Come si risolvono le espressioni di aritmetica con le Potenze

(1)

ESPRESSIONI ARITMETICHE CON POTENZE

Per risolvere le espressioni aritmetiche nelle quali compaiono delle

potenze si applicano le seguenti regole.

L'espressione aritmetica può essere di due tipi diversi:

1° TIPO - L'ESPRESSIONE NON CONTIENE PARENTESI;

2° TIPO - L'ESPRESSIONE CONTIENE PARENTESI.

1° TIPO - L'ESPRESSIONE NONCONTIENE PARENTESI:

Esempio:

2

4

_{- 5 x 3.}

In questo caso bisogna risolvere l'espressione come segue:

1.

PRIMA SI RISOLVONO LE POTENZE;

Quindi, nel nostro esempio, iniziamo con l'elevare 2 alla quarta ed abbiamo

16 - 5 x 3

2.

POI SI ESEGUONO MOLTIPLICAZIONI E DIVISIONI NELL'ORDINE IN

CUI SI TROVANO;

Nella nostra espressione c'è una moltiplicazione da eseguire 5x3, mentre non ci sono divisioni.

16 – 15 = 1

3.

INFINE SI ESEGUONO LE ADDIZIONI E LE SOTTRAZIONI

NELL'ORDINE IN CUI SI TROVANO;

Da ultimo eseguiamo la sottrazione

(2)

2° TIPO - L'ESPRESSIONE CONTIENE PARENTESI:

Esempio:

{[(2

2

_{+ 15) - (7 x 2)] - 3}}

_.

In questo caso bisogna risolvere l'espressione come segue:

1.

PRIMA SI ESEGUONO LE OPERAZIONI NELLE PARENTESI TONDE

(

)

, POI QUELLE NELLEPARENTESI QUADRE

[ ]

ED INFINE QUELLE

NELLE PARENTESI GRAFFE

{ } secondo il seguente ordine:

a.

PRIMA LE POTENZE;

b.

POI LE MOLTIPLICAZIONI E LE DIVISIONI;

c.

INFINE SOMME E SOTTRAZIONI.

Inoltre ricordiamo che una volta eseguite tutte le operazioni all'interno di una parentesi essa va eliminata.

Tornando al nostro esempio

{[(2

2

_{+ 15) - (7 x 2)] - 3}}

_.

Dobbiamo prima risolvere le parentesi tonde

Iniziamo dalla prima parentesi tonda. Per prima cosa dobbiamo risolvere la potenza. Quindi avremo:

{[(4

+ 15) - (7 x 2)] - 3}

.

Sempre nella prima parentesi tonda non abbiamo moltiplicazioni o divisioni quindi passiamo ad eseguire l'addizione.

{[(19) - (7 x 2)] - 3}

Poiché abbiamo eseguito tutte le operazioni all'interno della parentesi essa va eliminata. Allora avremo:

{[19 - (7 x 2)] - 3}

.

Passiamo ad eseguire le operazioni comprese nella seconda parentesi tonda. Non ci sono né potenze, né divisioni, mentre c'è da eseguire una moltiplicazione.

{[19 - (14)] - 3}

.

Poiché abbiamo eseguito tutte le operazioni all'interno della parentesi tonda essa va eliminata.

(3)

Quindi avremo:

{[19 - 14] - 3}

.

Ora dobbiamo eseguire l'operazione nella parentesi quadra. Non ci sono potenze. Non ci sono moltiplicazioni, né divisioni, quindi ci limitiamo ad eseguire la sottrazione.

{[5] - 3}

.

Togliamo la parentesi quadra:

{5 - 3}

.

Eseguiamo la sottrazione indicata.

{2}

.

Ora non ci resta che togliere anche la parentesi graffa.

2 .

(4)

Esempi concreti

Un commerciante ha acquistato 6 scatole di uova. Ogni scatola contiene, a sua volta, 6 confezioni di uova e ogni confezione contiene 6 uova.

Per calcolare quante uova ha acquistato il commerciante, osserviamo che in ogni scatola ci sono 6 confezioni che contengono ciascuna 6 uova. Quindi, in ogni scatola, abbiamo 6 x 6 uova.

Poiché le scatole sono 6 avremo complessivamente:

6 x 6 x 6 uova

.

Un prodotto come questo, formato da fattori tutti uguali tra loro, prende il nome

di POTENZA.

Quindi, si dice POTENZA di un numero, il PRODOTTO DI PIU' FATTORI UGUALI A

QUEL NUMERO.

Ognuno dei FATTORI UGUALI da MOLTIPLICARE prende il nome di BASE della potenza.

(5)

Nel nostro esempio, il fattore uguale che dobbiamo moltiplicare è 6 che rappresenta la BASE della potenza.

Invece, il numero dei fattori è 3 che è l'ESPONENTE della potenza. Il prodotto appena visto

6 x 6 x 6

può essere scritto in maniera diversa, ovvero:

6

3

che si legge "sei alla terza". Dove 6 è la BASE della nostra potenza, cioè esprime il fattore che deve essere moltiplicato per se stesso, mentre 3 è l'ESPONENTE della potenza, cioè esprime il numero di tali fattori.

Il risultato di tale prodotto prende il nome di

POTENZA

.

Vediamo, di seguito, alcuni esempi di potenze:

Potenza Come si legge Base Esponente Calcolo della potenza

32 _{tre alla seconda} oppure

tre al quadrato

3 2 3 x 3 = 9

53 _{cinque alla terza} oppure

cinque al cubo

5 3 5 x 5 x 5 =125

24 _{due alla quarta} ₂ ₄ _{2 x 2 x 2 x 2 = 16}

45 _{quattro alla quinta} ₄ ₅ _{4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 256}

(6)

Come possiamo notare le potenze con esponente due e quelle con esponente

tre possono essere lette in due modi diversi, mentre tutte le altre potenze possono essere lette in un solo modo.

Soffermiamoci ora sulle potenze aventi come esponente due. In questi casi si parla anche di QUADRATO DI UN NUMERO.

Esempio:

1

2

_{, 2}

2

_,

₃

2

_,

₄

2

_,

₅

2

_,

₆

2

_,

₇

2

_,

₈

2

_,

₉

2

_,

₁₀

2

_{, ecc..}

Se eseguiamo queste potenze avremo:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ecc..

I valori che abbiamo trovato si dicono QUADRATI PERFETTI.

Quindi, possiamo affermare che un numero si dice QUADRATO PERFETTO se è

il QUADRATO DI UN ALTRO NUMERO.

Vediamo, di seguito, alcuni casi particolari dell'ELEVAZIONE A POTENZA. Iniziamo ad esaminare cosa accade se ELEVIAMO UN NUMERO A ZERO.

Esempio: 5

0

_.

Come sappiamo la BASE, nel nostro caso5, ci indica ognuno dei FATTORI

UGUALI da MOLTIPLICARE.

L'ESPONENTE, in questo caso 0, ci dice il NUMERO DEI FATTORI.

Essendo per definizione, la POTENZA il PRODOTTO DI PIU' FATTORI non ha senso considerare una POTENZA CON ESPONENTE ZERO, dato che i fattori di un prodotto devono essere almeno due.

Tuttavia, PER CONVENZIONE, si pone che la POTENZA CON ESPONENTE ZERO di qualunque numero diverso da zero, è UNO. Quindi:

10 _{= 1} 20 _{= 1} 30 _{= 1} 40 _{= 1} 50 _{= 1} ....

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ATTENZIONE!!!!

Abbiamo detto che per convenzione, qualunque numero DIVERSO DA ZERO, elevato a zero dà come risultato 1.

Ma cosa accade se ELEVO ZERO ALLA ZERO? A questa potenza non attribuiamo alcun valore, quindi possiamo dire che essa è IMPOSSIBILE.

0

_{= IMPOSSIBILE}

Mentre, lo

ZERO, ELEVATO AD UN NUMERO DIVERSO DA ZERO è uguale a ZERO. Infatti:

02 _{= 0 x 0 = 0}

03 _{= 0 x 0 x 0 = 0}

04 _{= 0 x 0 x 0 x 0 = 0}

Invece, la POTENZA CON ESPONENTE 1, di qualunque numero, è sempre UGUALE

AL NUMERO STESSO. Quindi: 11 _{= 1} 21 _{= 2} 31 _{= 3} 41 _{= 4} 51 _{= 5} ....

Allo stesso modo TUTTE LE POTENZE AVENTI PER BASE UNO, sono uguali a UNO. Infatti:

1

2

_{= 1 x 1 = 1}

1

3

_{= 1 x 1 x 1 = 1}

1

4

_{= 1 x 1 x 1 x 1 = 1}

_.

(8)

Esempio:

10

2

_{= 10 x 10 = 100}

10

3

_{= 10 x 10 x 10 = 1.000}

10

4

_{= 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000}

_.

Come si può notare una POTENZA DI 10 è un NUMERO FORMATO DALLA CIFRA

1, SEGUITA da TANTI ZERI QUANTE SONO LE UNITA' DELL'ESPONENTE.

Quindi: 102 _{1 seguito da 2 zeri} ₁₀₀ 103 _{1 seguito da 3 zeri} _1.000 104 _{1 seguito da 4 zeri} _10.000 105 _{1 seguito da 5 zeri} _100.000 106 _{1 seguito da 6 zeri} _1.000.000 .... 1 seguito da 7 zeri 10.000.000

(9)

PROPRIETÀ DELLE POTENZE

Vediamo, di seguito, quali sono le PROPRIETÀ DELLE POTENZE.

Il prodotto di due o più potenze aventi la stessa base è una potenza della stessa base con esponente uguale alla somma degli esponenti.

Quindi:

a

m

_{x a}

n

_{= a}

m+n

Esempio:

(3)

2

_{x (3)}

3

_{= (9) x (27) = 243}

_.

Come possiamo notare la base dei due fattori del prodotto è la stessa (3).

Ora proviamo ad applicare la regola precedente. Avremo:

Come possiamo osservare il risultato è uguale.

Il quoziente di due o più potenze aventi la stessa base è una potenza della stessa base con esponente uguale alla differenza degli esponenti.

Quindi:

am_{: a}n _{= a}m-n

(10)

Esempio:

(2)

4

_{: (2)}

3

_{= 16 : 8 = 2}

_.

Come possiamo notare la base del dividendo e del divisore è la stessa (pari a 2).

Ora proviamo ad applicare la regola precedente. Avremo:

Come possiamo osservare il risultato è uguale.

La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.

Quindi:

(a

m

₎

n

_{= a}

mn

Esempio:

(11)

Anche in questo caso il risultato è lo stesso.

Il prodotto tra due o più potenze aventi gli stessi esponenti è uguale ad una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.

Quindi:

a

m

_{x b}

m

₌

_{(a b)}

m

_.

Esempio:

(2)

2

_x

₍₃₎

2

_{= (4) x (9)}

_{= 36}

_.

(12)

Ora proviamo ad applicare la regola precedente. Avremo:

Anche in questo caso il risultato è lo stesso.

Il quoziente tra due potenze aventi gli stessi esponenti è uguale ad una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lostesso esponente.

Quindi:

a

m

_{: b}

m

₌

_{(a : b)}

m

_.

Esempio:

(8)

2

_{: (2)}

2

_{= (64) : (4)}

_{= 16}

_.

(13)

ESERCIZI

Esercizio 1

Indicare qual è la base e quale l'esponente delle seguenti potenze. Quindi calcolare il loro valore:

32_{; 4}5_{; 2}7_{; 10}4_{; 7}3_{; 9}2_{; 5}5_.

Svolgimento

Per svolgere l'esercizio dobbiamo ricordare che:

 ognuno dei fattori uguali da moltiplicare prende il nome di base della potenza;

 il numero dei fattori si chiama esponente;

 per calcolare una potenza occorre moltiplicare la base per se stessa tante volte quanto è l'esponente.

Esercizio 2

Indicare qual è la base e quale l'esponente delle seguenti potenze. Quindi calcolare il loro valore:

25_{; 3}4_{; 10}3_{; 5}2_{; 6}3_{; 18}2_{; 4}3_.

Svolgimento

 ognuno dei fattori uguali da moltiplicare prende il nome di base della potenza;

 il numero dei fattori si chiama esponente;

 per calcolare una potenza occorre moltiplicare la base per se stessa tante volte quanto è l'esponente.

Esercizio 4

Calcolare il valore delle seguenti potenze: 71_{; 4}0_{; 1}1_{; 10}5_{; 20}1_{; 1}0_{; 0}0_{; 10}3_.

Svolgimento

 per convenzione, si pone che la potenza con esponente zero di qualunque numero diverso da zero, è uno;

 è impossibile elevare lo zero a zero;

 la potenza con esponente 1, di qualunque numero, è sempre uguale al numero stesso;

(14)

 una potenza di 10 è un numero formato dalla cifra 1, seguita da tanti zeri quante sono le unità dell'esponente.

Esercizio 5

Calcolare il valore delle seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze lasciando i risultati sotto forma di potenza:

42_{x 4}3_{; 25}6_{: 25}4_{; (2}4₎3_{; 16 : 16°; 3}2_{x 4}2

Svolgimento

Per poter svolgere l'esercizio occorre ricordare ed applicare le proprietà delle potenze.

Esercizio 6

Calcolare il valore delle seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze lasciando i risultati sotto forma di potenza:

32_{x 3}4 _{x 3}7_{; [(2}4)4_]6_; ₍₈3_{x 8}5_{) : 8}2_{; (2}4_{x 5}4_{) : 5}3_{; [(4)}3_]8_{: 4}5_{: 4}8_.

Svolgimento

Esercizio 7

Calcolare il valore delle seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze e lasciando i risultati sotto forma di potenza:

[(52₎3 _{x 5}4_{] : [5}5 _{x 5}2_];

[(33₎9 _{: 3}6_{] : [3}8 _{x 3}4_];

{[(43₎2 _{: (4}3 _{x 4}2_)]}5 _{x [(4}2₎2 _{x (4}0₎2_].

Svolgimento

(15)

Per eseguire espressioni con le potenze, ricordiamo di eseguire le potenze, prima di tutte le altre operazioni. Fatto ciò, sarà sufficiente seguire le regole già conosciute per calcolare il valore di una espressione.

Vediamo un esempio. [(93_{: 9 + 6}5_{: 6}3 – 33_{) : 3}2 _{+ 1]}2 – 202 _{: (3}2 x 2 – 23₎2_{- 3}4 2_{: 3}3 [(92_{+ 6}2_{– 27) : 9}_{+ 1]}2_{– 400}_{: (9 x 2 – 8)}2_{- 81} 2_{: 27} [(81 + 36 – 27) : 9+ 1]2_{– 400}_{: (18 – 8)}2_{- 81} 2_{: 27} [90 : 9+ 1]2_{– 400}_{: 10}2_{- 81} 2_{: 27} [10+ 1]2 – 400 : 100 - 81 2_{: 27} 112_{– 4 - 81} 2_{: 27} 121 – 4 - 81 2_{: 27} 362_{: 27} 1296 : 27 = 48 VERIFICA DI MATEMATICA 1. [(93_{: 9 + 6}5_{: 6}3_{– 3}3_{) : 3}2 _{+ 1]}2_{– 20}2 _{: (3}2_{x 2 – 2}3₎2_{- 3}4 2_{: 3}3 48 2. ₅3_{+ 40 – [10}2_{+ 13}2_{: 13 x 5 – 55 + (5}2_{x 2}2_{+ 2}3_{x 10) : 4 – 20]} 30 3. [(72_{– 2}3_{x 6)}5_{x (8}2_{– 63)}3_{+ (3}2_{x 5 – 14}8_{: 14}7_{)] : 4}2_{+ 25 - 22} 2 25 4. 53_{– 30 – 2 x [5}2_{– 4 x (6}4_{: 6}4_{– 1 + 5)] + 7 x 2 + 4}3_{: 4}3 100 5. [(32_{– 2) x 5 – 3}2_{] : 13 + [(3}4_{: 3 + 5 ) : 2}4_{+ 16] : 18} 3