Funzioni trigonometriche ed iperboliche

(1)

Formulario

Fabio Bagarello

DEIM,

Scuola Politecnica dell’Universit`a di Palermo.

pagina web: www1.unipa.it/fabio.bagarello e-mail: fabio.bagarello@unipa.it

(2)

2

Questo documento `e libero: pu`o essere ridistribuito e modificato liberamente. [7 gennaio 2018]

(3)

Indice

1 Funzioni trigonometriche ed iperboliche 1

1.1 formule trigonometriche . . . 1

1.2 sulle funzioni iperboliche . . . 3

2 Serie, sviluppi e somme 5 2.1 sviluppi in serie di Taylor . . . 5

2.2 somme di serie . . . 6

2.3 somme finite . . . 8

3 Equazioni diﬀerenziali 9 3.1 funzioni speciali . . . 9

3.2 alcune equazioni diﬀerenziali ordinarie: cenni . . . 12

3.3 equazioni diﬀerenziali della fisica . . . 13

4 Integrali, limiti e derivate 15 4.1 integrali indefiniti . . . 15

4.2 integrali definiti . . . 17

4.3 trasformate di Fourier . . . 20

4.4 trasformata di Laplace . . . 20

4.5 derivate . . . 21

4.6 limiti . . . 22

5 formulette varie 23 5.1 equazione del secondo grado . . . 23

5.2 equazione del terzo grado x³+ a1x²+ a2x + a3= 0 . . . 23

5.3 decomposizione in fattori di polinomi particolari . . . 23

5.4 regola della mano destra . . . 23

5.5 Minimi e massimi per funzioni di 2 variabili . . . 24

5.6 poche regole sulla δ di Dirac . . . . 24

5.7 disequazioni del secondo grado . . . 25 3

(4)

4 INDICE

5.8 disequazioni di grado n . . . . 25

5.9 propriet`a del determinante e della traccia . . . 25

5.10 inverso di una matrice . . . 26

5.11 diagonalizzazione di una matrice arbitraria . . . 26

5.12 teoremi di Gauss, Stokes e Green . . . 27

5.13 propriet`a degli esponenziali . . . 27

5.14 propriet`a dei logaritmi . . . 27

5.15 cambio di variabili nell’integrale . . . 27

5.16 cambio di variabile nella derivazione . . . 28

5.17 sviluppo di Taylor per funzioni di pi`u variabili . . . 28

6 Geometria analitica e sistemi di coordinate 31 6.1 spazioR² . . . 31

6.2 spazioR³ . . . 32

6.3 coordinate cartesiane (x, y, z) . . . . 34

6.4 coordinate sferiche (r, θ, φ) . . . . 35

6.5 coordinate cilindriche (r, θ, z) . . . . 35

6.6 coordinate paraboliche (ξ, η, φ) . . . . 36

6.7 elementi di volume e di superficie . . . 36

7 Fisica classica 39 7.1 termodinamica . . . 39

7.2 momenti di inerzia . . . 39

8 Gruppi classici 43 8.1 definizione . . . 43

8.2 esempi discreti . . . 43

8.3 esempi continui . . . 44

9 Uguaglianze vettoriali, tensoriali ed operatoriali 47 9.1 Vettori inRⁿ . . . 47

9.2 Spazi vettoriali lineari . . . 49

9.3 Operatori . . . 49

9.4 informazioni topologiche . . . 54

10 Disuguaglianze 55 10.1 disuguaglianze numeriche . . . 55

10.2 vettori . . . 56

10.3 operatori . . . 57

10.4 funzioni . . . 58

(5)

INDICE 5

11 Meccanica quantistica 59

11.1 operatori bosonici . . . 59

11.2 operatori quonici . . . 61

11.3 altri operatori quonici . . . 61

11.4 regole di commutazione chiuse . . . 62

11.5 sulle rappresentazioni posizione e momento . . . 62

11.6 diverse rappresentazioni . . . 63

11.7 matrici di Pauli . . . 64

11.8 stati coerenti . . . 65

11.9 oscillatore armonico . . . 66

12 Analisi funzionale 67 12.1 Spazi a dimensione finita . . . 67

12.2 Spazi a dimensione infinita . . . 68

12.3 formule funzionali . . . 69

12.4 spaziL^p . . . 69

13 Informazioni teoriche sparse 71 13.1 Analisi matematica . . . 71

13.1.1 scambio di limiti . . . 71

13.1.2 scambio di limite e derivata . . . 71

13.1.3 scambio di limite ed integrale . . . 71

13.1.4 scambio di limite e serie . . . 72

13.1.5 scambio di derivate . . . 72

13.1.6 scambio di derivata ed integrale . . . 72

13.1.7 scambio di derivata e serie . . . 73

13.1.8 scambio di integrali . . . 73

13.1.9 scambio di integrale e serie . . . 73

13.1.10 scambio di due serie . . . 73

(6)

6 INDICE

(7)

Capitolo 1

Funzioni trigonometriche ed iperboliche

1.1 formule trigonometriche

1.

sin(x± y) = sin(x) cos(y) ± cos(x) sin(y) 2.

cos(x± y) = cos(x) cos(y) ∓ sin(x) sin(y) 3.

tan(x± y) = tan(x)± tan(y) 1∓ tan(x) tan(y) 4.

cos²(x) + sin²(x) = 1 5.

sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) 6.

cos(2x) = cos²(x)− sin²(x) = 2 cos²(x)− 1 = 1 − 2 sin²(x) 7.

sin(x) = 1 2i

(e^ix− e^−ix)

, cos(x) = 1 2

(e^ix+ e^−ix)

8.

e^±ix = cos(x)± i sin(x)

1

(8)

2 CAPITOLO 1. FUNZIONI TRIGONOMETRICHE ED IPERBOLICHE 9.

sin(x)± sin(y) = 2 sin (x± y

2 )

cos (x∓ y

2 )

10.

cos(x) + cos(y) = 2 cos (x− y

2 )

cos (x + y

2 )

11.

cos(x)− cos(y) = −2 sin (x + y

2 )

sin (x− y

2 )

12.

tan(x)± tan(y) = sin(x± y)

cos(x) cos(y), cot(x)± cot(y) = ± sin(x± y) sin(x) sin(y) 13.

1 + tan²(x) = 1

cos²(x) = sec²(x), 1 + cot²(x) = 1

sin²(x) = csc²(x) 14.

cot(x± y) = cot(x) cot(y)∓ 1 cot(y)± cot(x) 15.

tan(2x) = 2 tan(x)

1− tan²(x), cot(2x) = cot²(x)− 1 2 cot(x) 16.

sin(3x) = 3 sin(x)− 4 sin³(x), cos(3x) = 4 cos³(x)− 3 cos(x) 17.

tan(3x) = 3 tan(x)− tan³(x)

1− 3 tan²(x) , cot(3x) = cot³(x)− 3 cot(x) 3 cot²(x)− 1 18.

sin (x

2 )

=±

√1− cos(x)

2 , cos

(x 2 )

=±

√1 + cos(x) 2 19.

tan (x

2 )

=±

√

1− cos(x) 1 + cos(x), cot

(x 2 )

=±

√

1 + cos(x) 1− cos(x) 20.

sin(x) sin(y) = 1

2(cos(x− y) − cos(x + y)) 21.

sin(x) cos(y) = 1

2(sin(x + y) + sin(x− y)) 22.

cos(x) cos(y) = 1

2(cos(x + y) + cos(x− y))

(9)

1.2. SULLE FUNZIONI IPERBOLICHE 3 23.

sin(x) = 2 tan(x/2)

1 + tan²(x/2), cos(x) =1− tan²(x/2) 1 + tan²(x/2) 24.

tan⁻¹(x) + cot⁻¹(x) = arcsin(x) + arccos(x) = sec⁻¹(x) + csc⁻¹(x) = π 2

25. Valori particolari del seno e del coseno

x sin(x) cos(x)

π

12 0.26 0.965

π 6

1 2

√3 2 π

4

√2 2

√2 2 π

3

√3 2

1 2 5π

12 0.965 0.26

1.2 sulle funzioni iperboliche

1.

sinh(x) = e^x− e^−x

2 , cosh(x) = e^x+ e^−x 2 2.

cosh²(x)− sinh²(x) = 1 3.

sinh(x± y) = sinh(x) cosh(y) ± cosh(x) sinh(y) 4.

cosh(x± y) = cosh(x) cosh(y) ± sinh(x) sinh(y) 5.

tanh(x± y) = tanh(x)± tanh(y) 1± tanh(x) tanh(y) 6.

sinh(2x) = 2 sinh(x) cosh(x) 7.

cosh(2x) = 2 cosh²(x)− 1 = cosh²(x) + sinh²(x)

8. tanh(2x)

1 +

√

1− tanh²(2x)

= tanh(x)

(10)

4 CAPITOLO 1. FUNZIONI TRIGONOMETRICHE ED IPERBOLICHE 9.

sin(ix) = i sinh(x), cos(ix) = cosh(x) 10.

tan(ix) = i tanh(x), sinh(ix) = i sin(x) 11.

cosh(ix) = cos(x), tanh(ix) = i tan(x)

(11)

Capitolo 2

Serie, sviluppi e somme

2.1 sviluppi in serie di Taylor

1.

sin(x) = x−x³ 3! +x⁵

5! − · · · =∑^∞

k=0

(−1)^k x^2k+1 (2k + 1)!

2.

cos(x) = 1−x² 2! +x⁴

4! − · · · =∑^∞

k=0

(−1)^k x^2k (2k)!

3.

log(1 + x) = x−x² 2 +x³

3 − · · · =

∑∞ k=1

(−1)^k⁻¹x^k k 4.

e^x= 1 + x +x² 2! +x³

3! +· · · =∑^∞

k=0

x^k k!

5.

(1 + x)ⁿ = 1 + nx +n(n− 1)

2! x²+· · · =

∑n k=0

( n k

) x^k

dove (

n k

)

=_(n_−k)!k!^n!

6.

(x + y)ⁿ= (

n 0

) xⁿ+

( n 1

)

xⁿ⁻¹y +· · · (

n n− 1

)

x yⁿ⁻¹+ (

n n

) yⁿ 7.

cosh(x) =

∑∞ k=0

x^2k (2k)!

5

(12)

6 CAPITOLO 2. SERIE, SVILUPPI E SOMME 8.

sinh(x) =

∑∞ k=0

x^2k+1 (2k + 1)!

9.

1 1 + x² =

∑∞ k=0

(−1)^kx^2k

10.

√ 1

1− x² =

∑∞ k=0

( −1/2 k

) (−x²)^k

dove (

α k

)

= ^α(α−1)···(α−k+1)

k! , con

( α 0

)

= 1 11.

arctan(x) =

∑∞ k=0

(−1)^k x^2k+1 2k + 1 12.

1 1− x =

∑∞ k=0

x^k, |x| < 1

13.

x (1− x)² =

∑∞ k=0

k x^k=

∑∞ k=1

k x^k, |x| < 1

14.

log

( 1

1− x) )

=

∑∞ k=1

x^k

k , |x| < 1, x reale 15.

e^ikz=

∑∞ l=0

i^l(2l + 1)jl(kr)Pl(cos(θ)), in cui jl`e la funzione di Bessell e z = r cos(θ)

2.2 somme di serie

1. ∑∞

n=1

n n! = e

2. ∑∞

n=1

n² n! = 2e

(13)

2.2. SOMME DI SERIE 7

3. ∑∞

n=1

1 n² =π²

6

4. ∑∞

n=1

1 n⁴ =π⁴

90

5. ∑∞

n=1

1 n⁶ = π⁶

945

6. ∑∞

n=1

n n! = e

7. ∑∞

n=0

qⁿ= 1

1− q, |q| < 1

8. ∑∞

n=1

(−1)ⁿ⁺¹1

n = log(2)

9. ∑∞

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ 1

2n− 1 = π 4

10. ∑∞

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ 1 n² =π²

12

11. ∑∞

n=1

1

(2n− 1)² = π² 8

12. ∑∞

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ 1

(2n− 1)³ =π³ 32

13. ∑∞

n=1

1

(2n− 1)⁴ = π⁴ 96

14. ∑∞

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ 1

(2n− 1)⁵ = 5π⁵ 1536

(14)

8 CAPITOLO 2. SERIE, SVILUPPI E SOMME

15. ∑∞

n=1

1

n(4n²− 1) = 2 log(2)− 1

16. ∑∞

n=1

1

n(9n²− 1) = 3

2(log(3)− 1)

17. ∑∞

n=1

1

4n²− 1 = 1 2

18. ∑∞

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ 1

n⁴ =7π⁴ 720

19. ∑∞

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ 1

n⁶ = 31π⁶ 30240

2.3 somme finite

1. ∑n

k=1

k = n(n + 1) 2

2. ∑n

k=1

k²=n(n + 1)(n + 2) 6

3. ∑n

k=1

k³=

(n(n + 1) 2

)2

4. ∑n

k=1

q^k⁻¹=qⁿ− 1

q− 1 , q̸= 1 5.

1 + 2

∑n k=1

cos(k θ) =sin(_2n+1

2 θ) sin(_θ

2

)

per θ̸= 2mπ, m ∈ Z

6. ∑n

k=1

sin((2k + 1)θ) = sin²((k + 1)θ) sin(θ) per θ̸= mπ, m ∈ Z

(15)

Capitolo 3

Equazioni diﬀerenziali

3.1 funzioni speciali

1. funzioni confluenti ipergeometriche zd²f

dz² + (c− z)df

dz − af = 0,

e la soluzione `e f (a, c, z) = 1 +^a_c _1!^z +^a(a+1)_c(c+1) ^z_2!²+· · · , con c ̸= 0, −1, −2, . . . e converge

∀ z.

2. funzioni ipergeometriche

x(1− x)y^′′+ [c− (a + b + 1)x]y^′− aby = 0 e la soluzione `e

y(x) = 1 +ab c

x

1!+a(a + 1)b(b + 1) c(c + 1)

x² 2! + . . . con c̸= 0, −1, −2, . . .. La serie converge per |x| < 1.

3. equazione di Whittaker d²W

dz² + (

−1 4+k

z +1/4− µ² z²

)

W = 0, e la soluzione `e

Wk,µ(z) = z^ke^−z/2 Γ(₁

2− k + µ) ∫ _∞

0

t^−k−¹²^+µ (

1 + t z

)k−¹₂+µ

e^−tdt

4. Polinomi di Hermite

d²Hn(x)

dx² − 2xdHn(x)

dx + 2nHn(x) = 0 9

(16)

10 CAPITOLO 3. EQUAZIONI DIFFERENZIALI e la soluzione `e

Hn(x) = (−1)ⁿe^x²^/2 dⁿ dxⁿe^−x²^/2

Valgono le Hn+1(x) = 2xHn(x)− 2nHn−1(x), H_n^′(x) = 2nHn−1(x).

5. funzioni di Bessel

d²Jp

dz² +1 z

dJp

dz + (

1−p² z²

) J_p= 0 e la soluzione `e

Jp(z) =

∑∞ k=0

(−1)^k k! Γ(k + p + 1)

(z 2

)p+2k

. Se poi p `e intero si definisce una funzione di Neumann tramite la

N_p(z) = 1

sin(pπ)(J_p(z) cos(pπ)− Jp(z)) , e la funzione di Hankel

H_p⁽¹⁾(z) = Jp(z) + iNp(z), H_p⁽²⁾(z) = Jp(z)− iNp(z) Abbiamo ancora

Jn(x) = 1 π

∫ π 0

cos(nθ− x sin(θ)) dθ, n = 0, 1, 2, . . . ed in particolare

J0(x) = 1 2π

∫ 2π 0

exp(ix sin(θ)) dθ = 1 2π

∫ 2π 0

exp(ix cos(θ)) dθ

6. funzioni di Bessel modificate d²I_p

dz² +1 z

dI_p dz −

( 1 + p²

z² )

I_p= 0 e la soluzione `e

Ip(z) = Jp(z)e^−ip^π² =

∑∞ k=0

(z/2)^p+2k k! Γ(p + k + 1) Inoltre In= I_−n.

7. funzione Γ

Γ(z) = lim

n,∞

1 2 3· · · n

z(z + 1)· · · (z + n)n^z= 2

∫ _∞

0

e^−t²t^2z⁻¹dt seℜ(z) > 0. Ancora

Γ(z) =

∫ 1 0

( log

(1 t

))z−1

dt =

∫ _∞

0

dt e^−tt^z⁻¹

(17)

3.1. FUNZIONI SPECIALI 11 Valgono le

Γ(z + 1) = zΓ(z),

Γ(1) = 1, Γ(2) = 1, Γ(2) = 2, Γ(n) = (n− 1)!, Γ (1

2 )

=√ π Inoltre

Γ(ϵ) =1

ϵ − γ + O(ϵ), Γ(ϵ − 1) = −1

ϵ + γ− 1 + O(ϵ) Γ(2z) = 1

√π2^2z⁻¹Γ(z) Γ(z + 1/2) Abbiamo poi la formula di Stirling:

Γ(z + 1)≃√

2π e^−zz^z+1/2, Γ(n + 1) = n!≃√

2π e⁻ⁿn^n+1/2 (

1 + 1 12n

)

8. funzione Beta

B(m + 1, n + 1) = B(n + 1, m + 1) = m!n!

(m + n + 1)!= 2

∫ π/2 0

cos^2m+1(θ) sin²ⁿ⁺¹(θ) dθ ovvero ancora

B(m + 1, n + 1) =

∫ _∞

0

u^mdu (1 + u)^n+m+2 =

∫ 1 0

t^m(1− t)ⁿdt = 1 2

∫ 1 0

t^2m+1(1− t²)ⁿdt Si ha poi

B(p, q) = Γ(p)Γ(q) Γ(p + q) 9. funzioni di Legendre

(1− x²)P_n^′′(x)− 2xPn^′(x) + n(n + 1)Pn(x) = 0 e la soluzione `e

Pn(x) =

[n/2]∑

k=0

(−1)^k (2n− 2k)!xⁿ^−2k 2ⁿk!(n− k)!(n − 2k)!

che esplicitamente `e:

P0= 1, P1= x, P2= 1

2(3x²− 1), P3= 1

5(5x³− 3x) P₄=1

8(35x⁴− 30x²+ 3), P_n(x) = 1 2ⁿn!

dⁿ

dxⁿ(x²− 1)ⁿ 10. funzioni associate di Legendre

(1− x²)v^′′− 2xv^′+ [

n(n + 1)− m² 1− x²

] v = 0 con

v(x) = (1− x²)^m/2 d^m

dx^mPn(x) = P_n^m(x)

P₁¹= (1− x²)^1/2= sin(θ), P₂¹= 3x(1− x²)^1/2= 3 cos(θ) sin(θ), P₂²= 3(1− x²) = 3 sin²(θ)

(18)

12 CAPITOLO 3. EQUAZIONI DIFFERENZIALI

11. funzioni di Laguerre

xy^′′(x) + (1− x)y^′(x) + ny(x) = 0 con

yn(x) = 1 2πi

I e^{−xz/(1−z)}

(1− z)zⁿ⁺¹dz = Ln(z) = e^x n!

dⁿ

dxⁿ(xⁿe^−x) per n∈ N0. Ad esempio si ha

L0= 1, L1=−x + 1, L2= x²− 4x + 2, L3=−x³+ 9x²− 18x + 6, . . . 12. polinomi di Chebichev del I tipo

(1− x²)T_n^′′(x)− xTn^′(x) + n²Tn(x) = 0, e si ha

T_n(x) = n 2

[n/2]∑

m=0

(−1)^m(n− m − 1)!

m!(n− 2m)!(2x)ⁿ^−2m 13. polinomi di Chebichev del II tipo

(1− x²)U_n^′′(x)− 3xUn^′(x) + n(n + 2)Un(x) = 0, e si ha

Un(x) =

[n/2]∑

m=0

(−1)^m (n− m)!

m!(n− 2m)!(2x)ⁿ^−2m

3.2 alcune equazioni diﬀerenziali ordinarie: cenni

1.

y^′(x) = f (x)g(y),

∫ dy g(y) =

∫

f (x)dx se g(x0)̸= 0.

2.

y^′(x) = f (ax + by) col cambio di variabile u = ax + by diventa

u^′= a + bf (u) 3.

y^′(x) = f (y

x )

col cambio di variabile u = y/x si ottiene

u^′= f (u)− u x

(19)

3.3. EQUAZIONI DIFFERENZIALI DELLA FISICA 13 4.

y^′(x) = f

( ax + by + c a^′x + b^′y + c^′

)

con ab^′− ba^′ ̸= 0 e c, c^′ ̸= 0 col cambio di variabile x = ξ + α, y = η + β, con (α, β) punto d’intersezione delle rette ax + by + c = 0 e a^′x + b^′y + c^′ = 0 si ottiene

dη dξ = f

( a + bη/ξ a^′+ b^′η/ξ

)

5.

y^′(x) = α(x)y(x) + β(x) ⇒ y(x) = e^∫^α(x)dx [

c +

∫

dxβ(x)e⁻

∫α(x)dx

]

6.

y^′(x) = α(x)y(x) + β(x)yⁿ(x) che col cambio di variabile u = y¹⁻ⁿ diventa

u^′= (1− n)(α(x)u + β(x))

3.3 equazioni diﬀerenziali della fisica

1. equazioni di Maxwell: forma diﬀerenziale

∇ ∧ ⃗⃗ E =−1 c

∂H

∂t , ∇ · ⃗⃗ H = 0

∇ ∧ ⃗⃗ H = 1 c

∂E

∂t +4π

c ⃗j, ∇ · ⃗⃗ E = 4πρ 2. equazioni di Maxwell: forma integrale

I

E⃗ · ⃗dl = −1 c

∂

∂t

∫

H⃗ · ⃗dσ, I

H⃗ · ⃗dσ = 0 I

H⃗ · ⃗dl =1 c

∂

∂t

∫

E⃗ · ⃗dσ +4π c I,

I

E⃗ · ⃗dσ = 4πe 3. equazioni di Maxwell: scelta di gauge

H = ⃗⃗ ∇ ∧ ⃗A, E =⃗ −1 c

∂ ⃗A

∂t − ⃗∇φ in cui ⃗A e φ sono i potenziali vettore e scalare.

La gauge di Lorentz `e

∇ · ⃗⃗ A +1 c

∂φ

∂t = 0 La gauge di Coulomb `e

∇ · ⃗⃗ A = 0

(20)

14 CAPITOLO 3. EQUAZIONI DIFFERENZIALI 4. equazioni di Heisemberg

˙ q_i=∂H

∂p_i, p˙_i=−∂H

∂q_i, ∂L

∂t =−∂H

∂t per i = 1, 2, . . . , n, n essendo i gradi di libert`a del sistema.

5. equazioni di Lagrange

d dt

(∂L

∂ ˙qi

)

− ∂L

∂qi

= 0, per i = 1, 2, . . . , n, n essendo i gradi di libert`a del sistema.

6. equazione di Scr¨odinger

~ i

∂Ψ

∂t + HΨ = 0 7. equazione di Heisenberg

dA(t) dt = i

~[H, A(t)]

8. equazione di Klein-Gordon

( − k²)Φ = 0 in cui = ∇²−_c¹2

∂²

∂t² e k = ^mc_~ . 9. equazione di Dirac: forma 1

~ i

∂Φ

∂t + HΦ = 0, H = c~ i

∑3 k=1

αk

∂

∂x_k + βmc², con α²_i = β²= 1, {αi, α_j} = 2δij e{αj, β} = 0.

10. equazione di Dirac: forma 2

(γµ∂µ+ k) Φ = 0, γk =−iβαk, γ4= β e{γµ, γν} = δµ,ν

(21)

Capitolo 4

Integrali, limiti e derivate

4.1 integrali indefiniti

1. ∫

x^mdx = x^m+1

m + 1, m̸= −1, m ∈ R

2. ∫

sin(x) dx =− cos(x),

∫

cos(x) dx = sin(x)

3. ∫

dx

1 + x² = arctan(x)

4. ∫

√ dx

1− x² = arcsin(x)

5. ∫

dx x√

x²− 1 = arcsec(x)

6. ∫

dx

x = log|x|,

∫ f^′(x) dx

f (x) = log|f(x)|

7. ∫

a^xdx = a^x log(a)

8. ∫

√x dx

ax + b = 2(ax− 2b) 3a²

√ax + b

9. ∫

dx sin(ax) = 1

a logtan(ax 2

) 15

(22)

16 CAPITOLO 4. INTEGRALI, LIMITI E DERIVATE

10. ∫

dx

sin²(x) =− cot(x)

11. ∫

dx

cos²(x) = tan(x)

12. ∫

dx

1± sin(ax) = 1 a tan

(ax 2 ∓π

4 )

13. ∫

dx cos(ax) =1

a logtan(ax 2 +π

4 )

14. ∫

log(x)dx

x² =−log(x) x − 1

x

15. ∫

log(x) dx = x log(x)− x

16. ∫

tan(x) dx = log| sec(x)|

17. ∫

cot(x) dx = log| sin(x)|

18. ∫

sec(x) dx = log| sec(x) + tan(x)|

19. ∫

csc(x) dx = log| csc(x) − cot(x)|

20. ∫

√ dx

a²− x² = arcsin (x

a )

21. ∫

√ dx

a²+ x² = sinh⁻¹ (x

a )

= log(x +√

x²+ a²)

22. ∫

√ dx

x²− a² = log|x +√

x²− a²|

23. ∫

dx

a²+ b²x² = 1

ab arctan (bx

a )

24. ∫

dx

a²− b²x² = 1 2ab log

a + bx a− bx

(23)

4.2. INTEGRALI DEFINITI 17

4.2 integrali definiti

1. ∫ _∞

0

e^−q²^x²dx =

√π

2q, q > 0

2. ∫ _∞

−∞

e^−q²^x²^±axdx =

√π

q e^4q2^a2, q > 0

3. ∫ _∞

0

x²ⁿe^{−p x}²dx =

√π p

(2n− 1)!!

2(2p)ⁿ , p > 0, n > 1 in cui (2n)!! = 2 4 6· · · (2n) e (2n + 1)!! = 1 3 5 · · · (2n + 1)

4. ∫ _∞

−∞

e^±ix²dx = (1± i)

√π 2

5. ∫ _∞

−∞

e^i(xa+x²^b)dx = (1 + i)

√π 2be⁻ⁱ^4b2^a2

6. ∫ _∞

−∞

e^ibpe⁻^p2^a dp =√

aπ e⁻^ab2⁴

7. ∫ a

0

cos²(x) dx = [x

2 +1

2sin(x) + cos(x) ]a

0

8. ∫ a

0

x² cos²(x) dx = [x³

6 +x

4cos(2x) +1 4

( x²−1

2 )

sin(2x) ]a

0

9. ∫ a

0

x²sin²(x) dx = [x³

6 −x

4cos(2x)−1 4

( x²−1

2 )

sin(2x) ]a

0

10. ∫

R

e^−x²Hn(x) Hm(x) dx =√

π 2^mm!δm,n

11. ∫ _∞

0

cos(bx) e^−ax²dx = 1 2

√π ae⁻^b2^4a

12. ∫ π

0

(sin(x))^2l+1dx = 2^2l+1 (l!)² (2l + 1)!

(24)

13. ∫ π/2

0

(sin(x))^2l⁻¹ dx = 2^2(l⁻¹⁾[(l− 1)!]² (2l− 1)!

per l = 1, 2, 3, . . .

14. ∫ _∞

0

e^−axx³dx = 6 a⁴

15. ∫ _∞

0

e^−axxⁿdx = n!

aⁿ⁺¹ 16. parametrizzazione di Feynman

1 AB =

∫ 1 0

dx [Ax + B(1− x)]² 17. ancora parametrizzazione di Feynman

1 ABC = 2

∫ 1 0

dx

∫ x 0

dy 1

[A + (B− A)x + (C − B)y]³

18. ∫ 1

0

. . .

∫ 1 0

dx₁· · · dxn

δ(1−∑n j=1xj)

(x₁A₁+· · · xnA_n)ⁿ = 1 (n− 1)!

1 A₁A₂. . . A_n 19.

∫ 1 0

. . .

∫ 1 0

dx1· · · dxnx^α₁¹⁻¹· · · x^αnⁿ⁻¹

δ(1− x)

(x1A1+· · · xnAn)^α =

∏n

j=1Γ(α_j) Γ(α)

1 A^α₁¹A^α₂². . . A^αnⁿ

dove x =∑n

j=1xj ed α =∑n

j=1αj. Ad esempio si ha 1

A^αB^β = Γ(α + β) Γ(α)Γ(β)

∫ 1 0

dx dy x^α⁻¹y^β⁻¹

(xA + yB)^α+βδ(1− x − y)

20. ∫

R

e^ax²^+bxdx =

√ π

−ae⁻^4a^b2, a < 0

21. ∫

R

e^ax²dx =

√ π

−a, a < 0

22. ∫

R

e^a(x¹^−x)²^+b(x²^−x)²dx =

√ −π a + bexp

{ ab

a + b(x₁− x2)² }

23. ∫

R

e⁻^x2^a^−bx²dx =

√π 4be⁻²

√ab

(25)

4.2. INTEGRALI DEFINITI 19

24. ∫ T

0

e⁻^T−t^a ⁻^b^t dt

√(T− t)t³ =

√ π bT exp

{

−1 T(√

a +√ b)²

}

25. ∫ π/2

0

e^{−q sin(x)}sin(2x) dx = 2

q²[(q− 1)e^q+ 1]

26. ∫ π

0

e^{p cos(x)} sin(p sin(x)) sin(ax)dx = π p^a 2a!

27. ∫ π

0

e^{p cos(x)} cos(p sin(x)) cos(ax)dx = π p^a 2a!

28. ∫ _∞

0

e^−λx^mx^kdx = 1

mλ^−(k+1)/mΓ (k + 1

m )

29. ∫

d^DP 1

(P²+ K)^a = π^D/2 (a− 1)!

Γ(a− D/2) K^a^−D/2

30. ∫

d^DP P²e^−αP²= D

2 π^D/2α^−D/2−1

31. ∫

d^DP P²

(P²+ K)² = K^D/2⁻¹D π^D/2 2

Γ(2− D/2) 1− D/2

32. ∫

d^DP P²

(P²+ K)^a = K^D/2+1^−a D π^D/2 2(a− 1)!

Γ(a− D/2) a− D/2 − 1

33. ∫

R

e^ipx^−p²^/αdx =√

πα e^−αx²^/4

34. ∫

R

e^ipx dx x²+ a² = π

ae^−a|p|, a > 0, p∈ R

35. ∫ _∞

0

x²ⁿ⁺¹e^−px²dx = n!

2pⁿ⁺¹, p > 0

36. ∫

R

xⁿe^−px²^+2qxdx = 1 2ⁿ⁻¹p

√π p

dⁿ⁻¹

dqⁿ⁻¹(qe^q²^/p), p > 0

37. ∫

R

(A + Bx + Cx²+ Dx³+ Ex⁴) e^−x²^+qxdx =

=√ π e^q²^/4

( A +C

2 +3E 4 + q

(B 2 +3D

4 )

+ q² (C

4 +3E 4

) + q³D

8 + q⁴E 16

)

(26)

4.3 trasformate di Fourier

Usiamo qui la definizione seguente:

f (p) =ˆ 1

√2π

∫

R

f (x) e^−ipxdx, f (x) = 1

√2π

∫

R

f (p) eˆ ^ipxdp

f (x) f (p)ˆ

1 √

2π δ(p)

1

x −i√_π

2sign(p)

δ(x) √¹

2π

|x|⁻¹ |p|⁻¹

|x|^−a,ℜ(a) ∈]0, 1[ √

2 π

Γ(1−a) sin(^aπ2)

|p|^1−a

e^iax, a∈ R √

2πδ(p− a)

e^−a|x|, a > 0 a

√2 π

1 p²+a²

x e^−a|x|, a > 0 −2aip√

2 π

1 (p²+a²)²

|x| e^−a|x|, a > 0

√2 π

a²−p² p²+a² e^{−a x}

|x|^1/2 √ 1

p²+a²

√ a²+√

a²+ p²

e^−a²^x² ¹

a√

2e^−p²^/4a² (a²+ x²)⁻¹, ℜ(a) > 0 √ _π

2a²e^−a|p x(a²+ x²)⁻¹,ℜ(a) > 0 ^{i p}_2a√_π

2e^−a|p

sin(ax²) √¹

2asin (p²

4a +^π₄ )

cos(ax²) √¹

2acos (p²

4a −^π₄)

sin(ax)/x √_π

2, se|p| < a, 0, se |p| > a

x sinh(x)

√

2

π³e^−pπ_(1+e¹_pπ₎₂

4.4 trasformata di Laplace

Le definizioni sono le seguenti:

F (z) =

∫ _∞

0

f (t) e^−ztdt, f (t) = 1 2πi

∫ x+i∞ x−i∞

F (z) e^ztdz

in cui x `e un valore reale maggiore della parte reale di ogni singolarit`a della F (z).

(27)

4.5. DERIVATE 21

f (t) F (z)ˆ

1 ¹_z

tⁿ, n > 0 _z_n+1^n! ,ℜ(z) > 0 t^ν, ν >−1 _z^Γ(ν)ν+1,ℜ(z) > 0

e^−at (z + a)⁻¹,ℜ(z) > −ℜ(a) t e^−at (z + a)⁻²,ℜ(z) > −ℜ(a) t^ν⁻¹e^−at,ℜ(ν) > 0 _(z+a)^Γ(ν)ν,ℜ(z) > −ℜ(a)

sin(az) _z₂_+a^a ₂,ℜ(z) > |ℑ(a)|

sin(az)

z tan⁻¹(_a

z

),ℜ(z) > |ℑ(a)|

cos(az) _z2+a^z ²,ℜ(z) > |ℑ(a)|

4.5 derivate

1.

(arctan(x))^′= 1 1 + x² 2.

(arcsin(x))^′= 1

√1− x² 3.

(arccos(x))^′= √−1 1− x² 4.

(arcsec(x))^′= 1 x√

x²− 1 5.

(cos(x))^′=− sin(x) 6.

(lg_a(x))^′= 1 x lg_a(e) 7.

(a^x)^′= a^x lg_e(a) 8.

(tan(x))^′ = sec²(x) 9.

(cot(x))^′ =− csc²(x) 10.

(sec(x))^′= tan(x) sec(x) 11.

(csc(x))^′=− cot(x) csc(x)

(28)

4.6 limiti

1. Teorema di Cesaro, 1: sia {an} una successione arbitraria, {bn} una successione divergente a± ∞ allora, se esiste limn,∞ a_n+1−an

b_n+1−bn = l, allora esiste anche lim_n,_∞ ^a_bⁿ

n e tale limite e pari ad l.

2. Teorema di Cesaro, 2: siano {an} e {bn} due successioni infinitesime, una delle quali monotone. Se esiste limn,∞ a_n+1−an

b_n+1−bn = l, allora esiste anche limn,∞ an

b_n e tale limite e pari ad l.

3. conseguenze dei teoremi di Cesaro

n,lim∞

xn

n = lim

n,∞(xn+1− xn)

n,lim∞xn = lim

n,∞

x1+ x2+· · · + xn

n = lim

n,∞

√n

x1x2 · · · xn

n,lim∞

xn

xn−1 = lim

n,∞

√n

xn

4.

lim

x,∞

( 1 + 1

x )x

= e 5.

x,lim∞

( 1 + a

x )x

= e^a 6.

limx,c

xⁿ− cⁿ

x− c = ncⁿ⁻¹ 7.

lim

x,∞

xⁿ

a^x = 0, se|a| > 1 8.

n,lim∞

aⁿ n! = 0 9.

x,lim∞x¹^x = 1

(29)

Capitolo 5

formulette varie

5.1 equazione del secondo grado

ax²+ bx + c = 0 ⇒ x = 1 2a

(−b ±√

b²− 4ac)

5.2 equazione del terzo grado x

³

+ a

₁

x

²

+ a

₂

x + a

₃

= 0

Introdotti Q ed R tramite le 9Q = 3a₂ − a²1, 54R = 9a₁a₂− 27a3 − 2a³1, e poi S =

3

√ R +√

Q³+ R², T = ³

√ R−√

Q³+ R², si ha

x1= S + T−a1

3 , x2,3=−1

2(S + T )−a1

3 ± i

√3

2 (S− T )

5.3 decomposizione in fattori di polinomi particolari

Abbiamo

(x²ⁿ⁺¹− y²ⁿ⁺¹) = (x− y)(

x²ⁿ+ x²ⁿ⁻¹y + x²ⁿ⁻²y²+· · · + y²ⁿ) (x²ⁿ⁺¹+ y²ⁿ⁺¹) = (x + y)(

x²ⁿ− x²ⁿ⁻¹y + x²ⁿ⁻²y²− · · · + y²ⁿ)

5.4 regola della mano destra

⃗a∧⃗b = ⃗c

Si mette l’indice lungo ⃗a, il medio lungo ⃗b ed allora il pollice da la direzione ed il verso di ⃗c 23