esercizi sulla diagonalizzazione

Esercizi sulla diagonalizzazione

Esempio Determinare autovalori e autospazi della seguente matrice e dire se è diagonalizzabile.

!

"

"

#

$

%

%

&

0 - 2 2

- 2 0 2

- 2 - 2 4

Soluzione: det (A-XI) = det

!

"

"

#

$

%

%

&

- X - 2 2 - 2 - X 2 - 2 - 2 4 - X

= – X(X – 2)

2

gli autovalori sono 0 con molteplicità 1 e 2 con molteplicità 2; l'autospazio relativo a 0 è V

0

=

{(x, x, x)} = <(1,1,1)>; l'autospazio relativo a 2 è V

2

= {(x, y, x+y)} = <(1,0,1), (0,1,1)> e ha

dimensione uguale alla molteplicità dell'autovalore 2. Allora (1,1,1), (1,0,1), (0,1,1) sono una

base di R

3

formata da autovettori e quindi A è diagonalizzabile.

1) Dire quali delle seguenti matrici sono diagonalizzabili

!

"

"

#

$

%

%

&

1 1 0 1 0 0 0 0 1 ,

!

"

"

#

$

%

%

&

1 1 1 0 1 0 0 0 1 ,

!

"

"

#

$

%

%

&

1 1 1 0 1 1 0 0 1 ,

!

"

"

#

$

%

%

&

1 0 0 0 1 1 0 0 1

2) Determinare autovalori e autospazi della matrice

A =

!

"

"

#

$

%

%

&

2 - 1 0 - 1 1 - 1 0 - 1 2

e dire se è diagonalizzabile.

3) Determinare autovalori e autospazi della matrice

A =

!

"

"

#

$

%

%

&

1 2 0 1 2 0 0 1 1

e dire se è diagonalizzabile. Determinare tutte le matrici diagonali B simili ad A e per

ciascuna di esse determinare una matrice invertibile P tale che B = P

–1

AP.

4) Sia A la matrice

A =

!

"

"

#

$

%

%

&

1 0 0 0 1 0 0 0 2

Determinare una matrice B avente gli stessi autovalori di A e avente come autospazi

V = {(x,y,z) | x – y = 0} e W =

<

(1,2,0)

>.

5) Sia f : R

3

' R

3

l'applicazione lineare associata mediante la base canonica alla matrice

A =

0 2 0

0 1 0

1 0 0

!

"

#

#

$

%

&

&

a) determinare una base di Ker f ;

b) determinare un sottospazio di dimensione 2 di che contenga Ker f;

c) determinare autovalori e autovettori di A e dire se A è diagonalizzabile.

6) Data la matrice

A =

!

"

"

#

$

%

%

&

1 1 – 4

0 0 4

0 – 1 a

a) determinare per quali valori di a ( R è diagonalizzabile;

b) determinare autovalori e autospazi nel caso in cui a = 5.

7) Determinare autovalori e autospazi della matrice

2

0

0

1

3 ! 1

2

2

0

"

#

$

$

%

&

'

'

e dire se è diagonalizzabile.

8) Determinare autovalori e autospazi e dire se è diagonalizzabile la matrice:

2 – 3 3

3 – 4 3

3 – 3 2

!

"

#

#

$

%

&

&

9) Dire per quali valori di a ( R la matrice

1

a

0

2

1 0

0

0

2

!

"

#

#

$

%

&

&

è diagonalizzabile.

10) Per ciascuna delle seguenti matrici reali trovare gli autovalori e stabilire se `e diagonal-izzabile. Per le matrici A diagonalizzabili trovare una matrice invertibile P tale che P−1_AP sia diagonale. A =  2 1 −10 2 1 0 0 1   , B =   10 0 12 1 −1 0 3   , C =  ₋₁3 −15 −11 1 −1 3   , D =  1 −2 00 2 1 0 −1 1   11) Sia A =  1 2 01 2 0 0 1 1   .

a) Provare che A `e diagonalizzabile

b) Determinare tutte le matrici B diagonali simili alla matrice A e per ciascuna di esse si determini una matrice invertibile P tale B = P−1_AP.

12) Sia A =      1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 1 2 0 2 0 3 4 0 0 2     

a) Provare che A `e diagonalizzabile

b) Determinare una matrice diagonale ∆ e una matrice P invertibile tale

P−1AP = ∆. c) Dire se B =      1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2    

 `e simile alla matrice A.

13) Si consideri la matrice A =    0 3 0 0 3 0 0 0 0 0 1 1 0 0 4 1    .

a) dire se A `e diagonalizzabile e, in caso affermativo, determinare ∆ e una matrice invertibile

P tale che ∆ = P−1AP.

b) dire se A2 _{`e diagonalizzabile e, in caso affermativo, determinare la matrice diagonale}

14) Dire se ϕ : R3_{→ R}3 _{definito da ϕ(x, y, z) = (2x + y − z, −2x − y + 3z, z) `e}

diagonaliz-zabile.

15) Siano a ∈ R e ϕa: R3→ R3definito da ϕa(x, y, z) = (x + 3y, x − y, ax + az). Per quali valori di a l’omomorfismo `e diagonalizzabile?

16) Determinare un omomorfismo diagonalizzabile ϕ : R3 _{→ R}3 _{tale 1 sia autovalore e} V1= {(x, y, z) / x + 2y + z = 0}.

17) Determinare un omomorfismo diagonalizzabile ϕ : R3_{→ R}3 _{tale ϕ(1, 1, 1) = (0, 0, 1).}

18) Sia V = {(x, y, z, t) ∈ R4_{/ x− y = x + z − t = 0}.}

a) Determinare un omomorfismo diagonalizzabile f : R4_{→ R}4 _{tale V sia un autospazio, 4}

sia autovalore e kerϕ $= {0}. b) Trovare una base di V⊥_.

19) Sia A =    2 −1 a 0 2 1 0 0 0 0 3 0 0 0 b −2    ∈ M4(R).

i) Determinare per quali a, b ∈ R si ha che A `e diagonalizzabile in R.

ii) Siano a = b = 0, verificare che A `e diagonalizzabile e determinare una matrice invertibile

P tale P−1AP risulti diagonale. Una matrice P con tale propriet`a, se esiste, `e unica?

20) Sia V il sottospazio di R4 _{generato dai vettori (1, 2, 0, −2), (0, 1, −1, 2), (0, 0, 1, −1); sia}

W ={(x, y, z, t) / x + 2y + z = y + 2z = 3z − t = 0} ⊂ R4_{. Trovare una base di V}⊥ _{e una}

di W⊥_.

21) Per ciascuna delle seguenti matrici simmetriche trovare una matrice P e una matrice diagonale B tali che t_{P AP = B.}

A =   20 0 −12 0 −1 0 2   , B =  0 1 11 0 1 1 1 0   , C =  1 1 11 1 1 1 1 1   , D =    2 1 0 0 1 2 0 0 0 0 2 −1 0 0 −1 2   

22). Siano A, B, C, D ∈ M2(R). Provare o confutare le seguenti affermazioni:

a) se A `e simile a B, allora An <sub>`e simile a B</sub>n _{per ogni n ∈ N;}

b) se A `e simile a B e C `e simile a D, allora A + C `e simile a B + D; c) se A2<sub>− 2A − 3 = 0, allora A `e diagonalizzabile;</sub>