Capitolo 6 Autovalori e diagonalizzazione Marco Robutti

Capitolo 6

Autovalori e diagonalizzazione

Marco Robutti

Facoltà di ingegneria Università degli studi di Pavia

Anno accademico 2017-2018 Tutorato di geometria e algebra lineare

Osservazione

In tutto il capitolo si lavora su matrici quadrate A ∈ M_R(n) e su operatori lineari (o endomorfismi), quindi su applicazioni lineari del tipo:

L : V −→ V ,

L : Rⁿ−→ Rⁿ

Definizione (Autovettore)

Dato lo spazio vettoriale V isomorfo a Rⁿe un operatore lineare L : V −→ V , un vettore v ∈ V è detto autovettore di L se:

v ∈ V , v 6= 0_V, L (v ) ∈ Span (v ) ’in forma astratta

X ∈ Rⁿ, X 6= 0_n, AX ∈ Span (X ) ’in pratica

Definizione (Autovalore)

Dato lo spazio vettoriale V isomorfo a Rⁿe un operatore lineare L : V −→ V , un numero reale λ ∈ R è detto autovalore di L se:

∃v ∈ V , v 6= 0_V | L (v) = λv ’in forma astratta

∃X ∈ Rⁿ, X 6= 0_n, AX = λX ’in pratica

il vettore v viene detto autovettore relativo all’autovalore λ.

Definizione (Spettro)

Dato lo spazio vettoriale V isomorfo a Rⁿe un operatore lineare L : V −→ V , viene detto spettro di L l’insieme di tutti gli autovalori di L, ossia:

Spec (L) = {λ ∈ R | ∃v ∈ V , v 6= 0V : L (v ) = λv }

Definizione (Autospazio)

Dato lo spazio vettoriale V isomorfo a Rⁿe un operatore lineare L : V −→ V , sia λ ∈ R un autovalore di L. L’insieme:

V_λ= {v ∈ V | L (v ) = λv } ,

è detto autospazio relativo all’autovalore λ; l’equazione vettoriale:

L (v ) = λv ,

è detta equazione dell’autospazio V_λ.

Definizione (Polinomio caratteristico) Sia A ∈ M_R(n). Il polinomio:

p_A(t) = det (A − tI_n) ,

è detto polinomio caratteristico della matrice A e soddisfa le seguenti affermazioni:

1) è un polinomio di grado n;

2) il termine di grado n è: (−1)ⁿtⁿ;

3) il termine di grado n − 1 è: (−1)ⁿ⁻¹tr (A) tⁿ⁻¹; 4) il termine noto è: det (A).

Algoritmo - Ricerca degli autovalori Sia A ∈ M_R(n) , n ≥ 2 e λ ∈ R. Allora si ha che:

λ è un autovalore di A ⇐⇒ |A − λIn| = 0

Algoritmo - Trovare le equazioni cartesiane degli autospazi

L’autospazio V_λ associato all’autovalore λ ha come equazioni cartesiane le righe linearmente indipendenti del sistema:

(A − λIn) X = 0n, e quindi:

dim (Vλ) = n − rg (A − λIn)

Definizione (Molteplicità algebrica)

E’ il numero di volte in cui compare l’autovalore λ come radice del polinomio caratteristico. Viene indicata con la lettera greca µ.

Definizione (Molteplicità geometrica)

E’ la dimensione dell’autospazio V_λ associato all’autovaore λ, cioè:

m (λ) = dim (V_λ) ,

vale inoltre la seguente relazione tra molteplicità geometrice e algebrica:

m (λ) ≤ µ (λ)

Definizione (Matrice diagonalizzabile)

Una matrice M_R(n) è diagonalizzabile se, equivalentemente:

• ∃ una base B_Rⁿ formata da autovettori di A;

• A è simile ad una matrice diagonale.

Teorema (Primo criterio di diagonalizzazione)

Sia A ∈ M_R(n) una matrice quadrata reale di ordine n. Siano λ₁, . . . , λ_h con 1 ≤ h ≤ n gli autovalori distinti di A con molteplicità geometriche m (λ₁) , . . . , m (λ_h). La matrice A è diagonalizzabile se e solo se risulta:

m (λ₁) + m (λ₂) + · · · + m (λ_h) = n.

Teorema (Secondo criterio di diagonalizzazione)

Sia A ∈ M_R(n) una matrice quadrata reale di ordine n. La matrice A è diagonalizzabile se e solo se sono verificate entrambe le seguenti condizioni:

1) il polinomio caratteristico di A è totalmente decomponibile in R;

2) tutti gli autovalori di A sono regolari (cioè hanno molteplicità algebrica e geometrica uguali).

Osservazione (Qualcosa di utile...)

Sia A ∈ M_R(n) una matrice diagonalizzabile. Allora:

det (A) = λ1· λ₂. . . · λn, tr (A) = λ1+ λ2+ · · · + λn,

Osservazione (Qualcosa di utile...)

Una matrice A ∈ M_R(n) si dice diagonalizzabile se è simile ad una matrice diagonale, ovvero se vale la scrittura:

AN = ∆N =⇒ ∆ = N⁻¹AN,

dove la matrice N è costituita da autovettori della matrice A.

Ne consegue che due matrici A e B simili tra loro e diagonalizzabili sono simili alla stessa matrice diagonale e quindi hanno lo stesso polinomio caratteristico, cioè:

p_A(t) = p_B(t)