13 Grafici potenze intere - funzioni monotone

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13. Grafici di potenze intere

Le potenze di ordine pari, ovvero le funzioni della forma:

2n y =x

con n intero, sono simili ad una parabola con una concavità che diviene più marcata fra –1 ed 1 a mano a mano che cresce n, ed un andamento che per x > cresce più 1 velocemente di quello di una parabola. Infatti preso un qualunque numero con

1 x < , ad esempio x =2₃ risulta: 6 4 2 2 2 2 3 3 3  _  _  _   <  <   _  _  _         

Tutte queste funzioni passano per i punti ( 1;1)− e (1;1) .

Le potenze di ordine pari sono tutte funzioni pari essendo sempre (−x)2n =x2n

Un andamento qualitativamente simile limitatamente alla regione x >0 presentano le potenze di ordine dispari, vale a dire le funzioni della forma:

2n 1 y =x +

Passano tutte per i punti ( 1; 1)− − e (1;1), il loro grafico è sotto alla bisettrice del primo e terzo quadrante se

0<x<1, viceversa se − <1 x<0, la concavità si fa più marcata al crescere di n. Come per le potenze di ordine pari, l’andamento per numeri x >1 è tanto più ripido quanto maggiore è n . Nella regione x <0 si

4

x

₂

x

6

x

1

1

−

1

(2 )6 3 (2 )4 3 (2 )2 3 2 3 5

x

₃

x

7

x

1

1

−

1

1

−

y

=

x

3

_x

x

1

1

y

=

x

4

_x

1

−

1

−

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può disegnarne il grafico sfruttando il fatto che le potenze di ordine dispari sono tutte funzioni dispari essendo sempre (−x)2n+1 = −x2n+1, quindi presentano un grafico simmetrico rispetto all’origine degli assi. Per ottenere l’andamento delle delle radici n-esime , cioè le funzioni

2n

y= x ed _y=2n+1_x

è sufficiente invertire i ruoli della x e della y. Il grafico si ottiene per semplice simmetria attorno alla bisettrice del primo e terzo quadrante, applicando cioè alle curve di prima la trasformazione x'=y y; '=x. Chiaramente per le radici di indice pari dovremo considerare solo i valori della x positivi o nulli: in altri termini le potenze dispari sono funzioni invertibili, quelle pari lo sono soltanto a tratti.

14. Le funzioni monotòne

Definizione: una funzione :f A→B , comunque presi , x ed x1 1∈A tali che x1<x2 si dice: monotòna crescente se f x( )1 <f x( )2

monotòna non decrescente se f x( )1 ≤f x( )2 monotòna decrescente se f x( )1 >f x( )2 monotòna non crescente se f x( )1 ≥f x( )2

2

x

1

x

1

( )

f x

2

( )

f x

1 2

( )

( )

si dice

se f x

<

f x

monotona crescente

2

x

1

x

1 2

( )

( )

f x

=

f x

1 2

( )

( )

si dice

se f x

≤

f x

monotona non decrescente

2

x

1

x

1

( )

f x

2

( )

f x

1 2

( )

( )

si dice

se f x

>

f x

monotona decrescente

2

x

1

x

1 2

( )

( )

f x

=

f x

1 2

( )

( )

si dice

se f x

≥

f x