le funzioni elementari

(1)

(2)

Potenze e polinomi Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola

Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima

Potenze ad esponente reale Esponenziali e logaritmi Il valore assoluto

Le funzioni trigonometriche Funzioni trigonometriche inverse

(3)

Funzioni lineari e affini

Le

funzioni lineari

sono del tipo

f : R → R

(4)

Funzioni lineari e affini

Le

funzioni lineari

sono del tipo

f : R → R

f (x) = mx

m ∈ R

(5)

Funzioni lineari e affini

Le

funzioni lineari

sono del tipo

f : R → R

f (x) = mx

m ∈ R

Il grafico è una retta passante per l’origine

x

y

(6)

Funzioni lineari e affini

Le

funzioni lineari

sono del tipo

f : R → R

f (x) = mx

m ∈ R

Il grafico è una retta passante per l’origine

x

y

x

y

(7)

Le

funzioni affini

sono del tipo

f : R → R

(8)

Le

funzioni affini

sono del tipo

f : R → R

f (x) = mx + q

m, q ∈ R

(9)

Le

funzioni affini

sono del tipo

f : R → R

f (x) = mx + q

m, q ∈ R

Il grafico è una retta

x

y

(10)

Le

funzioni affini

sono del tipo

f : R → R

f (x) = mx + q

m, q ∈ R

Il grafico è una retta

x

y

x

y

(11)

Le

funzioni affini

sono del tipo

f : R → R

f (x) = mx + q

m, q ∈ R

Il grafico è una retta

x

y

x

y

x

y

(12)

x

y

(13)

x

y

= mx +

q

(14)

x

y

= mx +

q

(0, q)

■

q

è il

termine noto

, e rappresenta l’ordinata

(15)

x

y

=

m

x

+ q

■

q

è il

termine noto

, e rappresenta l’ordinata

del punto d’intersezione con l’asse

y

(16)

x

y

=

m

x

+ q

α

■

q

è il

termine noto

, e rappresenta l’ordinata

del punto d’intersezione con l’asse

y

■

m

è il

coefficiente angolare

, ed è la tangente

(17)

Potenze ad esponente naturale

La funzione

potenza ad esponente

n

R

→ R

x 7→ x

n

(n ∈ N \ {0})

dove

x

n

= x · x · · · x

|

{z

}

(18)

Potenze ad esponente naturale

La funzione

potenza ad esponente

n

R

→ R

x 7→ x

n

(n ∈ N \ {0})

dove

x

n

= x · x · · · x

|

{z

}

n volte

Le potenze ad esponente pari sono funzioni

pari, quelle ad esponente dispari sono dispari

(19)

Potenze ad esponente naturale

La funzione

potenza ad esponente

n

R

→ R

x 7→ x

n

(n ∈ N \ {0})

dove

x

n

= x · x · · · x

|

{z

}

n volte

Le potenze ad esponente pari sono funzioni

pari, quelle ad esponente dispari sono dispari

(20)

Confronto tra potenze

1

(21)

Confronto tra potenze

1

1 −1

(22)

Confronto tra potenze

1

1 −1

f

₁

(x) = x

2

(23)

Confronto tra potenze

1

1 −1

f

₁

(x) = x

2 f

₂

(x) = x

4 f

₃

(x) = x

6

(24)

Confronto tra potenze

1

1 −1

f

₁

(x) = x

2 f

₂

(x) = x

4 f

₃

(x) = x

6

1

1 −1

g

₁

(x) = x

(25)

Confronto tra potenze

1

1 −1

f

₁

(x) = x

2 f

₂

(x) = x

4 f

₃

(x) = x

6

1

1 −1

g

₁

(x) = x

g

₁

(x) = x

3

(26)

Confronto tra potenze

1

1 −1

f

₁

(x) = x

2 f

₂

(x) = x

4 f

₃

(x) = x

6

1

1 −1

g

₁

(x) = x

g

₁

(x) = x

3 g

₂

(x) = x

5

(27)

Confronto tra potenze

1

1 −1

f

₁

(x) = x

2 f

₂

(x) = x

4 f

₃

(x) = x

6

1

1 −1

g

₁

(x) = x

g

₁

(x) = x

3 g

₂

(x) = x

5

(28)

Polinomi e funzioni razionali

I

polinomi

sono funzioni da R

→ R, del tipo

x 7→ a

0 +

n

X

k=1

a

_k

x

k

= a

₀

+ a

₁

_{x + · · · + a}

_n−1

x

n−1

+ a

_n

x

n

(29)

Polinomi e funzioni razionali

I

polinomi

sono funzioni da R

→ R, del tipo

x 7→ a

0 +

n

X

k=1

a

_k

x

k

= a

₀

+ a

₁

_{x + · · · + a}

_n−1

x

n−1

+ a

_n

x

n

dove

a

₀

, . . . , a

_n

sono assegnati numeri reali

Le

funzioni razionali

sono del tipo

R(x) =

P (x)

Q(x)

(30)

Parabola

Il grafico di ogni polinomio di grado

2 f : R → R

f (x) = ax

2 + bx + c

a, b, c ∈ R, a 6= 0

(31)

Parabola

Il grafico di ogni polinomio di grado

2 f : R → R

f (x) = ax

2 + bx + c

a, b, c ∈ R, a 6= 0

rappresenta una

parabola

nel piano R

2 x

y

x

y

(32)

Parabola

Il grafico di ogni polinomio di grado

2 f : R → R

f (x) = ax

2 + bx + c

a, b, c ∈ R, a 6= 0

rappresenta una

parabola

nel piano R

2 x

y

b

V

f (−

2a

b

)

Il

vertice

V

ha coordinate

V =

₋

b

2a

, f (−

b

2a

)

(33)

Parabola

Il grafico di ogni polinomio di grado

2 f : R → R

f (x) = ax

2 + bx + c

a, b, c ∈ R, a 6= 0

rappresenta una

parabola

nel piano R

2 x

y

b

x

2

b

x

1 Il

vertice

V

ha coordinate

V =

₋

b

2a

, f (−

b

2a

)

I punti d’intersezione con l’asse

x hanno

ascissa

x

1 ,

x

2 , soluzioni dell’equazione

(34)

Potenze ad esponente intero

Un esempio di funzione razionale è la

Potenza ad esponente intero (negativo)

:

R

\ {0} → R

x 7→ x

−n

:=

1 x

n

(35)

Potenze ad esponente intero

Un esempio di funzione razionale è la

Potenza ad esponente intero (negativo)

:

R

\ {0} → R

x 7→ x

−n

:=

1 x

n

y

x

y

(36)

Iperbole equilatera

È una funzione razionale del tipo

f : R \ {−

d

_c

} → R

f (x) =

ax + b

cx + d

(37)

Iperbole equilatera

È una funzione razionale del tipo

f : R \ {−

d

_c

} → R

f (x) =

ax + b

cx + d

a, b, c, d ∈ R, c 6= 0

x

y

y =

a

_c

(38)

Iperbole equilatera

È una funzione razionale del tipo

f : R \ {−

d

_c

} → R

f (x) =

ax + b

cx + d

a, b, c, d ∈ R, c 6= 0

x

y

y =

a

_c

x

y

x = −

d

c

y =

a

_c

(39)

Iperbole equilatera

È una funzione razionale del tipo

f : R \ {−

d

_c

} → R

f (x) =

ax + b

cx + d

a, b, c, d ∈ R, c 6= 0

x

y

x = −

d

c

y =

a

_c

Gli

asintoti

dell’iperbole

hanno equazione

x = −

d

c

,

y =

a

c

(40)

Radice quadrata

Si dimostra che per ogni

y ≥ 0 esiste un’unica

solu-zione non negativa

dell’e-quazione

x

2 = y

nell’inco-gnita

x

Tale soluzione si indica con

il simbolo

√

y

x

2 y

√

y

(41)

Radice quadrata

Altrimenti detto, la funzione

[0, +∞[ → [0, +∞[

x 7→ x

2 è invertibile

x

(42)

Radice quadrata

Altrimenti detto, la funzione

[0, +∞[ → [0, +∞[

x 7→ x

2 è invertibile

L’inversa è detta

radice

quadrata

di

_x:

[0, +∞[ → [0, +∞[

x 7→

√

x

2

(43)

Radice quadrata

Altrimenti detto, la funzione

[0, +∞[ → [0, +∞[

x 7→ x

2 è invertibile

L’inversa è detta

radice

quadrata

di

_x:

[0, +∞[ → [0, +∞[

x 7→

√

x

2 simmetria

(44)

Radice quadrata

Altrimenti detto, la funzione

[0, +∞[ → [0, +∞[

x 7→ x

2 è invertibile

L’inversa è detta

radice

quadrata

di

_x:

[0, +∞[ → [0, +∞[

x 7→

√

x

2 simmetria

√

x

(45)

Radice cubica

Si dimostra che per ogni

y ∈ R esiste un’unica

solu-zione dell’equasolu-zione

x

3 = y

nell’incognita

_x

Tale soluzione si indica con

il simbolo

3 √

y

x

3 y

3 √

y

(46)

Radice cubica

Altrimenti detto, la funzione

R

→ R

x 7→ x

3 è invertibile

x

3

(47)

Radice cubica

Altrimenti detto, la funzione

R

→ R

x 7→ x

3 è invertibile

L’inversa è detta

radice

cubica

di

x:

R

→ R

x 7→

√

3 x

x

3

(48)

Radice cubica

Altrimenti detto, la funzione

R

→ R

x 7→ x

3 è invertibile

L’inversa è detta

radice

cubica

di

x:

R

→ R

x 7→

√

3 x

x

3 simmetria

(49)

Radice cubica

Altrimenti detto, la funzione

R

→ R

x 7→ x

3 è invertibile

L’inversa è detta

radice

cubica

di

x:

R

→ R

x 7→

√

3 x

x

3 simmetria

x

3 √

x

(50)

Radice n-esima

In generale, se

n è

pari

, la

funzione

[0, +∞[ → [0, +∞[

x 7→ x

n

è invertibile

x

n

(51)

Radice n-esima

In generale, se

n è

pari

, la

funzione

[0, +∞[ → [0, +∞[

x 7→ x

n

è invertibile

L’inversa è detta

radice

n-esima

di

x:

[0, +∞[ → [0, +∞[

x 7→

√

n

x

n

(52)

Radice n-esima

In generale, se

n è

pari

, la

funzione

[0, +∞[ → [0, +∞[

x 7→ x

n

è invertibile

L’inversa è detta

radice

n-esima

di

x:

[0, +∞[ → [0, +∞[

x 7→

√

n

x

n

simmetria

(53)

Radice n-esima

In generale, se

n è

pari

, la

funzione

[0, +∞[ → [0, +∞[

x 7→ x

n

è invertibile

L’inversa è detta

radice

n-esima

di

x:

[0, +∞[ → [0, +∞[

x 7→

√

n

x

n

simmetria

n

√

x

(54)

In generale, se

n ≥ 3 è

dispari

, la funzione

R

→ R

x 7→ x

n

è invertibile

x

n

(55)

In generale, se

n ≥ 3 è

dispari

, la funzione

R

→ R

x 7→ x

n

è invertibile

L’inversa è detta

radice

n-esima

di

x:

R

_{→ R}

x 7→

√

n

x

n

(56)

In generale, se

n ≥ 3 è

dispari

, la funzione

R

→ R

x 7→ x

n

è invertibile

L’inversa è detta

radice

n-esima

di

x:

R

_{→ R}

x 7→

√

n

x

n

simmetria

(57)

In generale, se

n ≥ 3 è

dispari

, la funzione

R

→ R

x 7→ x

n

è invertibile

L’inversa è detta

radice

n-esima

di

x:

R

_{→ R}

x 7→

√

n

x

n

simmetria

x

n

√

x

(58)

Confronto tra radici

n-esime

f

₁

(x) =

√

2 x

x

y

1

(59)

Confronto tra radici

n-esime

f

₁

(x) =

√

2 x

f

2 (x) =

√

4 x

x

y

1

(60)

Confronto tra radici

n-esime

f

₁

(x) =

√

2 x

f

2 (x) =

√

4 x

f

₃

(x) =

√

6 x

x

y

1

(61)

Confronto tra radici

n-esime

f

₁

(x) =

√

2 x

f

2 (x) =

√

4 x

f

₃

(x) =

√

6 x

f

₄

(x) =

√

3 x

x

y

1

1 x

y

1

1 −1

−1

(62)

Confronto tra radici

n-esime

f

₁

(x) =

√

2 x

f

2 (x) =

√

4 x

f

₃

(x) =

√

6 x

f

₄

(x) =

√

3 x

f

₅

(x) =

√

5 x

x

y

1

1 x

y

1

1 −1

(63)

Confronto tra radici

n-esime

f

₁

(x) =

√

2 x

f

2 (x) =

√

4 x

f

₃

(x) =

√

6 x

f

₄

(x) =

√

3 x

f

₅

(x) =

√

5 x

f

₆

(x) =

√

7 x

x

y

1

1 x

y

1

1 −1

−1

(64)

Potenze ad esponente reale

Siano

m ∈ Z \ {0},

n ∈ N \ {0},

x > 0

La

potenza ad esponente razionale

m/n è

(65)

Potenze ad esponente reale

Siano

m ∈ Z \ {0},

n ∈ N \ {0},

x > 0

La

potenza ad esponente razionale

m/n è

x

m

n

:= (

√

n

x)

m

È possibile infine definire la

potenza ad

esponente reale

(66)

Potenze e polinomi Esponenziali e logaritmi Funzione esponenziale Proprietà dell’esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Il valore assoluto

(67)

Funzione esponenziale

La

funzione esponenziale di base

a > 0 è

exp

_a

_{: R →]0, +∞[}

x 7→ a

x

(68)

Funzione esponenziale

La

funzione esponenziale di base

a > 0 è

exp

_a

_{: R →]0, +∞[}

x 7→ a

x

Chiameremo

funzione esponenziale

la

(69)

Funzione esponenziale

La

funzione esponenziale di base

a > 0 è

exp

_a

_{: R →]0, +∞[}

x 7→ a

x

Chiameremo

funzione esponenziale

la

funzione

exp

_e

dove “e” è il numero di Neper

y

1

(70)

Confronto tra esponenziali

f

₁

(x) = 10

x

y

(71)

Confronto tra esponenziali

f

₁

(x) = 10

x

f

₂

(x) = 5

x

y

(72)

Confronto tra esponenziali

f

₁

(x) = 10

x

f

₂

(x) = 5

x

f

₃

(x) = e

x

y

1

(73)

Confronto tra esponenziali

f

₁

(x) = 10

x

f

₂

(x) = 5

x

f

₃

(x) = e

x

f

₄

(x) = 2

x

y

1

(74)

Confronto tra esponenziali

f

₁

(x) = 10

x

f

₂

(x) = 5

x

f

₃

(x) = e

x

f

₄

(x) = 2

x

f

5 (x) = 1

x

y

1

(75)

Confronto tra esponenziali

f

₁

(x) = 10

x

f

₂

(x) = 5

x

f

₃

(x) = e

x

f

₄

(x) = 2

x

f

5 (x) = 1

x

f

₆

(x) =

1 ₂

x

y

1

(76)

Confronto tra esponenziali

f

₁

(x) = 10

x

f

₂

(x) = 5

x

f

₃

(x) = e

x

f

₄

(x) = 2

x

f

5 (x) = 1

x

f

₆

(x) =

1 ₂

x

f

₇

(x) =

1 ₅

x

y

1

(77)

Proprietà dell’esponenziale

Per ogni

x, y reali e a > 0

(78)

Proprietà dell’esponenziale

Per ogni

x, y reali e a > 0

■

a

0 = 1

■

exp

a

è crescente e biettiva se

a > 1:

(79)

Proprietà dell’esponenziale

Per ogni

x, y reali e a > 0

■

a

0 = 1

■

exp

a

è crescente e biettiva se

a > 1:

x < y

_{⇐⇒ a}

x

< a

y

■

exp

a

è decrescente e biettiva se

0 < a < 1:

x < y

_{⇐⇒ a}

x

> a

y

(80)

Proprietà dell’esponenziale

Per ogni

x, y reali e a > 0

■

a

0 = 1

■

exp

a

è crescente e biettiva se

a > 1:

x < y

_{⇐⇒ a}

x

< a

y

■

exp

a

è decrescente e biettiva se

0 < a < 1:

x < y

_{⇐⇒ a}

x

> a

y

■

a

x

a

y

= a

x+y

(prodotto)

(81)

Proprietà dell’esponenziale

Per ogni

x, y reali e a > 0

■

a

0 = 1

■

exp

a

è crescente e biettiva se

a > 1:

x < y

_{⇐⇒ a}

x

< a

y

■

exp

a

è decrescente e biettiva se

0 < a < 1:

x < y

_{⇐⇒ a}

x

> a

y

■

a

x

a

y

= a

x+y

(prodotto)

■

(a

x

)

y

= a

xy

(composizione)

(82)

Proprietà dell’esponenziale

Per ogni

x, y reali e a > 0

■

a

0 = 1

■

exp

a

è crescente e biettiva se

a > 1:

x < y

_{⇐⇒ a}

x

< a

y

■

exp

a

è decrescente e biettiva se

0 < a < 1:

x < y

_{⇐⇒ a}

x

> a

y

■

a

x

a

y

= a

x+y

(prodotto)

■

(a

x

)

y

= a

xy

(composizione)

(83)

Funzione logaritmica

Sia

a > 0, a 6= 1

Si dimostra che per ogni

y > 0 esiste un’unica

soluzione dell’equazione

a

x

= y

Tale soluzione si indica con il simbolo

log

_a

y

(84)

Funzione logaritmica

Sia

a > 0, a 6= 1. L’inversa di exp

_a

log

_a

_{: ]0, +∞[→ R}

(85)

Funzione logaritmica

Sia

a > 0, a 6= 1. L’inversa di exp

_a

log

_a

_{: ]0, +∞[→ R}

è detta

logaritmo in base

a

Il

logaritmo naturale

è

log

_e

e lo indicheremo

(86)

Funzione logaritmica

Sia

a > 0, a 6= 1. L’inversa di exp

_a

log

_a

_{: ]0, +∞[→ R}

è detta

logaritmo in base

a

Il

logaritmo naturale

è

log

_e

e lo indicheremo

con

log

oppure

ln

y

(87)

Funzione logaritmica

Sia

a > 0, a 6= 1. L’inversa di exp

_a

log

_a

_{: ]0, +∞[→ R}

è detta

logaritmo in base

a

Il

logaritmo naturale

è

log

_e

e lo indicheremo

con

log

oppure

ln

y

1

(88)

Funzione logaritmica

Sia

a > 0, a 6= 1. L’inversa di exp

_a

log

_a

_{: ]0, +∞[→ R}

è detta

logaritmo in base

a

Il

logaritmo naturale

è

log

_e

e lo indicheremo

con

log

oppure

ln

y

1 simmetria

x

y

1

(89)

Funzione logaritmica

Sia

a > 0, a 6= 1. L’inversa di exp

_a

log

_a

_{: ]0, +∞[→ R}

è detta

logaritmo in base

a

Il

logaritmo naturale

è

log

_e

e lo indicheremo

con

log

oppure

ln

y

(90)

Funzione logaritmica

Sia

a > 0, a 6= 1. L’inversa di exp

_a

log

_a

_{: ]0, +∞[→ R}

è detta

logaritmo in base

a

Il

logaritmo naturale

è

log

_e

e lo indicheremo

con

log

oppure

ln

y

1

(91)

Funzione logaritmica

Sia

a > 0, a 6= 1. L’inversa di exp

_a

log

_a

_{: ]0, +∞[→ R}

è detta

logaritmo in base

a

Il

logaritmo naturale

è

log

_e

e lo indicheremo

con

log

oppure

ln

y

1 simmetria

x

y

1

(92)

Confronto tra logaritmi

f

1 (x) = log

₁₀

x

y

(93)

Confronto tra logaritmi

f

1 (x) = log

₁₀

x

f

₂

(x) = log

₅

x

y

(94)

Confronto tra logaritmi

f

1 (x) = log

₁₀

x

f

₂

(x) = log

₅

x

f

₃

(x) = ln x

x

y

1

(95)

Confronto tra logaritmi

f

1 (x) = log

₁₀

x

f

₂

(x) = log

₅

x

f

₃

(x) = ln x

f

4 (x) = log

₂

x

y

1

(96)

Confronto tra logaritmi

f

1 (x) = log

₁₀

x

f

₂

(x) = log

₅

x

f

₃

(x) = ln x

f

4 (x) = log

₂

x

f

₅

(x) = log

_1/2

x

y

1

(97)

Confronto tra logaritmi

f

1 (x) = log

₁₀

x

f

₂

(x) = log

₅

x

f

₃

(x) = ln x

f

4 (x) = log

₂

x

f

₅

(x) = log

_1/2

x

f

₆

(x) = log

_1/5

x

y

1

(98)

Proprietà del logaritmo

Per ogni

x > 0, y ∈ R

■

log

(99)

Proprietà del logaritmo

Per ogni

x > 0, y ∈ R

■

log

a

x = y

⇐⇒ x = a

y

■

log

(100)

Proprietà del logaritmo

Per ogni

x > 0, y ∈ R

■

log

a

x = y

⇐⇒ x = a

y

■

log

a

x

= x per ogni x ∈ R

(101)

Proprietà del logaritmo

Per ogni

x > 0, y ∈ R

■

log

a

x = y

⇐⇒ x = a

y

■

log

a

x

= x per ogni x ∈ R

■

a

log

a

x

= x per ogni x > 0

■

log

(102)

Proprietà del logaritmo

Per ogni

x > 0, y ∈ R

■

log

a

x = y

⇐⇒ x = a

y

■

log

a

x

= x per ogni x ∈ R

■

a

log

a

x

= x per ogni x > 0

■

log

a

1 = 0,

log

a

a = 1

■

log

a

è crescente e biettiva se

a > 1: