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Appunti di Algebra Lineare - 1

Mongodi Samuele - s.mongodi@sns.it

10/11/2009

Le note che seguono non vogliono, né possono, essere il sostituto delle lezioni frontali di teoria e di esercitazione; anzi, il loro scopo è di richiamare e integrare quanto svolto in classe. Preciso fin d’ora che non metterò online le soluzioni di questi esercizi, che potrete controllare venendo a ricevimento. Infine, gli esercizi con il simbolo ? sono più complicati degli altri e il loro svolgimento non è necessario, ma sono presenti in queste note per chi avesse interesse per la materia.

1 Numeri complessi

Il campo dei numeri complessi C `e l’insieme di coppie di numeri reali {a + ib | a, b ∈ R}

con le seguenti operazioni

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d) (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc)

L’elemento neutro per la somma è 0 = 0 + i0 e l’elemento neutro per la molti-plicazione è 1 = 1 + i0; dato un numero a + ib, il suo inverso per la somma è il numero complesso −a − ib. Dato poi un numero complesso a + ib non nullo, il suo inverso per la moltiplicazione è

1 a + ib = a a2_{+ b}2 − i b a2_{+ b}2

Dato il numero z = a + ib, i numeri reali a e b si dicono rispettivamente parte reale e parte immaginaria di z e si indicano con a = <(z) e b = =(z).

Possiamo interpretare ogni numero complesso come un punto del piano car-tesiano, associando a a + ib il punto (a, b); per questo l’espressione a + ib si dice forma cartesiana. Ad ogni numero complesso z = a + ib possiamo associare la distanza del punto (a, b) dall’origine, ovvero la quantit`a

ρ =pa2_{+ b}2_{= |z|}

detta modulo del numero complesso z; inoltre, possiamo anche considerare l’an-golo orientato (positivo in senso antiorario) che la semiretta dei reali positivi forma con la semiretta dall’origine a (a, b), ovvero1

θ = arctanb a = arcsin b √ a2_{+ b}2 = arccos a √ a2_{+ b}2 = arccot a b

1_{Le formule con tangente e cotangente possono essere usate solo quando a 6= 0 (o risp.}

quando b 6= 0), mentre le formule con seno e coseno non sono univoche (ad esempio, esistono due angoli diversi il cui seno `e 1/2).

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Tale angolo si dice argomento (o anomalia) del numero complesso z e si indica con arg(z). La scrittura ρ(cos θ + i sin θ) si dice forma polare di un numero complesso.

Osserviamo che la scrittura polare ha una singolarit`a per ρ = 0. Questo dato basta univocamente a determinare il numero complesso z = 0. Inoltre l’argomento θ `e periodico di periodo 2π.

Si hanno le seguenti relazioni:

|zw| = |z||w| arg(zw) = arg(z) + arg(w) e quindi in particolare |zn_{| = |z|}n _{e arg(z}n_{) = n arg(z).}

Esempio Calcoliamo il cubo del numero complesso z = 1 − 2i, con lo sviluppo del cubo del binomio:

z3= (1−2i)3= 13+3·12·(−2i)+3·1·(−2i)2+(−2i)3= 1−6i−12+8i = −11+2i Esempio Le potenze dell’unit`a immaginaria i sono periodiche di periodo 4, infatti

i0= 1 i1= i i2= −1 i3= −i i4= 1

e dunque, se h ≡ k mod 4, si avr`a ih = ik. Ad esempio, i2010 = i2 = −1; similmente i−1= i3= −i.

Esempio Cerchiamo le radici quadrate del numero z = 1 + i√3; per farlo, proviamo a risolvere l’equazione

(a + ib)2= 1 + i√3 Sviluppando, otteniamo

a2− b2_{+ i2ab = 1 + i}√₃

ed eguagliando parte reale e parte immaginaria otteniamo

a2_{− b}2 ₌ ₁

2ab = √3

Per risolvere tale sistema non c’`e un metodo univoco. In questo caso, nella seconda equazione possiamo supporre a, b 6= 0 (altrimenti il prodotto sarebbe nullo) e quindi porre, ad esempio

a = √

3 2b da cui, sostituendo nella prima,

3 4b2 − b

2_{= 1}

ovvero, posto t = b2_,

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che ha come soluzioni

t1,2 =

−2 ± 4 4

di cui solo t1 = 1/2 `e accettabile, in quanto t = b2. Dunque b = ±1/

√ 2 e a = ±√3/√2, ovvero le radici quadrate di z sono

√ 3 √ 2+ i √ 2 − √ 3 √ 2 − i √ 2

Esempio Portiamo in forma polare il numero z = 2 + 2i. Per farlo calcoliamo innanzitutto il modulo:

ρ =p22_{+ 2}2_{= 2}√₂

ed ora, per calcolare l’argomento θ, abbiamo vari metodi: ad esempio sappiamo che deve essere

tan θ = 1 oppure che z |z| = 1 √ 2 + i √ 2 = cos θ + i sin θ da una di queste due `e facile ricavare che θ = π/4.

Dunque z = 2√2(cos π/4 + i sin π/4).

Esempio Calcoliamo la quarta potenza del numero z = 3 +√3i. Innanzitutto portiamolo in forma polare; si ha

ρ =√3 + 9 = 2√3 e tan θ = 1/√3, da cui θ = π/6. Ora

|z4_{| = |z|}4_{= ρ}4_{= 16 · 9 = 144}

arg(z4) = 4 arg(z) = 2π/3 quindi z4_{= 144(cos 2π/3 + i sin 2π/3) = −72 + i72}√_3.

Esercizio 1 Calcolare le seguenti espressioni nei numeri complessi, esprimendo il risultato nella forma a + ib

i. (1 + i)(1 − i)2_{+ (2 + 3i) − (4 − 4i)}

ii. (2 − i)i + (3 +√2)i/(2 − i) iii. (i − 1/2)3+ (i + 1/2)3

iv. (1+2i)(2+i)−2i(2−3i)_{(i+1)(i−1)−2i}

Esercizio 2 Portare in forma polare (eventualmente aiutandosi con la calcola-trice) i seguenti numeri complessi

i. z = −1 + i√3 ii. z = −2 − 2i iii. z = −9

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iv. z = 3i

v. z = (√6 +√2) + i(√6 −√2)

Esercizio 3 Calcolare z2009_{in ognuno dei seguenti casi:}

i. z = −i

ii. z = (√2 + i√2)/2 iii. z = (1 − i√3)/2 iv. z = i − 1

Esercizio 4 (?) Osserviamo che, se z = cos θ+i sin θ, allora z2_{= cos 2θ+i sin 2θ;}

d’altra parte, se z = a + ib, si ha z2_{= (a}2_{− b}2_{) + i2ab, quindi}

cos 2θ = a2− b2_{= cos}2_{θ − sin}2_θ

sin 2θ = 2 sin θ cos θ

Allo stesso modo si provi a ricavare le formule di triplicazione e quadruplicazione di seno e coseno.

2 Radici n−esime

Se vogliamo calcolare le radici n−esime di un numero complesso possiamo sfrut-tare le stesse relazioni: se, ad esempio, vogliamo le radici terze del numero complesso z =√2 + i√6.

Innanzitutto notiamo che |z| = 2√2 e arg(z) = π/3; ora, noi vogliamo trovare i numeri complessi w tali che w3_{= z ovvero tali che}

|w|3= |z| = 2√2 e dunque |w| =√2 ed inoltre tali che

3 arg(w) = arg(z)

Ora, osserviamo che questa uguaglianza ha, da entrambi i lati dell’uguale, degli angoli; dunque essa deve valere a meno di multipli di 2π, in quanto gli angoli α e α + 2π sono uguali. Dunque l’equazione precedente deve pi`u correttamente essere scritta come

3 arg(w) ≡ arg(z) mod 2π oppure come

3 arg(w) = arg(z) + 2kπ = π/3 + 2kπ a questo punto, abbiamo che

arg(w) = π/9 + 2kπ/3

e questo deve essere valutato per ogni k ∈ Z. Per`o, notiamo che se k0 = k + 3 si ha

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e dunque mettere k o k0 non cambia, a livello di angoli. Dunque gli unici angoli che dobbiamo considerare come argomenti di w sono

π/9, π/9 + 2π/3, π/9 + 4π/3 per k = 0, 1, 2. In generale se ho l’equazione mθ ≡ α mod 2π avr`o le soluzioni θk = α m + 2kπ m k = 0, . . . , m − 1

Le soluzioni dell’equazione zm = 1 sono m numeri complessi di modulo 1 detti radici m−esime dell’unit`a e si scrivono come

zk= cos

2kπ 7 + i sin

2kπ

7 k = 0, 1, . . . , m − 1

Nei numeri complessi esiste un’operazione detta coniugio, che agisce come segue: se esprimiamo il numero complesso z in forma cartesiana come a + ib, allora il suo coniugato z avr`a la forma a − ib. In forma polare, |z| = |z| e arg(z) = − arg(z). Ad esempio, se z = 1 + i, allora z = 1 − i; inoltre, si hanno i due seguenti fatti:

z ∈ R ⇔ z = z z ∈ iR ⇔ z = −z Notiamo inoltre che, se z = a + ib, si ha

zz = (a + ib)(a − ib) = a2+ b2

e dunque |z|2_{= zz; infine, si ha}

z = 1

z ⇔ |z| = 1 Infine, notiamo che si ha

<(z) = z + z

2 =(z) =

z − z 2i Esempio Risolviamo l’equazione

z3= z4

Possiamo procedere come segue: confrontiamo i moduli e gli argomenti dei due membri, determinando modulo e argomento di z. Confrontando i moduli si ha

|z3| = |z4| da cui

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e quindi |z| = 0 oppure |z| = 1. Confrontando gli argomenti si ottiene arg(z3) ≡ arg(z4) mod 2π

ovvero

3 arg(z) ≡ −4 arg(z) mod 2π ovvero

7 arg(z) ≡ 0 mod 2π da cui

arg(z) = 2kπ

7 k = 0, 1, . . . , 6 Dunque le soluzioni sono

z = 0 z = cos2kπ

7 + i sin 2kπ

7 k = 0, 1, . . . , 6

Metodo alternativo: Partendo dall’equazione z3= z4, possiamo moltiplicare entrambi i membri per z4, ottenendo

z7= (zz)4

ovvero

z7= |z|8

Uguagliando i moduli si nota che le soluzioni possibili sono |z| = 0 che porta a z = 0 oppure |z| = 1; in quest’altro caso si ha

z7= 1

e dunque le soluzioni saranno le radici settime dell’unit`a, ovvero z = cos2kπ

7 + i sin 2kπ

7 k = 0, 1, . . . , 6 Esempio Risolviamo l’equazione

z2= (1 + i)z

eguagliando i moduli si ha

|z|2₋√_{2|z| = 0}

da cui |z| = 0 oppure |z| =√2. Eguagliando gli argomenti si ha 2 arg(z) ≡ arg(1 + i) − arg(z) mod 2π ovvero

3 arg(z) ≡ arg(1 + i) ≡ π/4 mod 2π da cui

arg(z) = π 12+

2kπ

3 k = 0, 1, 2 e dunque le soluzioni sono

z = 0 z =√2 cos π 12+ 2kπ 3 + i sin π 12+ 2kπ 3 k = 0, 1, 2

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i. z = 1 ii. z = 1 + i iii. z = −1 + i√3 iv. z = i

Esercizio 6 Determinare per quali z ∈ C valgono le seguenti equazioni i. z + z = 0

ii. z + 2z = 1 + i iii. zz2= 0

iv. z3_{+ z = 0}

Esercizio 7 Determinare le soluzioni delle seguenti equazioni i. z2= z3 ii. (z + 1)3= (z + 1)4 iii. z5_{= 4z}3 iv. (z + i)2_{= z − i} v. z5_{= |z|}2 vi. z3= (1 + i)2z2

Esercizio 8 (?) Consideriamo l’equazione zn = 1 con n ≥ 1 intero e le sue n soluzioni complesse. Dimostrare che

i. tutte le soluzioni dell’equazione hanno modulo 1; ii. se ζ `e una soluzione, anche 1/ζ lo `e;

iii. se ζ `e una soluzione, anche ζ lo `e;

iv. se ζ è una soluzione di zn = 1 e ω è una soluzione di zm= 1, allora ζω è una soluzione di znm= 1.

3 Esponenziale complesso

Nel campo dei numeri complessi possiamo definire un’operazione di esponenzia-zione, come nei numeri reali, ottenendo una funzione

exp : C → C \ {0} data da

ez= exp(a + ib) = ea(cos b + i sin b) Osserviamo quindi che

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dove <(z) e =(z) sono la parte reale e la parte immaginaria di z (ovvero a e b). Quindi, l’equazione ez _{= 1 ha come soluzioni tutti i numeri della forma}

z = i2kπ con k ∈ Z. Infatti serve che |ez_{| = 1, quindi e}a _{= 1 quindi a =}

0 e arg(ez_{) ≡ 0 mod 2π, quindi b = 2kπ; questa volta per`}_{o non abbiamo}

un’equazione tra due angoli, come nel caso dei problemi precedenti, ma tra un angolo e un numero reale, quindi non possiamo limitare i k da scegliere. Dunque le soluzioni di ez_{= 1 sono infinite:}

. . . , −i6π, −i4π, −i2π, 0, i2π, i4π, i6π, . . .

Notiamo poi che exp(z) = exp(z) e che valgono tutte le regole che gi`a conoscevamo sui reali:

exp(z + w) = exp(z) exp(w) exp(z − w) = exp(z)/ exp(w)

exp(nz) = (exp(z))n

Esempio Risolviamo l’equazione

e2z= 1 − i

Come prima, uguagliamo moduli e argomeni: |e2z_{| =}√₂ da cui e2a=√2 ovvero a = log 21/4 Inoltre

arg(e2z≡ arg(1 − i) ≡ −π/4 mod 2pi quindi 2b ≡ −π/4 mod 2π ovvero b = −π 8 + kπ k ∈ Z Dunque z = log 21/4_{− i}π 8+ ikπ per k ∈ Z.

Esempio Dato il numero complesso z = log 2 + iπ/4, vogliamo calcolare ez. Si ha

ez= e<(z)(cos =(z) + i sin =(z)) = elog 2(cos π/4 + i sin π/4) =

= 2 ₁ √ 2+ i √ 2 =√2 + i√2

Esempio Risolviamo l’equazione

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Possiamo riscriverla come

e2z−z−1= 1 e dunque

2z − z − 1 = i2kπ _{k ∈ Z} da cui, scrivendo z = a + ib, otteniamo

2a + i2b − a + ib − 1 = i2kπ _{k ∈ Z}

ovvero il sistema (o meglio, la famiglia di sistemi, al variare di k ∈ Z) a − 1 = 0 3b = 2kπ che ha soluzioni a = 1, b = 2kπ 3 e dunque le soluzioni cercate sono

z = 1 + i2kπ

3 k ∈ Z

Esercizio 9 Calcolare ez _{nei seguenti casi}

i. z = iπ ii. z = 1 + iπ/3 iii. z = −1 + iπ/3 iv. z = log 2 + i121π/6

v. z = − log 3 − iπ/4

Esercizio 10 Risolvere le seguenti equazioni i. ez_{= −1}

ii. ez= i

iii. ez+z= 1

iv. √2e4_{z = 1 + i}

Esercizio 11 Risolvere le seguenti equazioni i. ez2

= ez

ii. e2z= −8iez+i

iii. ez+1_{= 4e}z+1

iv. ez2_{= e}−iz2

Esercizio 12 (?) Risolvere l’equazione emz_{= e}w_{esprimendo z in funzione di w}

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4 Diseguaglianze tra moduli

Le disugiaglianze tra moduli si possono ridurre, di solito, a disuguaglianze tra parte reale e parte immaginaria, oppure a disuguaglianze del tipo |z| < 1. Esempio Trovare per quali numeri complessi vale |z + i| ≥ |z − i|.

Riscrivendo la richiesta in forma cartesiana, si ha p a2_{+ (b + 1)}2_≥p a2_{+ (b − 1)}2 elevando al quadrato si ha (b + 1)2≥ (b − 1)2 ovvero b ≥ 0

Quindi vanno bene tutti i numeri complessi z tali che =(z) ≥ 0. Esempio Trovare per quali numeri complessi vale |e−iz| < 1.

Sappiamo che |exp(w)| = e<(w), quindi

|e−iz| = e−<(iz)= eb

e dunque vogliamo che eb < 1, ovvero che b < 0. Quindi cerchiamo i numeri complessi z tali che =(z) < 0.

Esempio Trovare per quali numeri complessi vale 12|z + 1| ≤ 11|z − 1|. Riscrivendo tutto in forma cartesiana, si ha

12p(a + 1)2_{+ b}2_{≤ 11}p_{(a − 1)}2_{+ b}2 da cui 144(a2+ b2+ 2a + 1) ≤ 121(a2+ b2− 2a + 1) ovvero 23a2+ 23b2+ 530a + 23 ≤ 0 che `e equivalente a 23((a +p530/23)2+ b2) ≤ 507 ovvero |z +p503/23| ≤p507/23

Esempio Troviamo per quali numeri complessi vale |ez| > |eiz_|.

Sappiamo che |ez| = e<(z) _{e |e}iz_{| = e}−=(z)_{, quindi si ha}

e<(z) > e−=(z)

ovvero

<(z) > −=(z) Esercizio 13 Risolvere il sistema

(1 + i)z = z2

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Esercizio 14 Risolvere il sistema

z = z3

|z + i| > |z − i| Esercizio 15 Risolvere il sistema

e2z ₌ _2ez

|z − log 2| < 4

5 Interpretazione grafica dei numeri complessi

Come già detto, ogni numero complesso può essere pensato come un punto del piano cartesiano; il passaggio da forma cartesiana a forma polare è allora il passaggio dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari.

Inoltre, se fissiamo un numero complesso z0, l’applicazione che manda ogni

numero complesso z in z + z0`e una traslazione del piano; se infatti z0= a + ib,

la trasformazione `e data da

x 7→ x + a y 7→ y + b

Se invece fissiamo un numero reale k, la trasformazione che manda z in kz `

e un’omotetia di centro l’orgine; infine, se fissiamo un numero complesso ω tale che |ω| = 1 (e quindi tale che ω = cos θ + i sin θ), l’applicazione z 7→ ωz `e una rotazione di un angolo θ attorno all’origine.

Infine, il coniugio realizza la simmetria rispetto all’asse reale. Il modulo di un numero complesso |z| =√zz =√a2_{+ b}2_`_{e la distanza dall’origine del punto}

as-sociato a z; allo stesso modo, il modulo della differenza tra due numeri complessi `

e la distanza tra i punti a loro associati: |z0− z1| =p(a0− a1)2+ (b0− b1)2.

Negli esempi che seguono vedremo i luoghi geometrici descritti da equazioni o disequazioni.

Esempio L’insieme dei numeri complessi che soddisfano l’equazione zz = r2

`

e la circonferenza di centro l’origine e raggio r; infatti zz = a2_{+ b}2_{. Pi`}_{u in}

generale, l’insieme (z − z0)(z − z0) = r2 descrive una circonferenza di centro z0

e raggio r.

Esempio L’insieme dato da |z| ≤ r descrive l’interno del cerchio di raggio r e centro l’origine, unito alla circonferenza.

Esempio L’insieme |z + 1| = |z − 1| è l’insieme dei punti z tali che la distanza di z dal punto −1 = (−1, 0) è uguale alla distanza di z dal punto 1 = (1, 0), ovvero è l’asse del segmento che unisce 1 e −1, ovvero è l’asse delle ordinate, cioè l’asse immaginario.

Dunque il luogo |z + 1| < |z − 1| `e il semipiano a sinistra (dalla parte dei reali negativi) dell’asse immaginario, mentre |z + 1| > |z − 1| descrive il semipiano destro (reali positivi).

Esempio Le soluzioni dell’equazione zm _{= 1 sono i vertici di un m−agono}

regolare inscritto nella circonferenza unitaria con un vertice nel punto 1. Le soluzioni di zm _{= ω con |ω| = 1 saranno i vertici di un m−agono}

regolare inscritto nella circonferenza unitaria, che sar`a ruotato di un angolo θ = arg(ω)/m rispetto al precedente.

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Esempio Le soluzioni di z(1 + i) = (1 − i)z sono i numeri complessi a + ib tali che

(a + ib)(1 + i) = (a − ib)(1 − i) ⇔ a + ib + ia − b = a − ib − ia − b ⇔ a = b dunque sono i punti sulla diagonale del primo e del terzo quadrante.

Esercizio 16 Trovare i luoghi geometrici descritti dalle seguenti equazioni: i. z(1 − i) − z(1 + i) = 2i

ii. z2− z2_{= 2}

iii. z(z − z + 2) = −z(z − z + 2) iv. |z − 1| = |z − i|

Esercizio 17 Trovare i luoghi geometrici descritti dalle seguenti disequazioni: i. |z2_{| < 4}

ii. |z + 1| ≤ |z| iii. |z| + |z|/2 < 6

Esercizio 18 (?) Scrivere le seguenti trasformazioni del piano in termini di numeri complessi, (Ad esempio, la trasformazione rotazione di π/4 attorno al punto 1 `e z 7→ ω(z − 1) + 1 con ω = 1/√2 + i/√2).

i. Rotazione di centro i e angolo π/6. ii. Simmetria rispetto all’asse immaginario. iii. Simmetria centrale rispetto a −i.

Esercizio 19 (?) Dati tre punti nel piano (e quindi tre numeri complessi) z, w, v, trovare un’espressione per seno e coseno dell’angolo formato dalle rette da z a w e da v a w. Dimostrare che i due triangoli z, v, w e z0, v0, w0 sono simili se e solo se

z − w v − w =

z0− w0

v0_{− w}0

Infine, dimostrare che tre punti fanno un triangolo equilatero se e solo se z + ωv + ω2_{w = 0 con ω = −1/2 + i}√_3/2.