esponenziali

Le funzioni esponenziali sono piuttosto carine, in quan-to sono definite in tutquan-to R, a meno che non ci siano altri pezzi che ne modifichino il campo di esistenza. Hanno anche il grosso vantaggio di essere gli infiniti e gli in-finitesimi più potenti, quindi la funzione globale nella stragrande maggioranza dei casi va dove va la parte esponenziale (per esempio se va all’infinito o anche a zero). Anche il segno è facile, in quanto l’esponenziale è sempre positivo, a meno che chiaramente non ci sia un meno davanti a tutta la funzione! Gli esponenziali non presentano mai asintoti obliqui, a meno che nella funzione non ci sia un logaritmo. In questo caso infatti il logaritmo è l’unica funzione che può abbattere in modo sufficientemente efficace un esponenziale per forzarlo contro un asintoto obliquo.

5.1 Funzione: (x

_{+ 4x + 4)e}

Siamo in presenza di una funzione composta da un pez-zo esponenziale e da un pezpez-zo polinomiale. Il grosso vantaggio, come abbiamo detto, è che le funzioni espo-nenziali hanno dominio in tutto R. La funzione proposta qui ha questo dominio, quindi non ci saranno asintoti verticali. -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Figura 11:Grafico della funzione (x2_{+ 4x + 4)e}−x_.

In Figura 11 possiamo vedere il grafico della funzione proposta. In questo particolare caso le intersezioni con l’asse x e con l’asse y coincidono anche con il massimo e con il minimo della funzione.

Il pezzo polinomiale ha il delta pari a zero, quindi sono presenti due soluzioni reali e coincidenti, ovvero per x = −2. In questo punto la funzione è tangente all’asse delle x, e rappresenta per l’appunto un minimo.

5.2 Funzione:

Questa funzione non ha più dominio tutto R, in quanto è presente un denominatore che dà qualche problema. Infatti per x = ±2 il denominatore scoppia, creando un asintoto verticale.

Figura 12:Grafico della funzione ex x2−4.

Notare inoltre come nonostante la funzione per x → ∞ tenda giustamente a ∞ essa non presenti un asintoto obliquo. Infatti l’esponenziale cresce troppo velocemente e di conseguenza non è possibile tenerlo a bada verso un asintoto.

Anche in questo caso non sono presenti flessi, seb-bene la funzione cambi concavità. Tuttavia il cambio di concavità avviene nei punti in cui la funzione è fuori dal dominio.

Un’altra cosa interessante da notare in questa fun-zione è il diverso approccio del grafico agli asintoti, per esempio per x = −2 e per x = 2. Nel caso di x = 2 la funzione si avvicina dolcemente all’asintoto, in quanto nella parte positiva è il pezzo polinomiale che spinge la funzione all’asintoto, dove però l’esponenziale non gioca ancora un ruolo molto importante, in quanto sta tendendo anche lui all’infinito. Nel caso x = −2 siamo nella zona negativa, e l’esponenziale vuole crollare il più rapidamente possibile a zero. Il denominatore invece vuole spingere la funzione all’infinito, e chiaramente lo fa: c’è quindi una sorta di "combattimento", vinto dal denominatore solo se siamo vicinissimi all’asintoto, se siamo un po’ lontani vince a mani basse l’esponenziale. Subito dopo l’asintoto entra quindi in gioco l’esponen-ziale, che essendo la funzione più incazzosa di tutte, schiaccia immediatamente a zero il grafico.

Funzioni logaritmiche

Le funzioni logaritmiche invece sono un po’ più rognose. Elenchiamo le caratteristiche principali che troveremo studiando funzioni logaritmiche:

• Hanno come dominio l’insieme dei valori che ren-dono positivo l’argomento del logaritmo, in quanto non è definito il logaritmo di un numero negativo; • Se sono funzioni del tipo f (x) = _B(x)A(x) possono

pre-sentare asintoti verticali in corrispondenza dei

va-lori che annullano B(x) o anche per i vava-lori che annullano A(x);

• Ricordiamo che il logaritmo tende a −∞ se l’argomento del logaritmo tende a zero;

• Il logaritmo è positivo se l’argomento è maggiore di 1. Ciò significa che il logaritmo vale zero se l’argomento è pari a 1.

6.1 Funzione: ln(e

_{+ 1)}

Questa funzione sembra tanto carina e coccolosa ma bisogna stare molto attenti. Infatti c’è un esponenziale che pinta un sacco, eppure il logaritmo, che è la funzione inversa, lo abbatte contro un asintoto obliquo. Ebbene sì, questa funzione ha nascosto un asintoto obliquo di equazione g(x) = x. In Figura 13 possiamo vederne l’andamento.

Figura 13:Grafico della funzione ln(ex_{+ 1). Notare il subdolissimo}

asintoto obliquo g(x) = x.

Poiché l’esponenziale è sempre un numero positivo ed inoltre è sommato anche 1, il dominio di tale funzione è tutto R. E’ presente anche un asintoto orizzontale, rappresentato dall’asse delle x, in quanto per x → −∞ la funzione tende a ln 1 che è pari a 0.

Non sono presenti massimi o minimi relativi, esattamente con flessi. La funzione è monotòna crescente.

6.2 Funzione: f (x) =

Questa funzione si studia in modo abbastanza standard, anche se bisogna stare attenti al campo di esistenza, che è per valori strettamente positivi. inoltre è presente un asintoto verticale per x = 1, in quanto si annulla il logaritmo e di conseguenza il denominatore. Ai limiti del dominio, ovvero per x → 0 abbiamo che la funzione tende globalmente a zero.

E’ presente un solo minimo relativo in corrispondenza di x = e.

Ed ora attenzione. Come diceva un mio caro amico,

sono là dove l’occhio non guarda mai: parafrasando,

questa funzione presenta un punto di flesso, che è però così "debole" che non è visibile ad occhio nudo. Infatti la

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

Figura 14:Grafico della funzione f (x) = x

ln x. Per quanto possa

sembrare, la funzionenon presenta un asintoto obliquo.

Provare a calcolare per credere.

derivata seconda si annulla per x = e2_{, dove la concavità}

passa da positiva a negativa, a tal proposito osserva-re la Figura 14. Questo ci deve serviosserva-re da lezione: ok avere occhio clinico, ma eseguire sempre tutti i calco-li per confermare le nostre ipotesi e non fare gonfiate esagerate.

Funzioni goniometriche

Personalmente detesto le funzioni goniometriche, tut-tavia per impellenti motivi ministeriali vanno fat-te. Elenchiamo come nostro solito le principali caratteristiche:

• Sono quasi sempre periodiche o pseudoperiodiche, quindi è sufficiente studiarle per un singolo periodo; • Se sono periodiche o pseudoperiodiche non presen-tano asintoti orizzontali oppure obliqui. Al massimo possono presentare infiniti asintoti verticali, come nel caso della tangente.

7.1 Funzione: f (x) =

√

sin x + 1

Essendo una funzione periodica dipendente dal seno, studiamola nell’intervallo [0, 2π]. In Figura 15 è riportato il grafico della funzione proposta.

Innanzitutto la funzione sarà sempre positiva in quan-to la radice restituirà sicuramente un numero positivo. In generale poi per le altre cose la funzione si presenta abbastanza standard: possiede due punti di massi-mo, uno dei quali al limite dell’intervallo studiato (ed è per questo che è un massimo - la funzione altrimento continuerebbe a salire ancora un pochino).

Flessi non ce ne sono, in quanto la concavità è rivolta sempre verso il basso. Attenzione ai punti angolosi che vengono creati dalla radice: in quei punti la derivata prima non è definita. Anche in questo caso provare a scrivere la derivata prima e osservare dove non è definita (per esempio dove si annulla il denominatore).

Funzioni con valori assoluti

Attenzione ai valori assoluti, in quanto questi piccoli ma-ligni creano molto rapidamente dei punti angolosi. Per

Figura 15:Grafico della funzione f (x) =√sin x + 1

studiare una funzione con i valori assoluti è necessario seguire questa procedura:

• Studiare il segno solo ed esclusivamente del valo-re assoluto. Quindi dove il valovalo-re assoluto è positi-vo eliminare semplicemente le sbarrette verticali e proseguire normalmente nello studio di funzione; • Dove il valore assoluto è negativo, prima di

elimina-re le stanghette del valoelimina-re assoluto cambiaelimina-re tutti

i segni a tutti i fattori all’interno del valore assolu-to; solo successivamente proseguire nello studio classico di funzione.

Ciò significa che quando siamo in presenza di un valore assoluto è necessario effettivamente studiare due funzioni. Maledette.

Facciamo subito un esempio.

8.1 Funzione: |x|e

Figura 16:Grafico della funzione |x|e−2x

Studiamo innazitutto il valore assoluto: dobbiamo semplicemente imporre x > 0. Quindi in tal caso la

funzione si divide di fatto in due: f (x) =

(

xe−2x se x ≥ 0 −xe−2x _{se x < 0}

Notare come abbiamo cambiato il segno solo del pezzo che era dentro il valore assoluto. Ora occhio, perché di fatto dobbiamo studiare due funzioni; per il pezzo x ≥ 0 utilizzeremo la prima funzione che abbiamo scritto nella graffa, mentre per il pezzo x < 0 utilizzeremo la seconda funzione. Questa definizione a tratti produce spessissi-mo un punto angoloso, a meno che la funzione non sia così ben levigata da avere derivata prima continua.

Superato questo piccolo scoglio, ovvero dividere corret-tamente la funzione nei due pezzi, il processo risolutivo segue pedissequamente tutti i passi che conosciamo e che abbiamo utilizzato anche nelle sezioni precedenti. Vedere la Figura 16 per il grafico.

Funzioni parametriche

Le funzioni parametriche di solito generano un panico diffuso e pernicioso fra gli studenti. La comparsa di un k nella funzione è causa di mal di testa e dolori in-tercostali difficilmente lenibili anche con i più potenti farmaci antinfiammatori non steroidei. Tuttavia è tutto fumo e niente arrosto: trattare k come fosse un qualun-que numero, portarlo avanti nei calcoli e solo alla fine studiare le intersezioni, l’andamento del segno e delle derivate in funzione di k.

9.1 Funzione: f (x) =

x2

Figura 17:Grafico per vari valori di k per la funzione f (x) =kx3−2 x2 .

Dal più chiaro al più scuro abbiamo come valori k = 3,

k = 1, k = −1.

In Figura 17 sono riportati vari grafici al variare del parametro k. Notare come l’asintoto verticale non cam-bi, infatti è il denominatore che genera tale asintoto e il denominatore non dipende da k. Notare inoltre come il segno di k cambi l’andamento generale della funzione. Invece se k è positivo ma gli cambiamo va-lore l’andamento globale è simile, anche se cambia (in questo particolare caso ) l’asintoto obliquo.

Anche le intersezioni, così come la derivata prima, dipendono da k. Infatti le intersezioni sono date da x =

3

q

2

k, ovvero dipendenti dal parametro. Stesso discorso

vale per la derivata prima, che presenta massimi diversi in base al k scelto.